空間幾何體的表面積和體積

本考點側重考查空間幾何體的概念、邏輯思維能力、空間想象能力及運算能力. 主要有兩種考查形式，一是與三視圖相結合考查；二是以組合體的形式（與球體的切、接）考查，考查難度中等以上. 還需注意的是，近年高考中有關空間幾何體的體積的最值問題有加強的趨勢.

（1）理解柱、錐、臺的側面積、表面積、體積的計算方法，了解它們的側面展開圖及其對計算側面積的作用，會根據條件計算表面積和體積. 理解球的表面積和體積的計算方法.

（2）把握平面圖形與立體圖形間的相互轉化的方法，并能綜合運用立體幾何中所學的知識解決有關問題.

該知識點的重點和難點是：不規則幾何體體積的求解與轉換，體積最值的探究等.

（1）有關柱、錐、臺、球的面積和體積的計算，應以公式為基礎，充分利用幾何體中的直角三角形、直角梯形求有關的幾何元素. 解決旋轉體的表面積問題，要利用好旋轉體的軸截面及側面展開圖.

（2）當給出的幾何體比較復雜，有關的計算公式無法直接運用，或者雖然幾何體并不復雜，但條件中的已知元素彼此離散時，我們可采用“割”“補”的技巧，化復雜幾何體為簡單幾何體（柱、錐、臺），或化離散為集中，給解題提供便利.

（3）與球有關的組合體問題，一種是內切，一種是外接. 解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關元素間的數量關系，并作出合適的截面圖.

例1 已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC=2，則此棱錐的體積為__________.

破解思路 已知三棱錐的底面是邊長為1的正三角形，易求三棱錐的底面積，那么要求它的體積，只需求出它的高. 由SC為棱錐外接球的直徑可知，S到底面的距離等于圓心O到底面距離的2倍，體積即可求.

答案詳解 因為△ABC是邊長為1的正三角形，所以△ABC的外接圓的半徑r= . 因為SC為球O的直徑，且SC=2， 所以球O的半徑R=1，所以點O到平面ABC的距離d= = . 所以點S到平面ABC的距離為2d= ，所以棱錐的體積V= S△ABC×2d= × × = .

例2 如圖7，在平行四邊形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，AD=4，將△CBD沿BD折起到△EBD的位置.

（1）求證：BD⊥平面CDE；

（2）當∠CDE取何值時，三棱錐E-ABD的體積取最大值？并求此時三棱錐E-ABD的側面積.

圖7

破解思路 折疊問題是立體幾何的一類典型問題，是考查實踐能力與創新能力的好素材. 解答折疊問題的關鍵在于畫好折疊前后的平面圖形與立體圖形，并弄清折疊前后哪些量發生了變化，哪些量沒有發生變化. 注意充分發揮平面圖形的作用，計算盡可能在平面圖形中進行. 第（1）問先求出BD的長，然后利用勾股定理確定AB，BD的垂直關系，再由翻折后BD與DC，BD與DE位置關系不變，可證線面垂直. 第（2）問要使三棱錐E-ABD的體積取最大值，只需ED⊥CD.

答案詳解 （1）在△ABD中，因為AB=2，AD=4，∠DAB=60°，所以BD= =2 . 所以AB2+BD2=AD2，所以AB⊥BD.

因為AB∥CD，所以BD⊥CD，BD⊥DE. 又CD∩DE=D，CD，DE？奐平面CDE，所以BD⊥平面CDE.

（2）設E點到平面ABCD的距離為h，則h≤ED=2. 由（1）知BD⊥DE，當ED⊥CD時，因為BD∩CD=D，CD，DE？奐平面CDE，所以ED⊥平面ABCD.

所以當∠CDE=90°時，h=ED=2，三棱錐E-ABD的體積取最大值. 此時ED⊥平面ABCD，所以ED⊥AD，ED⊥BD. 在Rt△DBE中，因為DB=2 ，DE=DC=AB=2，所以S△BDE= DB·DE=2 .

在Rt△ADE中，S△ADE= AD·DE=4. 因為AB⊥BD，BD⊥DE，BD∩DE=D，BD，DE？奐平面BDE，所以AB⊥平面BDE. 所以AB⊥BE. 因為BE=BC=AD=4，所以S△ABE= AB·BE=4.

綜上，當∠CDE=90°時，三棱錐E-ABD的體積取最大值，此時側面積S=8+2 .

1. 已知三棱錐O-ABC，∠BOC=90°，OA⊥平面BOC，其中OA=1，OB=2，OC=3，O，A，B，C四點均在球S的表面上，則球S的表面積為________.

2. 如圖8，一個直徑AB等于2的半圓，過A作這個半圓所在平面的垂線，在垂線上取一點S，使AS=AB，C為半圓上的一個動點，M，N分別為A在SB，SC上的射影. 當三棱錐S-AMN的體積最大時，SC與平面ABC所成角的正弦值是________.

圖8