圓的方程

圓的方程是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容.主要考查圓的方程的求法，常出現(xiàn)在選擇題和填空題中，有時(shí)也作為解答題中的一個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行考查.

（1）圓的方程的形式及應(yīng)用.

（2）利用待定系數(shù)法求圓的方程.

（1）熟練掌握?qǐng)A的方程的兩種形式及其特點(diǎn).

（2）會(huì)利用代數(shù)法、幾何法求圓的方程，注意圓的方程形式的選擇.求圓的方程的兩種方法：①幾何法：通過(guò)研究圓的性質(zhì)及直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而求得圓的基本量和方程；②代數(shù)法：即用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù).

例1 已知平面區(qū)域x≥0，y≥0，x+2y-4≤0恰好被面積最小的圓C：（x-a）2+（y-b）2=r2及其內(nèi)部所覆蓋，則圓C的方程為_(kāi)_______.

破解思路 本題圖形已經(jīng)給出，可以利用相應(yīng)幾何知識(shí)找出圓心和半徑，進(jìn)而寫(xiě)出圓的方程.

答案詳解 由題意知，此平面區(qū)域表示的是以O(shè)（0，0），P（4，0），Q（0，2）所構(gòu)成的三角形及其內(nèi)部，所以覆蓋它的且面積最小的圓是其外接圓.又△OPQ為直角三角形，故其圓心為斜邊PQ的中點(diǎn)（2，1），半徑為 = ，所以圓C的方程為（x-2）2+（y-1）2=5.

例2 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)二次函數(shù)f（x）=x2+2x+b（x∈R）的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，經(jīng)過(guò)這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為C.

（1）求實(shí)數(shù)b的取值范圍；

（2）求圓C的方程；

（3）圓C是否經(jīng)過(guò)某定點(diǎn)（其坐標(biāo)與b無(wú)關(guān)）？請(qǐng)證明你的結(jié)論.

破解思路 本題涉及函數(shù)以及圓的方程的相關(guān)知識(shí). 由已知，圓上三點(diǎn)的坐標(biāo)易于求得，故可以采用待定系數(shù)法表示相關(guān)圓的方程.

答案詳解 （1）因?yàn)閒（x）與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，所以其必與y軸有一個(gè)交點(diǎn)，與x軸有兩個(gè)交點(diǎn). 令x=0，得拋物線與y軸的交點(diǎn)（0，b）（b≠0）. 令f（x）=x2+2x+b=0，則它有兩個(gè)不同的解，所以Δ=4-4b>0，解得b<1.所以b的取值范圍是{bb<1且b≠0}.

（2）設(shè)圓C的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，令y=0得x2+Dx+F=0，其解是圓與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo). 所以x2+Dx+F=x2+2x+b=0，所以D=2，F(xiàn)=b. 令x=0得y2+Ey+F=0，此方程有一個(gè)根為b，所以E=-1-b.

綜上所述，所求圓的方程是x2+y2+2x-（b+1）y+b=0.

（3）圓C必過(guò)定點(diǎn)（0，1）和（-2，1）. 當(dāng)y=1時(shí)，x2+2x=0，解得x=0，x=-2. 所以圓C過(guò)定點(diǎn)（0，1）和（-2，1）.

1. 圓心在直線y=-4x上，并且與直線l：x+y-1=0相切于點(diǎn)P（3，-2）的圓的方程為_(kāi)________.

2. 已知點(diǎn)P（a，b）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為P′（b+1，a-1），則圓C：x2+y2-6x-2y=0關(guān)于直線l對(duì)稱的圓C′的方程為_(kāi)_______.