緊致流形上非齊次熱方程的橢圓型梯度估計

謝 飛

(南通師范高等?？茖W校，江蘇如皋 226500)

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緊致流形上非齊次熱方程的橢圓型梯度估計

謝 飛

(南通師范高等專科學校，江蘇如皋 226500)

本文借助于加權Bochner公式以及極大值原理，在緊致流形上討論非齊次加權線性熱方程(?t-Δf)u=A(x,t)正解的橢圓型梯度估計，這里A(x,t)是定義在M×[0,+∞)上的光滑函數。

緊致流形；橢圓型梯度估計

1 提出問題

P.Li和S.T.Yau得到了關于線性熱方程[1]

(?t-Δ)u=0.

(1.1)

正解的拋物型梯度估計，由該估計得到的Harnack不等式只能用來比較在不同時刻流形上不同點處正解的值.為了比較同一時刻流形上不同點處正解的值，需要建立關于線性熱方程的橢圓型梯度估計.

本文在緊致流形上討論非齊次加權線性熱方程

(?t-Δf)u=A(x,t).

(1.2)

正解的橢圓型梯度估計，得到了以下結論.

定理 (M,g)是一個n維緊致無邊黎曼流形，dμ=e-f(x)dx是M上的加權測度，其中f是光滑勢函數，假設

Ricf≥-K2.

(1.3)

其中，K≥0為常數.如果u>0為(1.2)的正解，滿足

0

(1.4)

且對某個Q>0為常數，有

(1.5)

則對于任意的x∈M,t>0,

(1.6)

其中C>0為常數.

為證明我們的主要結果，需要如下的加權Bochner公式[2-4].

2 引理

引理1 對任意的光滑函數u，有

引理2 對任意的θ>0,δ>0，有

(2.1)

對任意的A>0,B>0,0

(A+B)v≤Av+Bv.

(2.2)

證明 先證(2.1).

所以f(a)≥0.

再證(2.2).

所以,f(A)單調遞增，從而有f(A)>f(0)，即(A+B)v≤Av+Bv.

3 主要結果

令lnu=w，即u=ew，則

?tu=ew?tw=u?tw,

▽u=ew▽w=u▽w,

Δu=div(▽u)=div(u▽w)=▽u·▽w+udiv(▽w)=▽u·▽w+uΔw=u|▽w|2+uΔw.

由于u>0為(1.2)的正解，于是u?tw-(Δu-▽u·▽f)=A,則

u?tw-(u|▽w|2+uΔw)+u▽w·▽f=A.

u?tw-u(Δw-▽w·▽f)-u|▽w|2=A.

u?tw-uΔfw-u|▽w|2=A.

因此,

?tw-Δfw-|▽w|2=u-1A.

(3.1)

容易得到

▽F=▽|▽w|2(1-w)-2+|▽w|2▽(1-w)-2.

以及?tF=2▽w·▽(?tw)(1-w)-2+|▽w|2(-2)(1-w)-3(-?tw).

?tF=2▽w·▽(Δfw+|▽w|2+u-1A)(1-w)-2+2|▽w|2(1-w)-3(Δfw+|▽w|2+u-1A).

(3.2)

作如下計算

ΔfF=ΔF-▽F·▽f=div(▽F)-▽F·▽f=div[(1-w)-2▽|▽w|2+|▽w|2▽(1-w)-2]-(1-w)-2▽|▽w|2·▽f-|▽w|2▽(1-w)-2·▽f=(1-w)-2·Δ|▽w|2+2▽|▽w|2·▽(1-w)-2+|▽w|2Δ(1-w)-2-(1-w)-2▽|▽w|2·▽f-|▽w|2▽(1-w)-2·▽f

=(1-w)-2Δf|▽w|2+|▽w|2Δf(1-w)-2+2▽|▽w|2·▽(1-w)-2.

由(1.4)以及加權Bochner公式，可以得到

(?t-Δf)F=?2▽w·▽Δfw+2▽w·▽|▽w|2+2▽w·▽(u-1A)」·(1-w)-2+2|▽w|2(1-w)-3(Δfw+|▽w|2+u-1A) -(1-w)-2[2|Hessw|2+2▽w·▽Δfw+2Ricf(▽w,▽w)] -|▽w|2Δf(1-w)-2-2▽|▽w|2·▽(1-w)-2.

(3.3)

由于

▽(1-w)-2=-2(1-w)-3(-▽w)=2(1-w)-3▽w.

Δf(1-w)-2=Δ(1-w)-2-▽(1-w)-2·▽f=div(2(1-w)-3▽w)-2(1-w)-3▽w·▽f=2(1-w)-3▽fw+6(1-w)-4|▽w|2.

將以上兩式代入(3.3)，得到

(?t-Δf)F=?2▽w·▽|▽w|2+2▽w·▽(u-1A)」·(1-w)2+2|▽w|2(1-w)-3(Δfw+|▽w|2+u-1A) -(1-w)-2[2Ricf(▽w·▽w)] -2(1-w)-3|▽w|2Δfw-6|▽w|4(1-w)-4-4(1-w)-3▽|▽w|2·▽w.

由(1.3)得Ricf(▽w,▽w)≥-K2|▽w|2，所以

(?t-Δf)F≤[2▽w·▽|▽w|2+2▽w·▽(u-1A)](1-w)-2+2|▽w|2(1-w)-3(|▽w|2+u-1A) +2K2(1-w)-2|▽w|2-4(1-w)-3▽|▽w|2·▽w-6(1-w)-4|▽w|4.

顯然

▽(u-1A)=-u-2A▽u+u-1▽A=-u-2(u▽w)A+u-1▽A=-u-1A▽w+u-1▽A.

于是

(?t-Δf)F≤-2▽w·▽|▽w|2(1-w)-3(1+w)+2u-1(1-w)-2(-A|▽w|2+▽w·▽A) -2|▽w|4(1-w)-4(2+w)+2K2(1-w)-2|▽w|2+2|▽w|2(1-w)-3u-1A.

(?t-Δf)F≤-2(1-w)-3(1+w)▽w·▽[F(1-w)2]+2u-1(1-w)-2(-AF(1-w)2+▽w·▽A) -2F2(1-w)4(1-w)-4(2+w)+2K2(1-w)-2F(1-w)2+2(1-w)-3u-1AF(1-w)2.

而

▽[F(1-w)2]=(1-w)2▽F+F▽(1-w)2=(1-w)2▽F+F·2(1-w)(-1)▽w=(1-w)2▽F-2(1-w)F▽w.

所以

(?t-▽f)F≤-2(1-w)-2(1+w)▽w·[(1-w)▽F-F·2▽w] +2u-1(1-w)-2[-AF(1-w)2+▽w·▽A] -2F2(2+w)+2K2F+2(1-w)-1u-1AF.

整理得到

(?t-Δf)F≤[2-4(1-w)-1]▽w·▽F+2wF2+2Fu-1Aw(1-w)-1+2u-1▽w·▽A(1-w)-2+2K2F.

(3.4)

則

(?t-Δf)(tF)=F+t(?t-Δf)F.

(3.5)

令G(x,t)=tF(x,t).由于M緊致無邊，則G(x,t)在M×[0,T]有最大值，不妨記之為G(x0,t0).若G(x0,t0)≤0，則定理成立，因為對任意的(x,t)∈M×[0,T]，G(x,t)≤G(x0,t0)≤0，即F≤0.若G(x0,t0)>0，則t0>0，此時，

▽G(x0,t0)=0.

(3.6)

因為，ΔfG=ΔG-▽G·▽f,所以，

ΔfG(x0,t0)≤0.

(3.7)

下面說明

?tG(x0,y0)≥0.

(3.8)

由(3.7)和(3.8)得

(?t-Δf)G(x0,t0)≥0.

(3.9)

由(3.6)有▽F(x0,t0)=0.由(3.5)和(3.9)在(x0,t0)處有

0≤F+t(?t-Δf)F≤F+t[2wF2+2Fu-1Aw(1-w)-1+2u-1▽w·▽A(1-w)-2+2K2F].

即0≤F+2wtF2+2tFw(1-w)-1u-1A+2tu-1▽w·▽A(1-w)-2+2tK2|▽w|2(1-w)-2.

結合條件(1.5)，因為u-1A≤Q，▽w·▽A≤|▽w|·|▽A|，所以在(x0,t0)處有

0≤F+2wtF2+2tFw(1-w)-1Q+2tu-1|▽w||▽A|(1-w)-2+2tK2F.

從而

上式兩邊同時乘以t，得到

由于tF=G，所以上式可變形為

(3.10)

或者

(3.11)

上式左右兩邊同時乘以1+2tQ+2tK2，有

代入(3.11)中，得到

于是

對任意的(x,t)∈M×[0,T]，G(x,t)≤G(x0,t0)，則

由于T>0，因此(1.6)成立.

[1]P.Li,S.T.Yau.On the parabolic kernel of the Schrodinger operator[J].Acta Mathematica,1986(156):153-201.

[2]X.D.Li,Liouville theorems for symmetric diffusion operators on complete Riemannian manifolds[J].Journal de Mathematiques Pureset Appliques,2005,84(10):1295-1361.

[3]J.Lott.Some geometric properties of the Bakry-Emery Ricci tensor[J].Commentarii Mathematici Helvetici, 2003(78):865-883.

Elliptic Type Gradient Estimate for Non-homogeneous Heat Equation on Compact Manifolds

XIE Fei

(Nantong Normal College, Rugao Jiangsu 226500, China)

In this paper，by using the weighted Bochner formula and the maximum principle，we discuss the elliptic type gradient estimate for positive solutions to the following non-homogeneous weighted linear heat equation (?t-Δf)u=A(x,t) on compact manifolds, whereA(x,t) is a smooth function defined onM×[0,+∞).

compact manifolds; elliptic type gradient estimate

2015-07-11

謝 飛(1982- )，女，江蘇如皋人，南通師范高等?？茖W校講師，從事數學教育研究。

O186

A

2095-7602(2015)10-0005-05