圓錐曲線與其他知識交匯

高考中常出現(xiàn)多個知識點結合的問題，解析幾何往往也可以與其他知識相結合，且各種題型均有可能出現(xiàn)，要求較高.

（1）與數(shù)列結合的圓錐曲線問題.

（2）與向量結合的圓錐曲線問題.

（3）與導數(shù)結合的圓錐曲線問題.

（4）與基本不等式結合的圓錐曲線問題.

解決此類問題，關鍵在于能否“透過現(xiàn)象看本質(zhì)”，從而選擇相應方法求解.

例1 設圓x2+（y-1）2=1的切線l與x軸正半軸、y軸正半軸分別交于點A，B，當AB取最小值時，切線l在y軸上的截距為_________.

破解思路 本題涉及最值問題，可以考慮利用導數(shù)來研究.

答案詳解 設直線l與坐標軸的交點分別為A（a，0），B（0，b），顯然a>1，b>2，則可得直線l： + =1.

依題意， =1，即 + = - +1，所以a2= ，所以AB2=a2+b2= +b2. 設f（x）= +x2，則f ′（x）= +2x= = = （x>2）. 設f ′（x）=0，則可得x1=1，x2= ，x3= .

又x>2，故當x∈（2，x3）時， f（x）單調(diào)遞減；當x∈（x3，+∞）時， f（x）單調(diào)遞增. 所以當b= ，a2= = +2時，AB有最小值. 故答案為 .

例2 已知圓心在原點的圓O與直線x- y=4相切.

（1）求圓O的方程；

（2）若圓O與x軸相交于A，B兩點，圓O內(nèi)的動點P使 ， ， 成等比數(shù)列，求 · 的取值范圍.

破解思路 本題涉及向量的模以及等比數(shù)列的相關概念，解題的關鍵在于能夠把這些知識轉(zhuǎn)化為相應的代數(shù)條件.

答案詳解 （1）圓O的半徑r=d= = =2，所以圓O的方程為x2+y2=4.

（2）在x2+y2=4中，令y=0，得x=±2，所以A（-2，0），B（2，0）. 設P（x0，y0）是圓O內(nèi)任一點，則x20+y20≤4.？搖又由 2= · ，得x20+y20= · ，？搖整理后得x20-y20=2. 所以 · =（x0+2，y0）·（x0-2，y0）=x20+y20-4=2（y20-1）. 因為P在圓O內(nèi)，所以 · <0，所以 · ∈[-2，0），其中0≤y20<1.

已知 + =1（a>0，b>0），則點（0，b）到直線x-2y-a=0的距離的最小值為________.