利用空間向量解決開放性、探究性問題

應用空間向量這一工具解決開放性或探究性問題，比用純立體幾何方法方便靈活，也體現了向量法解題的優越性. 這種能很好地考查學生的發散思維和探究學習的能力的試題是近年各地高考試題的一大亮點.

用空間向量處理探究性問題，無需進行復雜的作圖、論證、推理，只需通過坐標運算進行判斷. 在解題過程中，一般是利用坐標待定法或比值待定法，把“是否存在”問題轉化為“點的坐標是否有解，是否有規定范圍的解”等. 所以使問題的解決更簡單、有效，應善于運用這一方法解題.

例 如圖25，已知在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD.

圖25

（1）從下列①②③三個條件中選擇一個作為AC⊥BD1的充分條件，并給予證明：①AB⊥BC；②AC⊥BD；③ABCD是平行四邊形.

（2）設四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長都為1，且∠BAD為銳角，求平面BDD1與平面BC1D1所成銳二面角θ的取值范圍.

破解思路 第（1）問應從三個選項中逐一選擇作為條件，并把線線垂直的證明轉為線面垂直來證，最后推得AC⊥BD1；第（2）問先確定出三線兩兩垂直，建立空間直角坐標系，利用向量的數量積運算求解. 要注意∠BAD為銳角的條件.

答案詳解 （1）條件②“AC⊥BD”可作為AC⊥BD1的充分條件. 證明如下：因為AA1⊥平面ABCD，AA1∥DD1，所以DD1⊥平面ABCD. 因為AC？奐平面ABCD，所以DD1⊥AC.若條件②成立，即AC⊥BD，因為DD1∩BD=D，所以AC⊥平面BDD1. 又BD1？奐平面BDD1，所以AC⊥BD1.

（2）由已知得ABCD是菱形，所以AC⊥BD. 設AC∩BD=O，O1為B1D1的中點，則OO1⊥平面ABCD，所以OO1，AC，BD交于同一點O且兩兩垂直. 以OB，OC，OO1分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系O-xyz，如圖26所示.

設OA=m，OB=n，其中m>0，n>0，m2+n2=1，則A（0，-m，0），B（n，0，0），C（0，m，0），C1（0，m，1），D1（-n，0，1）， =（-n，m，1）， =（-2n，0，1）.

圖26

設n=（x，y，z）是平面BC1D1的一個法向量，

由n· =0，n· =0得-xn+ym+z=0，-2xn+z=0.令x=m，則y=-n，z=2mn，所以n=（m，-n，2mn）. 又易得 =（0，2m，0）是平面BDD1的一個法向量，所以cosθ = = = = .

令t=n2，則m2=1-t，因為∠BAD為銳角，所以0

1. 已知某幾何體的直觀圖和三視圖如圖27所示，其正視圖為矩形，側視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形.

圖27

（1）證明：BN⊥平面C1B1N.

（2）設直線C1N與平面CNB1所成的角為θ，求sinθ的值.

（3）M為AB的中點，在CB上是否存在一點P，使得MP∥平面CNB1？若存在，求出BP的長；若不存在，請說明理由.

2. 如圖28，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為菱形，且∠BAD=60°，A1A=AB，E為BB1延長線上的一點，D1E⊥平面D1AC.

圖28

（1）求二面角E-AC-D1的大小；

（2）在D1E上是否存在一點P，使A1P∥平面EAC？若存在，求D1P ∶PE的值；若不存在，說明理由.