函數(shù)與應(yīng)用

函數(shù)的應(yīng)用問題一直是高考的熱點(diǎn)之一，各地高考數(shù)學(xué)試題中的應(yīng)用問題多數(shù)是有關(guān)函數(shù)的應(yīng)用題，試題的形式有解答題，也有選擇題或填空題；問題的情境也豐富多彩，有環(huán)境保護(hù)、最優(yōu)化問題、工程問題、與其他學(xué)科的交匯問題等；涉及的函數(shù)模型以二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、“對(duì)勾”函數(shù)、分段函數(shù)為主.

函數(shù)應(yīng)用問題的實(shí)質(zhì)仍是函數(shù)的基本性質(zhì)的應(yīng)用，其關(guān)鍵是從實(shí)際問題中提煉出函數(shù)模型.

解答函數(shù)的應(yīng)用問題一般可按以下程序進(jìn)行操作：第一步， 認(rèn)真縝密審題，確切理解題意；第二步， 引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，建立函數(shù)模型； 第三步，利用函數(shù)知識(shí)，解決數(shù)學(xué)問題； 第四步，回歸實(shí)際問題， 給出問題結(jié)論.

例 某企業(yè)接到生產(chǎn)3000臺(tái)某產(chǎn)品的A，B，C三種部件的訂單，每臺(tái)產(chǎn)品需要這三種部件的數(shù)量分別為2，2，1（單位：件）. 已知每個(gè)工人每天可生產(chǎn)A部件6件，或B部件3件，或C部件2件. 該企業(yè)計(jì)劃安排200名工人分成三組分別生產(chǎn)這三種部件，生產(chǎn)B部件的人數(shù)與生產(chǎn)A部件的人數(shù)成正比，比例系數(shù)為k（k為正整數(shù)）.

（1）設(shè)生產(chǎn)A部件的人數(shù)為x，分別寫出完成A，B，C三種部件生產(chǎn)需要的時(shí)間；

（2）假設(shè)這三種部件的生產(chǎn)同時(shí)開工，試確定正整數(shù)k的值，使完成訂單任務(wù)的時(shí)間最短，并給出時(shí)間最短時(shí)具體的人數(shù)分組方案.

破解思路 對(duì)于第（1）問，關(guān)鍵是要搞清楚當(dāng)生產(chǎn)A部件的人數(shù)為x時(shí)，生產(chǎn)B，C部件的人數(shù)分別是多少，這樣安排時(shí)可分別生產(chǎn)A，B，C部件各多少個(gè).

對(duì)于第（2）問，事實(shí)上是求第（1）問所給出的三個(gè)函數(shù)中（對(duì)于定義域中任意的x的值）最大者的最小值. 由于k的取值的不同，三者的大小關(guān)系也不同，所以可用分類討論的方法解決. 注意到k=2時(shí)，完成A，B部件生產(chǎn)需要的時(shí)間相同，所以k=2是分類討論的臨界值.

答案詳解 （1）設(shè)完成A，B，C三種部件的生產(chǎn)任務(wù)需要的時(shí)間（單位：天）分別為T1（x），T2（x），T3（x），由題設(shè)有T1（x）= = ，T2（x）= ，T3（x）= ，其中x，kx，200-（1+k）x均為1到200之間的正整數(shù).

（2）完成訂單任務(wù)的時(shí)間為f（x）=max{T1（x），T2（x），T3（x）}，其定義域?yàn)閤0

易知，T1（x），T2（x）為減函數(shù)，T3（x）為增函數(shù).注意到T2（x）= T1（x），

于是：①當(dāng)k=2時(shí)，T1（x）=T2（x），此時(shí)可得f（x）=max{T1（x），T3（x）}=max ， ，由函數(shù)T1（x），T3（x）的單調(diào)性知，當(dāng) = 時(shí)f（x）取得最小值，解得x= . 由于44< <45，而f（44）=T1（44）= ， f（45）=T3（45）= ， f（44）

②當(dāng)k>2時(shí)，T1（x）>T2（x），由于k為正整數(shù)，故k≥3，此時(shí) ≥ = .

記T（x）= ，φ（x）=max{T1（x），T（x）}. 易知T（x）為增函數(shù)，則f（x）=max{T1（x），T3（x）}≥max{T1（x），T（x）}=φ（x）=max ， .

由函數(shù)T1（x），T（x）的單調(diào)性知，當(dāng) = 時(shí)，φ（x）取得最小值，解得x= .

由于36< <37，而φ（36）=T1（36）= > ，φ（37）=T（37）= > ，此時(shí)完成訂單任務(wù)的最短時(shí)間大于 .

③當(dāng)k<2時(shí)，T1（x）

此時(shí)由函數(shù)T2（x），T3（x）的單調(diào)性知，當(dāng) = 時(shí)， f（x）取得最小值，解得x= . 類似①的討論. 此時(shí)完成訂單任務(wù)的最短時(shí)間為 ，大于 .

綜上所述，當(dāng)k=2時(shí)完成訂單任務(wù)的時(shí)間最短，此時(shí)生產(chǎn)A，B，C三種部件的人數(shù)分別為44，88，68.

為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層. 某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元. 該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C（單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關(guān)系：C（x）= （0≤x≤10），若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬元. 設(shè)f（x）為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和.

（1）求k的值及f（x）的表達(dá)式；

（2）隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f（x）達(dá)到最小？求最小值.