數形結合思想

陳紅芳

數與形是數學發展中兩個最古老的，也是最基本的研究對象，它們在一定的條件下可以相互轉化，如某些代數問題、三角問題往往都有幾何背景，而借助其背景圖形的性質，可使那些抽象的概念、復雜的數量關系變得直觀具體，以便于探求解題思路或找到問題的結論.可見數形結合，不僅是一種重要的解題方法，也是一種重要的思維方法.

數形結合思想在數學中的應用主要體現在兩個方面，一是以數解形，這類問題需要從圖形中充分挖掘信息，并且將這些信息反應到代數式中；二是以形助數，這是數形結合應用的主體，借助圖形的直觀性將抽象的代數問題具體化.下面分別舉例說明：

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以數解形

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當我們探究幾何問題的解題思路受阻，或雖有辦法但很艱難時，我們常常考慮能否將其轉化為代數問題，而轉化的常用方法是解析法即建立坐標系；還可引進復平面用復數的有關知識解決，綜合使用三角法、向量法等代數方法，?？傻玫胶啙嵉慕夥? 其典型代表是在立體幾何與解析幾何中的應用.

例1 如圖1，四邊形ABCD內接于圓E，E為圓心，AC⊥BD，AC，BD交于點O，G為CD邊上的中點，EF⊥AB，垂足為F，求證：OG=EF.

圖1

思路點撥 本題用幾何的方法證明不易，可考慮用解析法，適當建立坐標系，將“形”的問題轉化為“數”的問題. 由于“數”具有精確性的特征，所以巧妙利用這一性質就可以闡明“形”的某些屬性，從而準確澄清“形”的模糊，使問題得以解決.

破解 以兩條對角線所在直線為坐標軸建立直角坐標系，如圖2.

設點A，B，C，D的坐標分別為（-a，0），（0，-b），（c，0），（0，d）. 由F，G分別為AB，CD的中點，知F- ，- ，G ， .

圖2

又E同時在AC，BD的垂直平分線上，所以E ， .

由兩點間的距離公式可得EF=OG= .

例2 如圖3，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是邊長為4的正方形. 平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5.

（1）求證：AA1⊥平面ABC；

（2）求二面角A1-BC1-B1的余弦值；

（3）證明：在線段BC1存在點D，使得AD⊥A1B，并求 的值.

思路點撥 用空間向量法解立體幾何問題的一般步驟：

（1）建立合理的空間直角坐標系.

①當圖形中有三條兩兩垂直且共點的直線時，通常分別以這三條直線為坐標軸建立坐標系.

②當圖形中沒有現成的兩兩垂直的三條直線時，可根據實際情況構造出滿足條件的三條直線，如圖形中有直線與平面垂直時，可選擇這條直線與這個平面的兩條互相垂直的直線為坐標軸.

（2）求出相關點的坐標. 求出圖形中與題目條件和結論相關的所有點的坐標.

（3）求出相關平面的一個法向量. 所有與平面相關的問題都是通過它的一個法向量來實現的.

（4）通過合理運算得到所需結論.

圖3 圖4

破解 （1）略.

（2）因為AB=3，AC=4，BC=5，所以AB⊥AC，所以AB，AC，AA1兩兩垂直. 以A為原點，分別以AC，AB，AA1為x，y，z軸建立空間直角坐標系（如圖4）.

由已知得A1（0，0，4），B（0，3，0），C1（4， 0，4），B1（0，3，4）， =（4，0，0）， =（0，3，-4）， =（4，-3，0）， =（0，0，-4）.

易得平面A1BC1的法向量為m=（0，4，3），平面B1BC1的法向量為n=（3，4，0）.

設二面角A1-BC1-B1的平面角為θ，則有cosθ= = = . 又因為二面角A1-BC1-B1為銳角，所以其余弦值為 .

（3）假設存在點D，坐標為（x，y，z），則 =（x，y-3，z）， =（4，-3，4）.

設 =λ （0≤λ≤1），則可得x=4λ，y-3=-3λz=4λ，，即x=4λ，y=3-3λz=4λ.，所以D（4λ，3-3λ，4λ）， =（4λ，3-3λ，4λ）.

因為AD⊥A1B，所以 · =0，即3（3-3λ）-16λ=0，解得λ= ，所以 = .

例3 橢圓C： + =1（a>b>0）的左、右焦點分別是F1，F2，離心率為 ，過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1.

（1）求橢圓C的方程；

（2）點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點，連結PF1，PF2，設∠F1PF2的角平分線PM交C的長軸于點M（m，0），求m的取值范圍.

思路點撥 （1）根據已知條件建立關于a，b的方程組求解.

（2）由角平分線的性質建立方程，聯立方程組得出m與x0的關系，進而求得m的取值范圍.

破解 （1） +y2=1.

（2）設P（x0，y0）（y0≠0），又由（1）可知F1（- ，0），F2（ ，0），由角平分線的性質得 = ，把 +y =1代入化簡得m（4x -16）=3x -12x0. 因為x ≠4，所以m= x0，而x0∈（-2，2），所以m∈- ， .

1.一個平面封閉區域內任意兩點距離的最大值稱為該區域的“直徑”，封閉區域邊界曲線的長度與區域直徑之比稱為區域的“周率”，下面四個平面區域（陰影部分）的周率從左到右依次記為τ1，τ2，τ3，τ4，則下列關系中正確的為（ ）

圖5

A. τ1>τ4>τ3 B. τ3>τ1>τ2

C. τ4>τ2>τ3 D. τ3>τ4>τ1

2. 如圖6，在三棱錐P-ABC中，AB=AC，D為BC的中點，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2.

圖6

（1）證明：AP⊥BC.

（2）在線段AP上是否存在點M，使得二面角A-MC-B為直二面角？若存在，求出AM的長；若不存在，請說明理由.

3. 如圖7，過橢圓 + =1的右焦點M任作一條直線l與橢圓相交于A，B兩點，設N（2 ，0），連結AN，BN. 求證：∠ANM=∠BNM.

圖7

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以形解數

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由于圖形具有生動性和直觀性的特點，恰當地利用圖形就能使得復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而使問題靈活、簡潔、準確地獲解.說白了，就是將代數問題轉化為幾何問題，將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，把數量關系轉化為圖形的性質來研究，思路與方法便在圖形中直觀顯示出來，不僅可以加深對數量關系的理解，而且還能簡化運算過程，起到事半功倍的效果.

1. 利用圖形研究方程或不等式的解

解方程或不等式時，如果方程或不等式兩邊表達式有明顯的幾何意義，或通過某種方式可與圖形建立聯系，則可設法構造圖形，將方程或不等式所表達的抽象數量關系直接在圖形中得以直觀形象地展現. 美國數學家斯蒂恩說：“如果一個特定的問題，可以被轉化為一個圖形，那么思想就整體地把握了問題，并且能創造性地思索問題的解法.”

例4 已知

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

圖8

思路點撥 本題函數零點個數的確定，用代數方法無法求解，而借助圖象，將問題轉化為兩個函數圖象交點的個數，使問題變得直觀而且簡潔.

破解 函數f（x）= +x-2的零點即為函數f1（x）= ，f2（x）=2-x圖象的交點橫坐標. 作出圖象，如圖5，當a= 時，半圓與f2（x）=2-x相切，有兩個公共點（里面的半圓）；當

例5 解關于x的不等式 ≥a-x.

思路點撥 本題若試圖化無理不等式為有理不等式，可能會有很多同學弄不清分類的標準；而若能轉變思路，運用數形結合的思想則可以幫助我們明確分類標準，從而簡化討論.

破解 在同一平面直角坐標系中畫出函數y= 和y=a-x的圖象，即一個半圓（x-1）2+y2=4（y≥0）和一條直線（如圖9）.

圖9

a為直線在y軸上的截距，直線和半圓相切時，算得a=1+2 ，根據直線與半圓的交點情況，結合a的取值范圍，得

①當a≤-1時，有-1≤x≤3.

②當-1

③當3

④當a>1+2 時，不等式無解.

例6 若關于x的不等式x2<2-x-a至少有一個負數解，則實數a的取值范圍是________.

圖10

思路點撥 很多含有字母的不等式有解、恒成立等問題，從代數的角度求解，過程往往煩瑣而復雜，這時若能夠靈活應用數形結合思想，不僅使問題變得直觀，而且過程更簡便.

破解 不等式x2<2-x-a至少有一個負數解，即x-a<2-x2有負數解，在同一坐標系中作出函數y=x-a和y=2-x2的圖象，如圖10所示. 當y=x-a與y=2-x2相切時，求得a=- ，將y=x-a右移到圖中位置時，不等式剛好無負數解，此時a=2，所以實數a的取值范圍是- ，2.

例7 方程x2+ x-1=0的解可視為函數y=x+ 的圖象與函數y= 的圖象交點的橫坐標. 若方程x4+ax-4=0的各個實根x1，x2，…，xk（k≤4）所對應的點x1， （i=1，2，…k）均在直線y=x的同側，則實數a的取值范圍是______.

思路點撥 根據題中條件自然想到把方程x4+ax-4=0變形為x3+a= ，從而把問題轉化為函數y=x3+a與函數y= 的圖象交點的橫坐標，再利用圖象求解.

圖11

破解 方程x4+ax-4=0的各個實根可視為函數y=x3+a和函數y= 的圖象交點的橫坐標. 在同一坐標系內，畫出y=x，y= ，y=x3+a的圖象，如圖11所示，A（2，2），B（-2，-2）.

當y=x3+a的圖象分別過B，A時，a等于6和-6. 由圖象上、下平移可知，當a<-6或a>6時交點均在直線y=x的同側.

1. 若定義在R上的偶函數f（x）滿足f（x+2）=f（x），且當x∈[0，1]時， f（x）=x，則函數y=f（x）-log4x的零點個數為（ ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

2. 函數y= 的圖象與函數y=2sinπx（-2≤x≤4）的圖象所有交點的橫坐標之和等于_______.

3. 若關于x的不等式x2<2-x-a至少有一個負數解，則實數a的取值范圍是_______.

2. 數形滲透

數形結合的思想方法，不僅是幾何問題用代數方法思考，或是代數（包括三角）問題由圖形去思考，而是密切聯系，相互滲透的統一整體.解題時尤其是解較為綜合的題目，請注意靈活使用.

例8 若曲線C1：x2+y2-2x=0與曲線C2：y（y-mx-m）=0有四個不同的交點，則實數m的取值范圍是（ ）

A. - ，

B. - ，0∪0，

C. - ，

D. -∞，- ∪ ，+∞

思路點撥 解析幾何本身就是用代數的方法研究平面圖形的有關性質，因此解決這部分題目，數形結合思想的應用應該更加普遍.

確解 曲線x2+y2-2x=0表示以（1，0）為圓心，1為半徑的圓，曲線y（y-mx-m）=0可拆分成直線y=0或過定點（-1，0）的直線y-mx-m=0. y=0與圓有兩個交點，故y-mx-m=0也應該與圓有兩個交點. 由圖可以知道，臨界情況即是與圓相切的時候，經計算可得，兩種相切分別對應m= - 和m= ，由圖可知，m的取值范圍應是- ，0∪0， ，故選B.

圖12

例9 若實數x，y滿足不等式組x+3y-3≥0，2x-y-3≤0，x-my+1≥0，且x+y的最大值為9，則實數m=______.

思路點撥 這是個線性規劃問題，常規的方法是通過畫出約束條件所表示的幾何圖形來解決，但是約束條件x-my+1≥0中含有字母m，這就使得其圖象不能準確地被畫出，該怎么辦呢？仔細觀察后我們發現，直線x-my+1=0必過定點（-1，0），但是仍無法確定此直線的傾斜程度，因此確定直線的傾斜程度就成為解決此題的突破口.

破解 不妨設z=x+y，則y=-x+z， 結合圖象知，當直線x-my+1=0繞著（-1，0）旋轉的時候，只有當斜率 ∈（0，2）時，才能讓函數y=-x+z的截距能取到最大值，如圖13所示.

我們發現，當目標函數y=-x+z經過點A時，z取到最大值9.

聯立直線y=-x+9，2x-y-3=0，解得A（4，5），代入x-my+1=0中，得m=1.

圖13

1.在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是邊BC上一點，DC=2BD，則 · =_______.

2. 已知動點P（a，b）在不等式組x+y-2≤0，x-y≥0，y≥0表示的平面區域內部及其邊界上運動，則w= 的取值范圍是__________.

3. 設等差數列{an}的前n項和為Sn，若S4≥10，S5≤15，求a4的最大值.

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參考答案

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1 以數解形

1. 準確理解區域“直徑”“周率”概念的含義是求解本題的突破口.

第一個區域：先補成一個長方形，如圖14甲所示，設長為a，寬為b，則周率τ1= = ≤2 . 第二個區域：設大圓半徑為2，則周率τ2= =π. 第三個區域：將原圖補成一個三角形，如圖14乙所示，設邊長為a，則周率τ3= =3. 第四個區域：如圖14丙所示，設此區域外接正六邊形邊長為a，則周率τ4= =2 ，故選C.

甲 乙 丙

圖14

2. （1）因為AB=AC，D為BC的中點，所以AD⊥BC，又因PO⊥平面ABC，因此PO⊥BC，所以BC⊥平面POA，則AP⊥BC.

（2）不妨以AD所在直線為y軸，OP為z軸，O為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖15所示，則由題意得O（0，0，0），A（0，-3，0），D（0，2，0），B（4，2，0），C（-4，2，0），P（0，0，4）. 設 =λ ， =（0，3，4）.

圖15

設平面AMC的法向量為n1=（x1，y1，z1）， =（-4，5，0）， =（0，3λ，4λ）. 因為n1· =0，n1· =0，所以-4x1+5y1=0，3λy1+4λz1=0，則n1=（5，4，-3）.

設平面BMC的法向量為n2=（x2，y2，z2）， =（8，0，0）， = + =（-4，-5，0）+（0，3λ，4λ）=（-4，-5+3λ，4λ）.

因為n2· =0，n2· =0，所以x2=0，-4x2+（-5+3λ）y2+4λz2=0，則可得n2=（0，4λ，5-3λ）. 若二面角A-MC-B為直二面角，則16λ-3（5-3λ）=0，得λ= ，此時AM=λAP= ×5=3.

3. 易得M（ ，0），所以可設直線AB的方程為x=ty+ ，A（x1，y1），B（x2，y2），則x1=ty1+ ，x2=ty2+ . 把x=ty+ 代入橢圓方程x2+2y2-4=0可得（t2+2）y2+2 ty-2=0，所以y +y = ，y y = . 所以直線AN的斜率kNA= = ，直線BN的斜率kNB= = ，所以由此得kNA+kNB= + = [2ty y - ·（y +y ）]= ·2t - =0，所以直線AN和BN的傾斜角互補，即∠ANM=∠BNM成立.

2 以形解數

1. 利用圖形研究方程或不等式的解

1. 偶函數f（x）的周期為2，且x∈[0，1]時， f（x）=x，作出函數f（x）的部分圖象如圖16所示，而函數y=f（x）-log x的零點即為函數y=f（x）與y=log x的圖象的交點橫坐標. 由圖象可知，交點有6個，故函數y=f（x）-log x的零點有6個，故選D.

圖16

2. 由題意知y= = 的圖象是雙曲線，且關于點（1，0）成中心對稱. 又y=2sinπx的周期為T= =2，也關于點（1，0）成中心對稱，因此兩圖象的交點也一定關于點（1，0）成中心對稱，如圖17所示. 可知兩個圖象在[-2，4]上有8個交點，因此8個交點的橫坐標之和x1+x2+…+x8=2×4=8.

圖17

3. 不等式x2<2-x-a至少有一個負數解，即x-a<2-x2有負數解. 在同一坐標系中作出函數y=x-a和y=2-x2的圖象，如圖18所示. 當y=x-a與y=2-x2相切時，求得a=- ，將y=x-a右移到圖中位置時，不等式剛好無負數解，此時a=2，所以實數a的取值范圍是- ，2.

圖18

2. 數形滲透

1. 建立如圖19所示的坐標系，則A（0，0），B（-1， ），C（1，0），設點D的坐標為（x，y），則 =（x+1，y- ）， =（1-x，-y）.

圖19

因為D是邊BC上一點，DC=2BD，所以1-x=2x+2，-y=2y-2 ，解得x=- ，y= .

所以 =- ， ， =（2，- ），所以 · =- .

2. w= =1+ =1+k，k為定點（1，2）與可行域上動點連線的斜率，由數形結合得斜率k的取值范圍為（-∞，-2]∪[2，+∞），所以w的取值范圍是（-∞，-1]∪[3，+∞）.

3. 由題意得2a1+3d≥5，a1+2d≤3，a4=a1+3d，則問題轉化為：已知實數x，y滿足約束條件2x+3y≥5，x+2y≤3，求z=x+3y的最大值.

作出約束條件2x+3y≥5，x+2y≤3對應的平面區域（如圖20），將目標函數z=x+3y變形為y=- x+ ，它表示斜率為- ，在y軸上的截距為 的直線. 平移直線y=- x+ ，當直線經過點A（1，1）時，直線在y軸上的截距最大，對應的z最大，此時，zmax=1+3=4，所以a4的最大值為4.

圖20