2015年高考數學模擬金卷（二）

（說明：本套試卷滿分150分，考試時間120分鐘）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，

1. 設i為虛數單位，復數z1=1+i，z2=2i-1，則復數z1·z2在復平面上對應的點在（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限

C. 第三象限 D. 第四象限

2. 一名同學先后投擲一枚骰子兩次，第一次向上的點數記為x，第二次向上的點數記為y，在直角坐標系xOy中，以（x，y）為坐標的點落在直線2x+y=8上的概率為（ ）

A. B. C. D.

3. （理）已知曲線C1：x2+y2-2x=0和曲線C2：y=xcosθ-sinθ（θ為銳角），則C1與C2的位置關系可能為（ ）

A. 相交 B. 相切

C. 相離 D. 以上情況均有

（文）若實數x，y滿足約束條件x+y≥0，x-y+3≥00≤x≤3，，則z=2x-y的最大值為（ ）

A. - B. 11 C.0 D. 9

4. 2015年某中學派出5名優秀教師去某地區的三所中學進行教學交流，每所中學至少派一名教師，則不同的分配方法有（ ）

A. 80種 B. 90種 C. 120種 D. 150種

5. 設數列{an}是以2為首項，1為公差的等差數列，{bn}是以1為首項，2為公比的等比數列，則a +a +…+a 等于（ ）

A. 1033 B. 1034 C. 2057 D. 2058

6. 不等式 <1的解集記為p，關于x的不等式x2+（a-1）x-a>0的解集記為q，已知p是q的充分不必要條件，則實數a的取值范圍是（ ）

A. （-2，-1] B. [-2，-1] C. D. [-2，+∞）

7. 下面四個命題：

①“直線a∥直線b”的充要條件是“a平行于b所在的平面”；

②“直線l⊥平面α內所有直線”的充要條件是“l⊥平面α”；

③“直線a，b為異面直線”的充分不必要條件是“直線a，b不相交”；

④“平面α∥平面β”的必要不充分條件是“α內存在不共線三點到β的距離相等”.

其中正確命題的序號是（ ）

A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④

8. 橢圓 + =1（a>b>0）的兩頂點為A（a，0），B（0，b），且左焦點為F，△FAB是以角B為直角的直角三角形，則橢圓的離心率e為（ ）

A. B. C. D.

9. 某品牌香水瓶的三視圖如圖1（單位：cm），則該幾何體的表面積為（ ）

圖1

A. 95- B. 94- C. 94+ D. 95+

10. 如圖2所示的程序框圖輸出的結果是（ ）

A. 6 B. -6 C. 5 D. -5

圖2

11. △ABC中，∠A=60°，∠A的平分線AD交邊BC于D，已知AB=3，且 = +λ （λ∈R），則AD的長為（ ）

A. 1 B. C. 2 D. 3

12. 已知函數f（x）的定義域為[-1，5]，部分對應值如表1， f（x）的導函數y=f ′（x）的圖象如圖3所示，下列關于函數f（x）的命題：

①函數f（x）的值域為[1，2]；

②函數f（x）在[0，2]上是減函數；

③如果當x∈[-1，t]時，f（x）的最大值是2，那么t的最大值為4；

④當1

A. 4個 B. 3個 C. 2個 D. 1個

圖3

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，

13. （理）某中學200名考生的高考數學成績近似服從正態分布N（120，100），則此校數學成績在140分以上的考生人數約為_______.

（注：正態總體N（μ，σ2）在區間（μ-2σ，μ+2σ）內取值的概率約為0.954）

（文）某校現有高一、高二、高三三個年級共48個教學班，各年級學生數分別是1000，1050，1200，若按分層抽樣從全校抽出65名學生，則高二年級比高一年級多抽出_______名學生.

14. （理）若銳角α，β滿足（1+ tanα）（1+ tanβ）=4，則α+β=_________.

（文）函數f（x）=sinx·cosx-sin2x的最小正周期是_________.

15. 設a，b均為大于1的正數，且ab+a-b-10=0，若a+b的最小值為m，則m=_________，滿足3x2+2y2≤m的整點（x，y）的個數為_________.

16. 如圖4中的三角形稱為希爾賓斯基三角形，在四個三角形中，黑色三角形的個數依次構成數列{an}的前四項，依此著色方案繼續對三角形著色，

圖4

（1）黑色三角形的個數的通項公式an=_________；

（2）若數列{bn}滿足bn= ·an+1，記M=C +C +C ·b1+C ·b2+…+C ·b19，則M的個位數是_________.

三、解答題：本大題共6小題，共70分，

17. （本小題滿分12分）已知單調遞增的等比數列{an}滿足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中項.

（1）求數列{an}的通項公式；

（2）設bn=anlog an，求數列{bn}的前n項和Sn.

18. （本小題滿分12分）如圖5，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是平行四邊形，且AA1⊥底面ABCD，AB=2，AA1=BC=4，∠ABC=60°，點E為BC中點，點F為B C 中點.

（1）求證：平面A1ED⊥平面A1AEF；

（2）（理）設二面角A1-ED-A的大小為α，直線AD與平面A1ED所成的角為β，求sin（α+β）的值.

（文）求三棱錐E-A1FD的體積.

19. （本小題滿分12分）某市為“市中學生知識競賽”進行選拔性測試，且規定：成績大于或等于90分的有參賽資格，90分以下（不包括90分）的則被淘汰. 若現有500人參加測試，學生成績的頻率分布直方圖如圖6所示：

（1）求獲得參賽資格的人數；

（2）根據頻率直方圖，估算這500名學生測試的平均成績；

（3）（理）若知識競賽分初賽和復賽，在初賽中每人最多有5次選題答題的機會，累計答對3題或答錯3題即終止，答對3題者方可參加復賽，已知參賽者甲答對每一個問題的概率都相同，并且相互之間沒有影響，已知他連續兩次答錯的概率為 ，求甲在初賽中答題個數的分布列及數學期望.

（文）若知識競賽分初賽和復賽，在初賽中每人最多有5次選題答題的機會，累計答對3題或答錯3題即終止，答對3題者方可參加復賽，已知參賽者甲答對每一個問題的概率都相同，并且相互之間沒有影響，已知他連續兩次答錯的概率為 ，求甲在初賽中答題個數為3時的概率.

20. （本小題滿分12分）如圖7，曲線C1是以原點O為中心，F1，F2為焦點的橢圓的一部分，曲線C2是以O為頂點，F2（1，0）為焦點的拋物線的一部分，A ， 是曲線C1和C2的交點.

（1）求曲線C1和C2所在的橢圓和拋物線的方程.

（2）過F2的一條與x軸不垂直的直線，分別與曲線C1，C2依次交于B，C，D，E四點.

①求△CDF1面積的取值范圍.

②（只理科做）若G為CD中點，H為BE中點， · 是否為定值？若是，求出此定值；若不是；請說明理由.

21. （本小題滿分12分）（理）函數f（x）=x3+ax2+bx的圖象C與x軸相切于不同于原點的一點，且f（x）的極小值為-4.

（1）求函數f（x）的解析式及單調區間；

（2）過曲線C上一點P1（x1，y1）（P1不是C的對稱中心）作曲線C的切線，切C于不同于P1（x1，y1）的另一點P2（x2，y2），再過P2（x2，y2）作曲線C的切線，切C于不同于P2（x2，y2）的另一點P3（x3，y3），…，過Pn（xn，yn）作曲線C的切線，切C于不同于Pn（xn，yn）的另一點Pn+1（xn+1，yn+1）. 令x1=-1，求{xn}的通項公式.

（文）函數f（x）=x3+ax2+bx的圖象與x軸相切于點（-3，0），且函數存在極值.

（1）求函數f（x）的解析式及單調區間；

（2）過函數y=f（x）圖象上一點P1（x1，y1）（P1不是y=f（x）圖象的對稱中心）作曲線的切線，切于不同于P1（x1，y1）的另一點P2（x2，y2），再過P2（x2，y2）作曲線的切線，切于不同于P2（x2，y2）的另一點P3（x3，y3），…，過Pn（xn，yn）作曲線的切線，切于不同于Pn（xn，yn）的另一點Pn+1（xn+1，yn+1），求xn與xn+1的關系.

選做題

請考生在第22、23、24三題中任選一題作答，若多做，則按所做的第一題記分.

22. （本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講

如圖8，△ABC內接于⊙O，且AB=AC，過點A的直線交⊙O于點P，交BC的延長線于點D.

（1）求證：AC2=AP·AD；

（2）若∠ABC=60°，⊙O的半徑為1，且P為 的中點，求AD的長.

23. （本小題滿分10分）選修4-4：坐標與參數方程

已知直線l經過點P（1，1），且l的一個方向向量v=（ ，1）.

（1）寫出直線l的參數方程；

（2）設l與圓x2+y2=9相交于兩點A，B，求點P到A，B兩點間的距離之積.

24. （本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講

已知x-a< ，y-b< ，求證：2x-3y-2a+3b