隨機事件的概率

本知識點主要考查隨機事件的概率求解，對于文科考生來說重點是古典概型的概率求解，且隨機事件所含的基本事件數及基本事件總數只要求會用列舉法求得即可，但對理科考生來說不僅要達到對文科考生的要求，還要會用排列、組合的相關知識求隨機事件所含的基本事件數，尤其是條件概率對理科考生來說難度較大. 高考中選擇題、填空題、解答題均有可能出現概率問題，難度屬中等偏難.

（1）了解隨機事件發生的不確定性和頻率的穩定性，了解概率的意義以及頻率與概率的區別.

（2）了解兩個互斥事件的概率加法公式、相互獨立事件的概率乘法公式.

（3）理解古典概型、幾何概型及其概率計算公式.

（4）會計算一些隨機事件所含的基本事件數及事件發生的概率.

隨機事件是在一定條件下可能發生也可能不發生的事件，其概率具有的以下幾個方面的性質非常重要：0≤P（A）≤1；P（A）=1-P（ ）；若A，B互斥，則P（A∪B）=P（A）+P（B）；若A，B相互獨立，則P（AB）=P（A）·P（B）；P（BA）= . 這是解決概率問題的關鍵. 另外，古典概型的概率求解一般按以下步驟進行：①先求出基本事件總數；②再求出事件A所包含的基本事件數；③最后利用公式P（A）= 求得概率. 幾何概型與古典概型的共同點是每個基本事件出現的可能性都是相等的，區別是試驗中所有可能出現的基本事件有有限和無限之別. 顯然求概率P（A）最為關鍵之處是“求事件A所包含的基本事件數”. 無論是用列舉法還是用排列、組合有關知識來求解，務必保證所有可能的結果不重不漏，否則就會出錯.

例1 某中學高三年級從甲、乙兩個班級各選出7名學生參加數學競賽，他們取得的成績（滿分100分）的莖葉圖如圖5所示，其中甲班學生的平均分是85，乙班學生成績的中位數是83.

（1）求x和y的值；

（2）從成績在90分以上的學生中隨機抽取兩名學生，求甲班至少有一名學生的概率.

甲 乙

8 9 7 6

5 x 0 8 1 1 y

6 2 9 1 1 6

圖5

破解思路 此題第一問考查的是平均數、中位數的運算，第二問考查的是隨機事件的概率求解. 此問的概率求解，依據隨機事件概率求解公式，先求基本事件總數，再求事件“甲班至少有一名學生”所包含的基本事件數，兩個事件的求解都是利用列舉法求得. 注意列舉時，有規律地列舉是保證不重復、不遺漏的前提. 此題還可以利用概率性質P（A）=1-P（ ）來求，即“甲班至少有一名學生”的概率等于1與“乙班有兩名學生”的概率的差. 當復雜事件所包含的互斥事件較多時，用對立事件解決較為簡便，這就是“正難則反”的思想，特別適合于“至多”“至少”型問題.

答案詳解 （1）甲班學生的平均分是85，即 =85. 所以x=5. 因為乙班學生成績的中位數是83，所以y=3.

（2）甲班成績在90分以上的學生有兩名，分別記為A，B，乙班成績在90分以上的學生有三名，分別記為C，D，E. 從這五名學生中任意抽取兩名學生共有10種情況：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）. 其中甲班至少有一名學生共有7種情況：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E）. 記“從成績在90分以上的學生中隨機抽取兩名學生，甲班至少有一名學生”為事件M，則P（M）= .

例2 有七名同學隨機地站成一排照畢業紀念照，則甲恰好站在正中間，并且乙、丙兩位同學站在一起的概率為________.

破解思路 此題先求基本事件的總數，再求事件“甲恰好站在正中間，并且乙、丙兩位同學站在一起”所包含的基本事件數，都需要利用排列、組合的知識來求解.

答案詳解 七名同學隨機地站成一排照畢業紀念照，共有A 種不同的站法，其中事件“甲恰好站在正中間，并且乙、丙兩位同學站在一起”包含的基本事件數可以這樣來計算：首先將乙、丙綁定在一起，站法有A A 種；然后將甲排在中間位置，但此時有不符合條件的情況，即當乙、丙在中間位置時，甲再插入中間，應去掉，共有A ·A 種，則符合條件的站法有A ·A -A ·A =192種，故所求的概率是 = .

1. 某校從年度優秀的6位老師中選出4人分別到黃山、九華山、天柱山、齊云山四座名山游覽，要求每座名山有一人覽，每人只能游覽一座名山，則這6人中甲不去黃山、乙不去九華山游覽的概率為______.

2. 某市為增強市民的環境保護意識，面向全市征召義務宣傳志愿者. 現從符合條件的志愿者中隨機抽取100名按年齡分組：第1組[20，25），第2組[25，30），第3組[30，35），第4組[35，40），第5組[40，45]，得到的頻率分布直方圖如圖6所示.

圖6

（1）若從第3，4，5組中用分層抽樣的方法抽取6名志愿者參加廣場宣傳活動，則應從第3，4，5組中各抽取多少名志愿者？

（2）在（1）的條件下，該市決定在這6名志愿者中隨機抽取2名志愿者介紹宣傳經驗，求第4組至少有一名志愿者被抽中的概率.endprint