圓錐曲線的方程

圓錐曲線的方程在高考中每年必考，考查多出現在解答題的第一小問，難度不大；有時也以選擇題、填空題的形式單獨考查.

用定義法、待定系數法求圓錐曲線的方程.

求解圓錐曲線標準方程的方法是“先定型，后計算”.

（1）定型：就是指定類型，也就是確定圓錐曲線的焦點位置，從而設出其標準方程.

（2）計算：即利用待定系數法求出所設方程中的a2，b2或p.

另外，當焦點位置無法確定時，拋物線的方程常設為y2=2ax或x2=2ay（a≠0），橢圓的方程常設為mx2+ny2=1（m>0，n>0，m≠n），雙曲線的方程常設為mx2-ny2=1（mn>0）.

例1 已知雙曲線 - =1（a>0，b>0）的一條漸近線方程是y= x，它的一個焦點在拋物線y2=24x的準線上，則雙曲線的方程為________.

破解思路 求雙曲線的標準方程的基本方法是待定系數法. 具體過程是先定形，再定量，即先確定雙曲線標準方程的形式，然后再根據a，b，c，e及漸近線之間的關系，求出a，b的值.

如果已知雙曲線的漸近線方程，求雙曲線的標準方程，可利用有公共漸近線的雙曲線方程為 - =λ（λ≠0），再由條件求出λ的值即可.

答案詳解 因為雙曲線 - =1（a>0，b>0）的一條漸近線方程是y= x，可設雙曲線的方程為x2- =λ（λ>0）. 因為雙曲線 - =1（a>0，b>0）的一個焦點在拋物線y2=24x的準線上，所以F（-6，0）是雙曲線的左焦點，即λ+3λ=36，λ=9，所以雙曲線的方程為 - =1.

例2 已知雙曲線C1： - =1（a>0，b>0）的離心率為2. 若拋物線C2：x2=2py（p>0）的焦點到雙曲線C1的漸近線的距離為2，則拋物線C2的方程為（ ）

A. x2= y

B. x2= y

C. x2=8y

D. x2=16y

破解思路 求拋物線的方程，要依據題設條件，弄清拋物線的對稱軸和開口方向，正確選擇拋物線的標準方程.

答案詳解 因為雙曲線C1： - =1（a>0，b>0）的離心率為2，所以 = =2，所以b= a.

所以雙曲線的漸近線方程為 x±y=0.所以拋物線C2：x2=2py（p>0）的焦點0， 到雙曲線的漸近線的距離為 =2，得p=8. 故所求的拋物線方程為x2=16y，選D.？搖

例3 中心為（0，0），一個焦點為F（0，5 ）的橢圓，截直線y=3x-2所得弦中點的橫坐標為 ，則該橢圓的方程是（ ）

A. + =1

B. + =1

C. + =1

D. + =1

破解思路 根據橢圓的定義和幾何性質確定橢圓的基本量.

求橢圓標準方程的基本方法是待定系數法，具體過程是先定形，再定量，即首先確定焦點所在位置，然后再根據條件建立關于a，b的方程組. 如果焦點位置不確定，要考慮是否有兩解，有時為了解題方便，也可把橢圓方程設為mx2+ny2=1（m>0，n>0，m≠n）的形式.

答案詳解 由已知，c=5 .設橢圓的方程為 + =1，聯立直線方程得 + =1y=3x-2，消去y得（10a2-450）x2-12（a2-50）x+4（a2-50）-a2（a2-50）=0，由根與系數的關系得x1+x2= =1，即a2=75，所以橢圓的方程為 + =1. 故選C.

1. 如圖3，∠OFB= ，△ABF的面積為2- ，則以OA為長半軸，OB為短半軸，F為一個焦點的橢圓方程為________.

圖3 圖4

2. 如圖4，過拋物線y2=2px（p>0）的焦點F的直線交拋物線于點A，B，交其準線l于點C，若BC=2BF，且AF=3，則此拋物線的方程為________.