內嚙合齒輪泵內齒輪的徑向微振動的研究

， ， ， 楊勇(.浙江大學 流體動力與機電系統國家重點實驗室， 浙江 杭州 3007；.中國船舶重工集團公司 第七〇七研究所， 江西 九江 33007)

引言

容積式液壓泵是液壓傳動系統中的核心動力元件，其性能優劣直接影響到液壓系統性能的高低。內嚙合齒輪泵以其結構緊湊、容積效率高、噪聲水平低和可靠性高等突出優點，廣泛地應用于重視控制精度、節能、環境噪聲和可靠性的工業領域或者某些要求結構緊湊噪聲很低的場合。對于漸開線內嚙合齒輪泵，由于漸開線內嚙合齒輪副旋向相同，相對滑動速度小，重合度大，從而使得齒輪副磨損輕微，使用壽命長，流量脈動遠小，高速自吸性能好[1]。目前，應液壓系統的要求，內嚙合齒輪泵正向高壓力、高轉速方向發展[2]。

對于容積式液壓泵，其工作原理決定必定有運動部件與靜止部件形成摩擦副，摩擦副的設計與性能優化直接影響到該元件所能承受的最高壓力及最長使用壽命。內嚙合齒輪泵的內齒輪與殼體之間的摩擦副是該元件的關鍵摩擦副[3]。內嚙合齒輪泵可分為軸向排油和徑向排油兩種。對于軸向排油的情況，一般都采用靜壓支承的設計方法(阻尼管型靜壓支承)，即以阻尼管引高壓油液至內齒輪與殼體之間，通過阻尼管的固定阻尼與內齒輪與殼體之間可變油膜厚度所形成的可變阻尼用來起到壓力調節反饋作用，近似計算摩擦副之間油膜的支承力[4]。

對于徑向排油，由于高壓出油口就在內齒輪與殼體之間充當壓力不變的高壓油室，內齒輪與殼體之間不應再按照阻尼管型靜壓支承進行設計計算。內齒輪受到的徑向不平衡力，會使得內齒輪與殼體中心不完全重合，而是被偏心的壓向一側。從而，內齒輪與殼體之間會形成楔形油膜，由流體力學動壓潤滑相關理論可知，兩物體之間的楔形油膜由于相對運動會產生附加的壓力場，從而改變內齒輪與殼體之間油膜的壓力場分布[5]。

目前國內對內齒輪受到的油膜力多采用靜壓支承方式，采用公式進行推導。美國的普渡大學Andrea V.教授對外嚙合齒輪泵的油膜特性進行了建模分析和試驗驗證，研究了外嚙合齒輪泵浮動側邊與齒輪端面之間、滑動軸承等摩擦副的油膜特性。

本研究采用數值編程方法，首先對齒輪泵的核心元件內嚙合齒輪副進行基于數值建模的壓力區域劃分，求解內齒輪收到的周期性變化的徑向不平衡力?；谝痪S雷諾方程對內齒輪與殼體之間的楔形油膜壓力場進行數值離散求解，最后對內齒輪受到的合力與徑向位置的微變動進行研究。

1 內齒輪的受力情況分析

內齒輪受到的力主要包括三部分，分別是齒輪腔內壓力油液對齒面的液壓力、齒輪副嚙合的嚙合力和內齒輪與殼體之間高壓油液及油膜所產生的支承力。

基于漸開線內嚙合齒輪副的嚙合方程，按照二次展成法求解嚙合齒輪齒廓，可利用MATLAB工具對內嚙合齒輪副進行參數化建模[6]。MATLAB的建模模型如圖1所示。

圖1 內嚙合齒輪副MATLAB建模圖形

在圖1中，可以把內嚙合齒輪泵的嚙合齒輪副、月牙塊等關鍵部件全部用MATLAB進行數值化，從而得齒輪副的嚙合點、齒輪副與月牙塊的交點等一系列關鍵點，從而為對內齒輪進行數值化壓力分區做好準備。

1.1 內齒輪壓力分區

如圖2所示，齒輪副在嚙合過程中最新出現的嚙合點被定義為高低壓區分界點，即圖中P點；內齒輪與月牙塊小端的交點被定義為高壓區向過渡區的分界點，即圖中H2點；內齒輪與月牙塊大端的交點被定義為過渡區與低壓區的分界點，即圖中C2點；內齒輪的中心點為O2點。以上四個關鍵點把內齒輪劃分成高壓腔、過渡腔和低壓腔三部分[7]，每一個腔所對應的扇形角為其相應的壓力包角，從而可以求得其內齒輪和外齒輪的高壓包角和過渡包角，即∠H2O2P為高壓包角，∠H2O2C2為過渡包角。低壓包角由于對應的壓力很低，作用不大，在此不作討論。

圖2 內嚙合齒輪泵壓力區域劃分

內齒輪齒面所受到的液壓力與齒面所處的區域有關。如圖3所示當齒面處于高壓腔，齒面受到的壓力均為泵的出口壓力po； 當齒面處于過渡腔時， 齒面受到的壓力為過渡壓力pf。 通過FLUENT的仿真分析，過渡區域，同一個齒槽內所包油液壓力相等，相鄰齒槽之間油液壓力成線性梯狀下降。設過渡區跨過齒槽數為n，則相鄰齒槽之間的壓差為：

圖3 內嚙合齒輪泵壓力分布示意圖

(1)

式中，pi為泵進口壓力。

1.2 單個齒槽的受力分析

由于嚙合點在齒面上，導致嚙合點所處的齒槽只有部分齒面受力；并且在過渡區域，不同的齒槽的壓力不一樣，為了更準確地計算內齒輪受到的液壓力，并不能采用簡單的圓柱形等效的方法，在此對單個齒槽的受力進行了分析。

如圖4所示，為內齒輪一個齒槽的受力示意圖。在齒面上任取一點A，該點的受力方向為齒面的法線方向，由由漸開線的基本性質知道，從漸開線上的任何一點出發，作其法線均與基圓相切。取漸開線上某一點，其漸開線的發生角為θ，壓力角為αk，對應的發生線長度為sk。

圖4 內齒輪一個齒槽的受力分析示意圖

令齒面上選定點為A，其法線與基圓相切與B，OB與y軸所成的角度為β，則有：

(2)

由漸開線的性質可知：

(3)

從圖中的幾何關系可得角度關系：

β=θ-δ=tanαk-δ

(4)

整理得到：

(5)

如果對于一個齒槽，由于兩個齒面受到關于y軸對稱的力，由對稱線可知x方向合力為0，即：

(6)

式中，αk0為齒根圓處的壓力角；αk1為齒頂圓處的壓力角。

1.3 內齒輪的嚙合力分析

液壓力分別產生M1和M2兩個扭矩作用在齒輪軸和內齒輪上。其中，扭矩M1通過液壓力所作用的齒面直接傳遞給齒輪軸，即在齒輪軸上所產生的徑向力已經包含在液壓徑向力中；而扭矩M2通過液壓力所作用的齒面作用在內齒輪上，內齒輪又通過嚙合點將此扭矩傳遞給齒輪軸。所以，可以根據扭矩M2求出內嚙合齒輪副的嚙合徑向力。

圖5 內嚙合齒輪副嚙合徑向力

根據漸開線齒輪的性質，扭矩M2所引起的嚙合力Ft是一對兩個大小相等、方向相反的相互作用力，其作用方向與漸開線嚙合軌跡重合，分別作用在齒輪軸和內齒輪上，如圖5所示。嚙合力Ft的大小為[8]：

(7)

1.4 內齒輪的支承力分析

如圖6所示為內齒輪與殼體配合截面圖，ABCD四點為密封帶始末位置。AD弧為密封區域；內齒輪受到的支承力主要分為兩部分，中間高壓油室的壓力所產生的支承力和油室四周的密封帶的油膜所產生的支承力。BC弧為高壓出油槽，其包角為β。AB段密封帶的包角為α1，CD段的密封帶包角為α2。

圖6 內齒輪與殼體配合截面圖

把這一段展開，對應的圖及其位置如圖7所示。密封區域展開呈矩形密封，中間黃色填充為高壓油室，壓力為po；邊界區域為低壓區域，等于進油口壓力pi；中間過渡帶為密封帶。高壓油室壓力po沿z軸遞減到進油口壓力pi，由于油膜厚度沿著z軸不變，所以可以認為壓力線性遞減。而油膜厚度沿著y軸是改變的，呈現為楔形油膜。

圖7 密封帶展開圖

示意圖如圖8所示為z值為某一常數的情況下的楔形油膜示意圖； 內齒輪外圓與殼體內圓是間隙配合關系。假設在某一時刻，內齒輪外圓相對殼體內圓偏心距離為e，最小油膜厚度hmin出現在與x正半軸成θ的位置處。由于BC段壓力為高壓油室壓力或者是高壓油室壓力沿z軸線性遞降的壓力，壓力z值為某一常數時保持不變。因此，應把B、C點處的油膜厚度作為等效最小油膜厚度。

圖8 楔形油膜示意圖

令C點與x軸正半軸所成的夾角為ε2，根據幾何關系可以得到C點處的油膜厚度，即等效最小油膜厚度為：

h2=R-r-ecos(ε2-θ)

(8)

在CD段密封帶中，取一小段微元dα2；與x軸正半軸所成角度為ε，根據一位形式雷諾方程，

(9)

式中，dr表示的是微元的周向長度，即：

dr=r·dα2

(10)

式中，μ表示的是油液運動黏度；

v為相對運動線速度；即：

v=2πnr

(11)

式中，h為小微元的油膜厚度，即：

h=R-r-ecos(ε-θ)

(12)

整理得到：

(13)

將α2一段平均分為m份，則：

(14)

將上式進行離散化，則得到：

(15)

初始迭代式為：

(16)

利用上面兩式進行數值迭代，即可得到密封帶楔形油膜處每一點的油膜壓力，從而求得楔形油膜的支承力。

2 內齒輪的受力與徑向位置的耦合關系

以上已經討論了內齒輪的受力情況，從上面分析可知，內齒輪受到的液壓力與嚙合力合力，(稱為徑向不平衡力)，是把內齒輪“壓向”殼體；而內齒輪受到的高壓油室和油膜的支承力則是將內齒輪“推離”殼體。為了順利完成泵壓力的建立，避免泄漏過大，需要內齒輪與殼體之間保持緊緊的接觸以保證密封的需要，這就要求徑向不平衡力要大于支承力，使得內齒輪不管在什么情況下，在泵的工作壓力范圍內，都能保持良好的密封性及潤滑性[9]。

為求解內齒輪的受力與位置的耦合關系，需要對這對耦合關系進行數值求解，其原理為：對于某一工況下，內齒輪在一個周期內的每一個時間點受到的徑向不平衡力均不同。對應于某一時間點，徑向不平衡力是一定的。內齒輪在不同的偏心距ei及與x正半軸所成的偏心角θj下，齒輪受到的壓向殼體的總的合力Fij也不同，在Fij的調整作用下，存在一個最優的偏心距eii及偏心角θjj，使得Fij值最小。

(17)

基于MATLAB數值計算仿真的流程圖如圖9所示。

圖9 仿真程序流程圖

3 內齒輪的徑向位置特征

3.1 仿真參數的輸入

仿真分析主要的參數如表1所示。

表1 仿真分析主要參數

3.2 仿真結果分析

把仿真參數輸入程序，最后把得到的結果整理得到的結果圖線如圖10～12所示。

圖10 內齒輪徑向不平衡力及合力

圖11 內齒輪位置變化圖線

從上面的結果圖線可知，內齒輪受到的徑向不平衡力在65～68 kN之間變化，在轉過10°和20°時均有一個下沖， 這兩個下沖均是由于高壓包角瞬間變小的原因。前者是由于側板上的一個流孔的遮蓋作用導致高壓包角瞬間變??；后者是由于第二對嚙合輪齒發生嚙合，導致嚙合點的位置從往回跳了一個齒的位置。前者導致的包角瞬間變化較小，因此受力跳變不大，后者導致的包角瞬間變化較大，因此受力跳變較大。

圖12 油膜厚度變化圖

從0～20°的位置，內齒輪的受力沒有出現大的跳變，與此相對的是，內齒輪的位置變化也相對穩定，都是保持在偏心距為10 μm，偏心角為-30°附近。在20°的時候，內齒輪受力突然有一個較大的下沖，內齒輪位置會產生較大的跳動，跳到了偏心角為7 μm，但是偏心角不變。這主要是由于不平衡力突然下降，使得支承力往上推動內齒輪使得偏心距減小。

由于內齒輪的位置隨著支承力變動，可見內齒輪受到的合力與徑向不平衡力有很好的跟隨性，使得壓緊系數保持在1.1～1.25不變，不會導致剩余壓緊力過大而造成過度磨損。

油膜高度的變化最小值保證在10 μm，油膜的最大值不超過30 μm。內齒輪外圓和殼體內圓的表面粗糙度均可達到1.6 μm，油膜高度的最小值比兩者之和的兩倍還要大，保證了內齒輪與殼體之間能處于油膜潤滑狀態，油膜高度的最大值出現在密封帶的邊緣處，保證了油膜的密封性和潤滑性。

4 結論

(1) 對內嚙合齒輪泵內齒輪的受力情況作了細致的分析，基于MATLAB對齒輪嚙合過程進行數值建模，求解嚙合點、臨界點等關鍵點，并對齒面所受的液壓力進行基于漸開線性質的積分計算，較準確地求解了內齒輪受到的液壓力及嚙合力；

(2) 基于一維雷諾方程搭建了楔形油膜模型，將油膜動壓效應引入油膜模型，求解油膜支承力與徑向不平衡力之間的關系，為對內齒輪與殼體之間的油膜的動態性研究提出了一種新的思路。

(3) 通過動態求解內齒輪徑向受力與位置的耦合關系，求得了油膜的厚度場，并且通過厚度場的求解，比較準確地定位了內齒輪的偏心距與偏心角，得到了內齒輪在工作過程中沿著徑向微振動的運動規律。

參考文獻：

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