離散型隨機變量的概率分布

高考中，離散型隨機變量的概率分布問題常以考查隨機變量的分布列、期望、方差為主，其中二項分布與正態分布是常見的隨機變量概率分布模型. 這類問題往往是以實際問題為背景，結合常見的概率事件來進行考查. 問題多在解答題中出現，屬于中等偏難的問題.

（1）理解取有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念，了解分布列對于刻畫隨機現象的重要性.

（2）理解n次獨立重復試驗模型及二項分布，并能解決一些簡單的實際問題.

（3）理解取有限個值的離散型隨機變量的均值、方差的概念，能計算簡單離散型隨機變量的均值、方差，并能解決一些實際問題.

（4）利用實際問題的直方圖，了解正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義.

求離散型隨機變量的分布列的關鍵是：一是要明確隨機變量的所有可能取值，以及取每個值所表示的意義；二是要利用概率的有關知識，求出隨機變量每個取值的概率；三是按規范形式寫出分布列，并用分布列的性質驗證. 如果是求期望，還是應該先求分布列，再利用公式求期望. 掌握離散型隨機變量ξ的分布列的特點及性質（①pi≥0，i=1，2，…，n；②p1+p2+…pn=1）與數學學期望的求解公式E（ξ）=x1p1+x2p2+…+xnpn對解決隨機變量的分布列與期望的問題都是非常重要的.

例1 以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學的植樹棵樹. 乙組記錄中有一個數據模糊，無法確認，在圖中以X表示.

甲組 乙組

9 9 0 X 8 9

1 1 1 0

圖7

（1）如果X=8，求乙組同學植樹棵樹的平均數；

（2）如果X=9，分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，求這兩名同學的植樹總棵樹Y的分布列和數學期望.

破解思路 第一問考查平均數的計算，簡單易解. 第二問考查離散型隨機變量的分布列與期望. 問題解決的關鍵是，首先正確理解變量Y表示的實際意義，分析Y的所有可能取值，然后分別求出Y取每個值的概率，最后得到分布列. 數學期望利用期望公式E（Y）=x1p1+x2p2+…+xnpn求得即可.

答案詳解 （1）當X=8時，由莖葉圖可知，乙組同學的植樹棵數是：8，8，9，10，其平均數為 = = .

（2）當X=9時，由莖葉圖可知，甲組同學的植樹棵樹是：9，9，11，11；乙組同學的植樹棵數是：9，8，9，10. 分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，共有4×4=16種可能的結果，這兩名同學植樹總棵數Y的可能取值為：17，18，19，20，21，事件“Y=17”等價于“甲組選出的同學植樹9棵，乙組選出的同學植樹8棵”，所以該事件有2種可能的結果，因此P（Y=17）= = . 同理可得P（Y=18）= ；P（Y=19）= ；P（Y=20）= ；P（Y=21）= .

所以隨機變量Y的分布列為：

E（Y）=17× +18× +19× +20× +21× =19.

例2 某班舉行數學解題比賽，比賽規則是：每位學生可以選做選擇題2題或選做填空題3題，做對一道選擇題得4分，做錯得0分；做對一道填空題得5分，做錯得0分，得分高的學生勝出. 學生甲打算參加比賽，已知學生甲每次做對選擇題、填空題的概率分別是 ， .

（1）如果以做題得分的期望值高作為選擇的標準，問：學生甲應該選擇做哪類問題？請說明理由；

（2）求學生甲做選擇題得分高于做填空題得分的概率.

破解思路 二項分布是在n次獨立重復試驗中，某事件A發生的次數X所服從的概率分布模型.此題第一問中甲做對選擇題的題數X，甲做對填空題的題數Y都服從二項分布，于是由P（X=k）=Cknpk（1-p）n-k（k=0，1， 2，…，n）可直接求X取每一個值的概率，從而進一步得到分布列，其數學期望與方差可直接由E（X）=np，D（X）=np（1-p）來進行計算，方便快捷.

答案詳解 （1）設學生甲做對選擇題的題數為X，則X～B2， ，故E（X）=2× = ，則學生甲做選擇題得分的期望為4× = =7.2.

設學生甲做對填空題的題數為Y，則Y～B3， ，故E（Y）=3× =1，則學生甲做填空題得分的期望為5×1=5.

所以學生甲應該選擇做選擇題.

（2）設“學生甲做選擇題得分高于做填空題得分”為事件C，“學生甲做選擇題得8分且做填空題得5分或0分”為事件D，“學生甲做選擇題得4分且做填空題得0分”為事件E，則事件C=D∪E，且事件D與事件E互斥.

P（D）= × + = ，P（E）= × = ，P（C）=P（D∪E）= + = ，故學生甲做選擇題得分高于做填空題得分的概率為 .

1. 某市教研室組織高中數學教師教學基本功比賽，比賽依次設做題與命題（初賽）、備課與課件制作（復賽）、上課與答辯（決賽）三個輪次的比賽，已知某選手通過初賽、復賽、決賽的概率分別是 ， ， ，且各輪次通過與否相互獨立.

（1）設該選手參賽的輪次為ξ，求ξ的分布列和數學期望；

（2）對于（1）中的ξ，設“函數f（x）=3sin π（x∈R）是奇函數”為事件D，求事件D發生的概率.

2. 國際標準游泳池長50 m，寬至少21 m，深1.80 m以上，設8條泳道，每條泳道寬2.50 m，分道線由直徑5～10 cm的單個浮標連接而成. 某位游泳教練員指導甲、乙兩名游泳運動員在國際標準游泳池內同時進行游泳訓練，甲、乙兩名運動員可以隨機地選擇不同的泳道進行訓練.

（1）求甲、乙兩名運動員選擇的泳道相隔數的分布列和期望；

（2）若教練員為避免甲、乙兩人訓練的相互干擾，要求兩人相隔的泳道數不少于2，為了同時計時的方便，又要求兩人相隔的泳道數不能超過4，求甲、乙兩名運動員隨機地選擇不同的泳道訓練恰好符合教練員的要求的概率.endprint