開展高效“活動”培養數學能力

丁式清

【內容摘要】初中學生的認知心理特點和數學學習的實踐性決定了數學教學的“活動化”特征。本文從還原生活本色，改編“活動”教材；開放活動空間，促進自主探究；指導學生反思，提高活動成效等方面探討了開展高效的課堂“活動”，培養學生數學能力的問題。

【關鍵詞】數學能力 高效活動 途徑策略

任何“有效教學”總意味著“想方設法”地讓學生在單位時間內獲得更有效的發展。為此，教師需要在教學內容、教學方法和教學手段上下工夫，優化數學課堂教學活動，調動學生學習積極性和主動性，實現生動、互動、主動，達到共識、共享、共進的教學效果。

一、還原生活本色，改編“活動”教材

數學知識盡管表現為形式化的符號，但它可視為具體生活經驗和常識的系統化，它可以在學生的生活背景中找到實體模型，教學時我們可以讓學生在生活情景中建立“原型”。如在教學《作軸對稱圖形》時，我們為這一數學知識找到了一個合適的生活“原型”——牛喝水路徑：小明在草地上放牛，他想先牽牛到河邊飲水（河岸看作直線），然后再回家，卻不知讓牛在河邊哪一點喝水，才使行走的路程最短？請你幫他出出主意……學生對這樣的問題很感興趣，有的馬上討論、發表見解（把這一生活問題轉化成數學問題）：

1.轉化建模

生：我想把河流看成一條直線L，小明和牛的所在地可視為一點A，家可視為一點B。這樣可以把上述問題變成：如何在L上取一點O，使OA+OB最??？在此基礎上，老師使問題進一步深化，能想到用幾何圖形把現實問題表示出來，很好！但如何解決呢？

2.實驗探究、猜想論證

生：把上述轉化來的數學圖視為一張地圖，我們動手實驗，看能否發現解決方法。

學生在圖紙上比劃著，尋找解決問題的途徑。這個活動對學生理解生活中的軸對稱圖形是一個很好的生活“原型”，喚起了學生已有的生活經驗，建立起數學知識與生活原型的內在聯系，使學生們對于數學知識的理解更有根基。

二、開放活動空間，促進自主探究

1.把握活動時機，優化活動方式

學生參與數學活動，應伴隨著思維活動。若是純粹的行為參與，沒有學生積極的情感體驗及探究問題的思維活動，就不能促進數學活動經驗的有效積累，更無法促進學生數學素養的發展。筆者曾經聽取了兩節《全等三角形》（第1課時）的公開課，執教老師用不同的方式處理同一問題，引起筆者的思考。本節課的重點和難點是，如何讓學生能夠正確找出兩個全等三角形的對應頂點、對應角、對應邊，尤其是在復雜圖形中，一開始學生容易出錯。為突破難點，多數教師一般都會選用，連接了一條對角線的平行四邊形這個圖形，這兩位老師也選用這個圖形，但處理方式有所不同。

方式1：先請兩同桌用兩個形狀和大小一樣的三角形紙板（課前準備好的），擺成如圖（1）所示的位置，要求學生說出全等三角形的對應頂點、對應角、對應邊，并用全等符號表示兩個三角形全等。然后出現圖（2），學生略遲疑片刻，但通過對照圖（1）所擺的位置，也較快地找出了對應頂點、對應角和對應邊。順利地完成了此環節。

方式2：直接出示圖（3），要求學生說出全等三角形的對應頂點、對應邊、對應角，并用全等符號表示兩個三角形全等。這時，幾乎所有的學生都一致認為，⊿ABC≌⊿ADC，即認為A對應于A，B對應于D，C對應于C。這時教師并不急于糾正學生的錯誤認識，而是讓兩同桌同學把兩個形狀和大小一樣的三角形紙板，擺成如圖（3）所示的位置，再把圖3中的兩個三角形拉開如圖（1），再通過適當的變換，慢慢地還原到重合的狀態，這時學生原有的錯誤認識不攻自破.教師趁機再請學生反思總結正確尋找對應頂點的方法，有效地突破此難點。

以上兩種方式都采用了學生利用課前準備好的三角形紙板，擺平行四邊形找對應點，但活動安排與問題呈現的順序不同。從課堂老師教的角度分析，方式1為學生設置了梯度，由淺入深，表面上，學生動手操作參與數學活動，而這樣的操作僅僅停留在學生外部行為上的活動，缺乏思維含量，缺乏對問題現象的真正思考，從中，無法積累有效的數學活動經驗。方式2的設計先直面難題，學生暴露錯誤，再帶著問題與思考進行活動，為學生真正積累有效的數學活動經驗。

搞好活動教學，培養思維能力

新的數學課程標準指出：“教師應激發學生的學習積極性，向學生提供充分從事數學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，獲得廣泛的數學活動經驗”。因此，在數學知識的學習中，教師要大力提倡小組合作和自主探究教學。教師要改變以例題、講解、示范為主的教學方式，要以開放、寬容的態度，以期待、信任的眼光引導學生投入到充滿著探索性和挑戰性的學習活動中去，給學生足夠的時間和空間去探究，讓學生從課堂中去體會數學的魅力和活力。例如教學“三角形內角和定理”時，筆者組織學生開展了以下探究活動：

[活動1]拿一張三角形紙片（如圖1），把兩個角剪下，接在第三個角的頂點處，有幾種拼圖方法？通過學生的討論歸納，可得出以下兩種拼圖的方法（如圖2）

以上拼圖活動能直觀、形象地得到三角形內角和定理，也啟發了學生找出證明此定理時的輔助線添法。

[活動2]拿一張同樣的三角形紙片，如果只剪下一個角進行拼圖，你能說明三角形的內角和定理嗎？這個活動是考慮到兩平行線的同旁內角互補，因此猜想用平行線的性質來拼圖驗證此定理（如圖3），這樣就發散了學生的思維。

[活動3]再拿出第三張三角形紙片，如果不剪出這張紙片中的任意一個內角，你能通過對這張紙片的折疊來驗證三角形內角和定理嗎？

問題一提出，大大激發了學生的興趣和好奇心?！袄蠋煟灰讶齻€角都折到同一個點就可以了?！币粋€學生答道。“那怎樣才能折到一個點？同學們試試?！苯涍^討論，只要將三角形按圖4中的虛線折疊，拼成一個平角即可說明這一定理。這個問題是活動1的遷移，培養了學生知識的遷移能力。

[討論]在以上實驗活動中，你受到了哪些啟發？添輔助線的方法有幾種？

學生通過分組討論，得出以下四種輔助線的添法（如圖5）

可見，教師要以活動的板塊來設計教案，建立活動。把原來的教學重點改為探索的重點，通過學生動手、動腦、動口等活動，形成一種全員參與、主動參與、全程參與的局面，提供學生發現問題、分析問題和解決問題的自主探究、相互交流的空間。

3.滲透思想方法，深化實驗探究

數學家歐拉曾說過：“數學這門科學需要觀察，也需要試驗。”指導運用數學思想方法來分析問題、解決問題是培養學生數學能力的重要途徑。譬如一道數學題構成一個系統，對系統的處理（解題）要借用系統科學的思想方法。事實上，題目中的所有信息都是一個有機的整體，各部分之間的精彩配合是解題成功的必要前提，有人稱之為“整體方法”或“整體策略”，而實質上是整體思想，它是系統科學中的整體性原理在解題中的應用。

【案例】（幻方填數實驗）把1、2、3、4、5、6、7、8、9九個數分別填入圖1的九個空格中（圖1），使每行、每列、每條對角線上的3個數相加的和都相等。

（1）師生解題策略分析：

①學生解題策略分析：為了容易表述，現將九個方格子上的數字分別記為a、b、…、i（圖2）。

首先，從圖形及數字的對稱性，容易產生直覺，e處的數字填5。

然后可以發現a+i=b+h=c+g=d+f，這樣就把這八個數分成四組（a，i）、（b，h）、（c，g）、（d，f），很顯然，它們與（1，9）、（2，8）、（3，7）、（4，6）一一對應，從而說明每行每列各數之和是15。

接著嘗試實驗，取a=1，則i=9，由于b+c=d+g=14，而它們四個數的和的最大值=5+6+7+8=36<28，所以a=1嘗試失敗。

繼續嘗試實驗，取b=1，h=9，此時易想到a、c對應著6、8，然后就不難得到九宮格中的各數了。

②教師的解題策略分析：

首先，不管怎么填，這九個數的和是不變的，等于45（不變量1），根據每行的和相等，可得每行的和等于15（不變量2）。

然后，根據（a+e+i）+（c+e+g）+（b+e+h）+（d+e+f）=4×15=60，得45+3e=60，解得e=5（不變量3）。

接著再進行上述的嘗試。

⑵實驗步驟設計

①給出問題，學生嘗試填數。題意簡明易懂，學生完全能夠自主實驗，探索結論。

②學生相互交流、討論。學生之間的差異是客觀存在的，讓學生進行相互交流討論，可以發揮出學生的教育資源。

③收集學生的答案，逐一比較。各小組之間的答案如下圖所示：

收集學生的答案之后，引導學生對比圖3與圖4的兩種填法，可以發現將圖3沿對角線折疊，可得圖4的結果；再引導學生對比圖3與圖5的兩種填法，可以發現將圖3沿順時針方向旋轉就可得到圖5的結果；……

④提出問題，引導探索

對比了各種答案之后，容易想到，如果把經過旋轉、對稱變換后完全一致的兩種填法視為一種，那么到目前為止，我們只有一種填法。從而自然地引出，這個問題只有一種填法，還是不止這一種填法？

顯然，學生會對e的各種不同情況進行分類討論，再進行實驗，反思。

⑤抓住不變量，整體把握

再次引導學生思考：運用分類討論的思想我們解決了這個問題，但過程很繁瑣，本題有無簡單易行的解法呢？在實驗的時候我們著眼于各個具體的方格，感覺各個位置上的數字都會有許多種可能性，這樣的一一判別很繁瑣，現在我們換一種方式去思考，能否從整體上進行把握，哪些量是不會改變的？通過老師的逐步引導，學生可以發現其中的不變量，從而解決這個問題。

⑥對比反思，提煉思想

最后引導學生對兩種解法進行對比，提煉出其中的數學思想。

通過學生實驗，學生在實驗中利用直覺提出猜想，進而檢驗，得到問題的解，經歷了數學探索的第一個歷程。正當學生沾沾自喜之際，就地取材，匯總學生答案，對答案進行比較，引起思考，學生就不會滿足于僅僅填出答案，激起探索熱情。通過問題引導他們進行深入地思考，從而使學生感受到抓不變量的整體化思想。由于前一方法繁瑣只關心特解，而后一方法可從總體上認識問題，使學生產生強烈的對比，就能深刻體會到整體化思想。

三、指導學生反思，提高活動成效

指導學生進行數學活動后的反思，是對數學活動的深層次的思考；是不斷調整思維結構、深化思維層次、提高思維水平的過程，是進一步開發智力的過程，是一種再發現和再創造的過程，也是元認知過程。教師要引導學生認真做好活動反思，反思自己是如何發現問題和解決問題的，反思學習活動過程的成敗得失及其原因、應該記取的經驗教訓，并從基礎知識、基本概念上尋找原因，從思維策略的高度對學習活動進行總結，從中概括出數學基本思想方法，并對有關數學問題進行推廣、深化，優化已有的解題方法，尋找解決問題的最佳方案等。這不僅有利于學生思維能力的發展，而且有利于知識技能的遷移，從而為培養能力打下堅實的基礎。

例：如下圖，點M、N分別在正三角形ABC的BC，CA邊上，且BM=CN，AM，BN交于點Q，求證：∠BQM=60°

證明完后，學生在教師的啟發下進行了反思，提出了許多問題，如：

①若將題中“BM=CN”與“∠BQM=60°”的位置交換，得到的是否仍是真命題？

②若將題中的點M，N分別移動到BC，CA的延長線上，是否仍能得到∠BQM=60°？

③若將題中的條件“點M，N分別在正三角形ABC的BC，CA邊上”改為“點M，N分別在正四邊形ABCD的BC，CD邊上”，是否仍能得到∠BQM=60°？

由第二步的證明方法學生可以逆推得出是真命題，而當點M，N的位置發生變化時，教師可以做啟發，讓學生重新回顧反思第一步的證明方法，從而得出，也可以通過全等來說明。而當正三角形變成正四邊形時學生已經形成反思前兩題的方法，很快也可以想到用全等的方法得出∠BQM不可能是60°。學生通過對解題思維的反思，重新審查題意，更正確、完整、深刻地理解了題目的條件和結論，激活了學生的思維，開闊了思路，使學生思維的靈活性在變換和化歸的訓練中得到培養和發展。

如果學生在每一次數學學習活動之后都能對自己的思路作自我評價，探討成功的經驗與失敗的教訓，對學習活動過程中反映的數學思想、方法進行總結、概括，這樣長此以往，不僅能鞏固知識，避免解題的錯誤，而且可以把解決問題的數學思想方法及對問題的再認識轉化為一個學習過程，能提高學生的分析問題、解決問題的能力，優化他們的數學思維，達到融會貫通的境界。

總之，高效的數學活動化教學應該是有效的關注學生的學習經驗，有效地創設一定的問題情境，有效地引導學生積極、主動地參與學習活動；有效的親身實踐、自主探究、合作交流；有效的將所學知識靈活運用于實際生活，并且有效地獲得學習數學的情感體驗。這就需要我們不斷地去探索和研究，去尋找最有效的課堂活動化教學，不斷提高學生的數學能力。

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（作者單位：浙江省臺州市天臺縣棲霞中學）