基于球桿儀的主軸熱誤差檢測及識別方法

□ 虞 敏 □ 趙建華 □ 邱明勇 □ 劉 放

沈陽機床（集團）設計研究院有限公司 上海分公司 上海 200433

球桿儀可以檢測機床的動態性能，其圓軌跡測量曲線幾乎可以反映機床中的所有誤差項，且測量精度較高，操作簡便快速。近年來，國內外學者不斷嘗試拓展其應用范圍，尤其對于復雜機構的空間定位精度的檢測，球桿儀安裝定位的靈活性和數據采集的簡單快捷性得到了很好的發揮。也有學者將球桿儀應用到檢測主軸熱誤差中，Srinivasa等［6-7］提出采用球桿儀對機床主軸熱誤差進行測量，但其測量過程需要4個球桿儀；Delbressine等［8］根據球桿儀的空間半球分布的25個測點，通過矢量點積運算辨識主軸的3D位置誤差矢量，從而求解熱誤差，該方法需要結合誤差模型解耦運算，計算過程較抽象、復雜；Yang等［9］提出了基于球桿儀的主軸熱誤差測量方法，其測量過程只需1個球桿儀，測量軌跡為3個平動軸聯動構成的半球形螺旋軌跡，通過空間矢量幾何關系辨識分離出主軸的熱誤差，但該方法測得的誤差值是包含主軸旋轉以及Z軸進給引起的綜合熱誤差；商鵬等［10］提出采用球桿儀測量主軸熱誤差的方法，該方法使測量掃過區域為一圓錐面，根據空間幾何關系和三角形余弦公式反求主軸端熱誤差，通過在圓上選取多個點求平均值的方法來獲得精度較高的熱誤差量，但沒有明確指出怎么選擇這些點，以及這些點坐標之間的轉換關系。

筆者提出一種簡單、高效的主軸熱誤差檢測及辨識方法，通過將球桿儀運動軌跡設為一圓錐體，在XY平面上選取間隔120°的3個點建立新坐標系，在新坐標系下，建立桿長變化值與熱誤差之間的空間幾何矢量關系，求解3個方向的熱變形量，再通過坐標矩陣變換，轉換為機床坐標系下的熱變形量，并提出識別5個熱誤差元素的檢測方法，最后在實際機床上驗證了該方法的有效性。

1 球桿儀誤差檢測原理

球桿儀檢測原理及安裝如圖1所示，通常由可伸縮的球棒和磁力球座組成。在可伸縮的兩桿內裝有高精密的線位移傳感器，從傳感器輸出的信號可獲得兩個小球之間的精確距離。測量時，一端吸附在主軸端的磁性球座上，另外一端吸附在工作臺的磁性球座上。在沒有誤差的情況下，球桿儀的桿長不變，在有誤差的情況下，桿長發生變化，通過求解桿長變化與各個誤差之間的關系，分離出誤差。

▲圖1 球桿儀檢測誤差原理［11］

典型的球桿儀檢測方法是在XY（YZ 或 XZ）平面測量，采用這種檢測方法，桿長變化值是兩個方向的綜合誤差，只能識別出兩個方向的誤差，如果將球桿儀運動軌跡設為一圓錐體，則桿長的變化值能同時反應在X、Y、Z方向的誤差值。雖然這些誤差是包含幾何誤差、伺服不匹配誤差等多個誤差的綜合值，但這些誤差值不隨溫度的變化而變化，主軸高速旋轉一段時間后，測得的誤差值減去冷態下的誤差值即為熱誤差。

2 球桿儀檢測主軸熱誤差原理

用球桿儀檢測主軸熱誤差的安裝方式如圖2所示。球桿儀檢測主軸熱誤差就是求主軸端小球中心點（S點），在不同溫升時刻相對于冷態下的坐標變化值，因此，問題歸結為求S點坐標和桿長變化值之間的關系。求解S點坐標的步驟為：建立新的坐標系，在該坐標系下求解S點的坐標，再通過坐標矩陣變換，將其轉換為機床坐標。

2.1 建立新坐標系

在XY平面上選取相差 120°的3個點 A、B、C，構成正三角形，根據以下原則建立新的坐標系O′X′Y′Z′：選取三角形的中心為圓心 O′，X′軸過 O′點，并且平行 AB，方向為 A→B，Y′軸與 O′C 重合，方向為 O′→C。根據右手定則，過O′點建立Z′軸（如圖3所示）。

2.2 在新坐標系下求S點的坐標

根據空間幾何矢量原理，建立方程組：

根據以上矢量方程，得到如下坐標方程：

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在 X′Y′平面中的 A、B、C 3 點滿足以下關系（如圖4所示）。

A 點坐標 xa、ya、za為（Rcos210°，Rsin210°，0）。

B 點坐標 xb、yb、zb為（Rcos330°，Rsin330°，0）。

C 點坐標 xc、yc、zc為（0，R，0）。

其中：R為球桿儀在X′Y′平面內的軌跡圓半徑。

AS、BS、CS 滿足以下關系。

其中：θa、θb、θc為球桿儀桿與 X′Y′平面的夾角，σa、σb、σc為 AS′、BS′、CS′在 O′X′Y′坐標系內的角度 （如圖4所示），其中 S′為 S投影到 X′Y′平面內的點。

根據式（2）～式 （4）3 個方程組，可求得 9 個未知量：S 點的 3 個坐標 x、y、z，以及 θa、θb、θc、σa、σb、σc。 根據冷態t0時刻和溫升t時刻下S點的坐標變化值，可求得3個方向的熱變形量：

為得到精度較高的值，在X′Y′平面的圓上間隔120°選取3×n個點，然后求n個S點坐標值的平均值。

2.3 坐標轉換

根據這些點計算出的坐標值是在 O′X′Y′Z′坐標系內，還需要將其轉換為機床坐標系OXYZ坐標系下的坐標。從圖4可以看出，O′X′Y′Z′和 OXYZ 坐標系滿足以下變換方程：

其中α為A點在XY平面內所取的角度 （見圖3），進而得到S點在機床坐標系下的坐標：

▲圖2 球桿儀檢測主軸熱誤差安裝圖

▲圖3 球桿儀檢測主軸熱誤差原理圖

▲圖4 A、B、C 3點在坐標系中的位置關系

3 基于球桿儀的主軸熱誤差檢測方法

若要得到主軸五項熱誤差元素就需要兩組X和Y向的熱誤差值，因此，改變主軸端小球在Z向的位置，獲得兩組熱誤差值 Δx1（t）、Δy1（t）、Δz（t）、Δx2（t）、Δy2（t）、Δz（t），進而得到主軸的五項熱誤差。

設主軸的五項熱誤差為：δx（t）、δy（t）、δz（t）、εxz（t）、εyz（t），則：

式中：Δx2（t）、Δx1（t）分別為主軸上、下端測量點在 t時刻 X 向的熱變形量；Δy2（t）、Δy1（t）分別為主軸上、下端測量點在t時刻Y向的熱變形量；L為刀長；D為主軸端小球前后兩次在 Z 向的間距，D=L0sinθ1-L0sinθ2；θ1、θ2為球桿儀與XY平面的夾角；L0為球桿儀桿長。

在操作中不用改變磁力球座的位置，也無需將球桿儀拿下，通過簡單的三軸聯動編程即可改變主軸端小球的位置，避免了球桿儀再次安裝產生的誤差。由于球桿儀檢測過程非?？?，以1 000 m/min的速度運行一圈只需2 min，在該時間段內的熱變形量不會有較大變化，因此可認為前后兩組數據是在相同溫度下的熱變形量，對應的溫度值為整個檢測過程的平均溫度值。

4 實驗驗證

為驗證上述檢測原理及算法的效果及正確性，在VMC850P加工中心上，采用Renishaw公司的Q20球桿儀進行主軸熱誤差元素的檢測、識別及補償實驗（如圖5所示）：采用150 mm的桿長，球桿儀與工作臺之間的夾角分別為30°和60°，在XY平面內分別以75mm和75 mm為半徑，按順時針和逆時針方向各運行一周，得到在冷態下的兩組檢測文件。然后主軸以5 000 r/min的速度旋轉一段時間后，再按以上的方法，得到主軸在t1、t2、...、tn時刻的n×2組檢測文件。

▲圖5 球桿儀檢測主軸熱誤差

基于以上算法編寫MATLAB 程序， 得到 t1、t2、...、tn時刻的主軸在 X、Y、Z 方向的熱變形量，根據 δx（t），δy（t）、δz（t）修改當前坐標系（如G58），即將當前坐標原點進行偏移，再執行一遍球桿儀檢測程序，得到實驗結果為：在冷機狀態下，測得偏心量Δx=100.5μm，Δy=-50.9μm，該偏心量是不包含熱誤差的。主軸升溫一段時間后，偏心量變為Δx=97.4μm，Δy=-65.8μm，將計算得到的熱變形量補償到當前坐標系中，偏心量變為Δx=101.1 μm，Δy=-53.2μm（見表1），與冷態下的偏心量接近，說明已經補償了主軸的熱誤差。表1列出了5組數據，可以看出，補償后的偏心量與冷機狀態下的偏心量相差很小，基本能控制在3μm以內，而補償前，溫升之后的偏心量與冷態下的偏心量最大達到了31.9μm，驗證了該檢測及辨識方法的正確性和有效性。

表1 誤差補償比較/μm

5 結論

主軸熱誤差是影響機床加工精度的重要原因，針對目前主軸熱誤差檢測過程的缺點，筆者提出的基于球桿儀的主軸熱誤差檢測方法，安裝和操作簡單，結果可靠有效，對主軸熱誤差檢測識別方法及球桿儀應用范圍的有效補充。但球桿儀存在安裝誤差（主軸軸心線不與Z軸重合，導致球桿儀實際位置與理論位置有偏差），在主軸旋轉時要將球桿儀拿下來，檢測時再放上去，這就造成每次安裝的位置點不一樣，如果主軸偏心較大的話，求得的熱誤差量的精度也較低。因此，需要進一步分析球桿儀的安裝誤差對測量結果的影響，通過檢測和辨識技術，把安裝誤差辨識出來。

［1］The International Organization for Standardization.ISO 230-3：2001， Test Code for Machine Tools-part3：Determination of thermal effects ［S］.Geneva：InternationalStandard Organization，2001.

［2］The International Organization for Standardization.ISO 230-3：2007， Test Code for Machine Tools-part 3：Determination ofThermaleffects ［S］.Geneva：InternationalStandard Organization，2007.

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