圓錐曲線的概念及性質

圓錐曲線的概念及性質在高考中每年必考，且考查的內容較為豐富，題目變化較多.

（1）圓錐曲線的定義及應用.

（2）圓錐曲線的幾何性質.

（1）熟練掌握圓錐曲線的定義、幾何性質.

（2）重視數學思想方法的應用，體會解析幾何的本質——用代數方法求解幾何問題.

例1 若雙曲線 - =1（a>0，b>0）的右頂點為A，過其左焦點F作x軸的垂線交雙曲線于M，N兩點，且 · >0，則該雙曲線的離心率的取值范圍為（ ）

A. （2，+∞）？搖？搖？搖？搖 B. （1，2）

C. ，+∞？搖？搖？搖？搖？搖 D. 1，

破解思路 研究圓錐曲線離心率e時，只要求出a，b，c的一個齊次方程，再結合a，b，c的關系（橢圓是b2+c2=a2，雙曲線是a2+b2=c2）就可求得e.若涉及范圍問題時，往往可以借助圓錐曲線上點的坐標的范圍，或者焦半徑的范圍等.

答案詳解 由題意可得M-c， ，N-c，- ，A（a，0），所以 =a+c，- ， =a+c， . 因為 · >0，所以（a+c）2- >0，所以a+c- >0，所以2a2+ac-c2>0，所以e2-e-2<0，解得1

例2 已知拋物線x2=2py（p>0）的焦點與雙曲線x2-y2=- 的一個焦點重合，且在拋物線上有一動點P到x軸的距離為m，P到直線l：2x-y-4=0的距離為n，則m+n的最小值為____.

破解思路 本題可利用拋物線的有關定義，將所求的點到x軸的距離轉化為到焦點的距離.

答案詳解 易知x2=2py（p>0）的焦點為F（0，1），故p=2，因此拋物線的方程為x2=4y. 根據拋物線的定義可知m=PF-1，設PH=n（H為點P到直線l所作垂線的垂足），因此m+n=PF-1+PH. 易知當F，P，H三點共線時m+n最小，因此其最小值為FH-1= -1= -1.

例3 已知雙曲線 - =1（a>0，b>0）的兩條漸近線與拋物線y2=2px（p>0）的準線分別交于A，B兩點，O為坐標原點. 若雙曲線的離心率為2，△AOB的面積為 ，則p等于（ ）

A. 1 B. C. 2 D. 3

破解思路 本題涉及雙曲線的漸近線、拋物線的準線等相關知識，只需根據題意列出相應的等量條件即可解決.

答案詳解 因為雙曲線的離心率e= =2，所以b= a，所以雙曲線的漸近線方程為y=± x=± x. 又與拋物線的準線x=- 分別相交于A- ， p，B- ，- p，所以△AOB的面積為 × × p= . 又p>0，所以p=2. 故選C.

1. 過雙曲線 - =1（a>0，b>0）的左焦點F（-c，0）（c>0），作圓x2+y2= 的切線，切點為E，直線FE交雙曲線右支于點P. 若 = （ + ），則雙曲線的離心率為（ ）

A. B.

C. D.

2. 設F1，F2分別是橢圓 + =1的左、右焦點，P為橢圓上任一點，點M的坐標為（6，4），則PM+PF1的最大值為________.