基于功率譜估計(jì)的雙液壓馬達(dá)同步系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)研究

， ， 　(.中國(guó)煤炭科工集團(tuán) 太原研究院有限公司， 山西 太原　030006；.神華神東煤炭集團(tuán)有限責(zé)任公司， 陜西 榆林　7935； 3.中國(guó)礦業(yè)大學(xué)， 北京　00083;4.中國(guó)煤炭科工集團(tuán)有限公司， 北京　0003)

引言

雙液壓馬達(dá)同步驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)常用于負(fù)載慣量大，加速度要求高等大功率應(yīng)用場(chǎng)合，以減小設(shè)備整體重量和尺寸，增加結(jié)構(gòu)剛度。同步驅(qū)動(dòng)主要有三種控制方式：等同式、主從式和交叉耦合式。等同式中，各運(yùn)動(dòng)控制通道之間無控制策略方面的耦合， 各控制通道同時(shí)動(dòng)作實(shí)現(xiàn)同步，同步誤差取決于各控制通道之間的動(dòng)態(tài)性能偏差。主從式以動(dòng)態(tài)響應(yīng)較慢的控制通道作為主回路，以動(dòng)態(tài)響應(yīng)較快的控制通道為從回路，跟隨主回路動(dòng)作。交叉耦合式在等同式的基礎(chǔ)上，將兩控制通道的輸出誤差加權(quán)后疊加到控制器輸出端， 以獲得更高的運(yùn)動(dòng)精度。由于控制系統(tǒng)中各元部件在不同工況下動(dòng)態(tài)特性參數(shù)的非線性、時(shí)變性，同步控制一直是困擾學(xué)術(shù)界和工程應(yīng)用領(lǐng)域的一個(gè)主要問題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者都對(duì)同步控制問題進(jìn)行了大量研究工作。

國(guó)內(nèi)同步控制研究中，趙克定等[1]介紹了雙電液伺服馬達(dá)同步控制系統(tǒng)的共反饋共校正，分反饋分校正，共反饋同步誤差校正，主/輔控制單邊校正以及狀態(tài)差值反饋?zhàn)罴芽刂频确桨浮＠钴妭サ萚2]在三軸仿真轉(zhuǎn)臺(tái)上進(jìn)行了等同式控制方案的實(shí)驗(yàn)研究，結(jié)果表明等同式控制方案具有較高的控制精度。王凱[3,4]等利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和模糊控制方法能很好地克服液壓系統(tǒng)非線性的特點(diǎn)，將其應(yīng)用于仿真轉(zhuǎn)臺(tái)的同步控制和干擾抑制中。王益群等[5]使用了多輸入多輸出(MIMO)H∞和QFT方法來設(shè)計(jì)同步控制器，以從整體上提高多通道電液伺服系統(tǒng)的同步性能。國(guó)外對(duì)同步控制研究較早，Sarachik等[6]首先提出了非對(duì)稱交叉耦合式同步控制方案。Koren等[7,8]在CNC機(jī)床同步控制中提出了對(duì)稱交叉耦合式同步控制方案。Masayoshi Tomizuka等[9]研究了等同式自適應(yīng)前饋控制下，雙直流電機(jī)的運(yùn)動(dòng)同步問題。

目前同步控制研究主要集中于控制算法與控制策略方面，對(duì)同步控制系統(tǒng)在不同工況下的動(dòng)態(tài)特性辨識(shí)問題涉及較少。本研究以功率譜估計(jì)為基礎(chǔ)，首先對(duì)雙液壓馬達(dá)同步系統(tǒng)各工作點(diǎn)頻率特性的非參數(shù)模型進(jìn)行辨識(shí)，形成定量反饋設(shè)計(jì)模板；然后運(yùn)用定量反饋設(shè)計(jì)方法對(duì)雙液壓馬達(dá)同步驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的交叉耦合式同步控制器進(jìn)行了研究，最后進(jìn)行了同步誤差實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

1　雙液壓馬達(dá)同步控制系統(tǒng)及其功率譜估計(jì)

1.1　交叉耦合式同步控制方案

雙液壓馬達(dá)同步驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)交叉耦合式控制框圖如圖1所示。圖中，r(s)為輸入向量，e(s)為誤差向量；G(s) 為前向控制器矩陣；W(s)為耦合控制器矩陣；n(s)為耦合控制器輸出向量；u(s)為控制器總輸出向量；P(s)為雙馬達(dá)傳遞函數(shù)矩陣；θ(s)為系統(tǒng)輸出向量，分別對(duì)應(yīng)于：

圖1　雙液壓馬達(dá)交叉耦合式同步控制系統(tǒng)框圖

由圖可知，雙液壓馬達(dá)交叉耦合式同步系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣為：

其中，

P11(s)·G1(s)·F1(s)

P22(s)·G2(s)·F2(s)

Δ′={1+P11(s)·[G1(s)+W1(s)]}·

{1+P22(s)·[G2(s)+W2(s)]}-

P11(s)·W1(s)·P22(s)·W2(s)

1.2　功率譜估計(jì)系統(tǒng)模型

1) 功率譜估計(jì)原理

假設(shè)H是一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)，輸入信號(hào)為X(n)， 輸出信號(hào)為Y(n)，計(jì)算輸入與輸出信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)，可以得到下面的公式(因?yàn)閄(n)和Y(n)都是實(shí)序列,故省去復(fù)數(shù)的共軛運(yùn)算)。

RXY(m)=E{X(n)Y(n+m)}=RX(m)·h(m)

等式兩邊作傅立葉變換，得到:

PXY(ω)=PX(ω)H(ω)

所以只要計(jì)算出互譜密度PXY(ω)和功率譜PX(ω)，就可以得到H(ω)的辨識(shí)結(jié)果為：

(1)

但是待測(cè)的輸出信號(hào)也可能被噪聲信號(hào)污染。這時(shí)的輸入輸出互相關(guān)函數(shù)為：

RXY(m)=E{X(n)·[Y(n+m)+N(n+m)]}

=RX(m)·h(m)+RXN(m)

對(duì)應(yīng)的傅立葉變換為：

PXY(jω)=PX(ω)H(jω)+PXN(jω)

為了消除在系統(tǒng)輸出端噪聲信號(hào)的影響，可以通過計(jì)算輸入輸出信號(hào)的相干函數(shù)γ2(ω)來評(píng)價(jià)對(duì)應(yīng)頻率值處頻率響應(yīng)數(shù)據(jù)的可靠性：

一般取滿足相干函數(shù)為0.8<γ2(ω)<1之間頻率處對(duì)應(yīng)的頻率響應(yīng)數(shù)值為模板數(shù)據(jù)。

2) 閉環(huán)系統(tǒng)辨識(shí)

功率譜估計(jì)原理是針對(duì)開環(huán)系統(tǒng)提出的，對(duì)于閉環(huán)系統(tǒng)需做相應(yīng)的公式轉(zhuǎn)化。閉環(huán)辨識(shí)如圖2所示。圖中，平穩(wěn)的測(cè)試信號(hào)X(s)是能觀測(cè)的，它與噪聲N(s) 不相關(guān)，那么X(s)就可作為整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的獨(dú)立的輸入變量。如圖所示，可獲得輸出為：

圖2　閉環(huán)辨識(shí)圖

對(duì)于閉環(huán)系統(tǒng)H(s)，其傳遞函數(shù)可表示為：

通常控制器的傳遞函數(shù)G(s)是已知的，則所要確定的傳遞函數(shù)P(s)的參數(shù)就可間接地由求解上式獲得，故開環(huán)系統(tǒng)頻率特性的計(jì)算公式為：

(2)

其中，i為對(duì)應(yīng)的頻率序號(hào)，i∈[1,…,n]

3) 雙液壓馬達(dá)非參數(shù)模型辨識(shí)結(jié)果

運(yùn)用上述功率譜估計(jì)方法的式(1)和式(2)，以2°間隔，對(duì)工作點(diǎn)范圍[-12° 12°]進(jìn)行辨識(shí)，可以分別得到馬達(dá)1和馬達(dá)2在該工作點(diǎn)范圍內(nèi)非參數(shù)頻率特性模型，如圖3a、3b所示。圖中頻率范圍為[1.256,3.768,8.792,13.816,18.84,26.376,31.4,37.68,47.428,54.008,69.08,79.128,87.92,97.968,109.272]rad/s，各個(gè)數(shù)字對(duì)應(yīng)符號(hào)集合表示該數(shù)字對(duì)應(yīng)頻率下各個(gè)工作點(diǎn)的頻率響應(yīng)。

圖3　雙液壓馬達(dá)非參數(shù)頻率特性模型

2　控制器設(shè)計(jì)

2.1　性能指標(biāo)邊界

雙液壓馬達(dá)同步系統(tǒng)性能指標(biāo)為：

(1) 穩(wěn)定性：相位裕度37°，幅值裕度8.7 dB；對(duì)應(yīng)的QFT性能指標(biāo)邊界為魯棒裕量邊界：

(3)

(2) 同步誤差：在峰峰值1°正弦信號(hào)輸入下，5 Hz范圍內(nèi)，兩馬達(dá)輸出最大誤差小于0.06°，即:

εmax=|θ1-θ2|≤0.06°=L

(4)

L為同步誤差指標(biāo)。式(4)同步誤差時(shí)域指標(biāo)對(duì)應(yīng)的頻域形式為：

(5)

L1≤α2/α1≤L2

(6)

其中，α1為馬達(dá)1控制通道幅頻特性對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)值；α2為馬達(dá)2控制通道幅頻特性對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)值；φ1為馬達(dá)1控制通道相頻特性；φ2為馬達(dá)2控制通道相頻特性；且φ2=φ1+Δφ。

(3) 交叉耦合式同步系統(tǒng)穩(wěn)定性條件：

圖1中，以v(s)為輸入，θ(s)為輸出的耦合控制器內(nèi)環(huán)等效傳遞函數(shù)矩陣為：

(7)

其中，

Δ=1+P22(s)·W2(s)+P11(s)·W1(s)

由定量反饋理論2×2系統(tǒng)穩(wěn)定性判別引理4.4[10]，且P(s)為最小相位系統(tǒng)可知，控制器應(yīng)滿足以下穩(wěn)定條件：

|1+G1(s)/π11|-1≤1.58

(9)

2.2　前向控制器設(shè)計(jì)

圖4為馬達(dá)1和馬達(dá)2前向控制器G1(s)，G2(s)的設(shè)計(jì)圖，分別按照SISO QFT控制器設(shè)計(jì)方法進(jìn)行。

馬達(dá)1前向控制器設(shè)計(jì)為：

(10)

馬達(dá)2前向控制器設(shè)計(jì)為：

(11)

圖4a、4b中，1所指圈點(diǎn)曲線均指0°工作點(diǎn)名義被控對(duì)象，設(shè)計(jì)中應(yīng)使該曲線在31.4 rad/s處頻率特性相近以保證同步性能。1.256，3.768，8.792，13.816，18.84，26.376，31.4所指曲線為對(duì)應(yīng)數(shù)字代表的頻率下系統(tǒng)的性能邊界。由圖4可知，名義對(duì)象曲線在各個(gè)頻率下的響應(yīng)(圈點(diǎn))都位于對(duì)應(yīng)頻率下性能指標(biāo)曲線上方，滿足穩(wěn)定性要求。

圖4　雙液壓馬達(dá)前向控制器設(shè)計(jì)圖

2.3　耦合控制器設(shè)計(jì)

耦合控制器能夠改變閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣零極點(diǎn)以改善系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能，同時(shí)耦合控制器的引入使系統(tǒng)成為2×2 MIMO系統(tǒng)，因此其必須滿足式(8)，式(9)定義的穩(wěn)定條件。滿足穩(wěn)定性條件的耦合控制器設(shè)計(jì)為：

(12)

圖5為耦合控制器穩(wěn)定性驗(yàn)證圖。加入耦合控制器后，系統(tǒng)按照公式(8)和公式(9)所得曲線均位于穩(wěn)定指標(biāo)曲線下方，因此系統(tǒng)穩(wěn)定。

3　同步實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證用以功率譜估計(jì)為基礎(chǔ)的同步控制器定量反饋設(shè)計(jì)方法所提出的前向控制器和耦合控制器的同步性能，在雙液壓馬達(dá)同步實(shí)驗(yàn)臺(tái)上對(duì)[-12° 12°]范圍內(nèi)各工作點(diǎn)分別進(jìn)行了峰峰值1°正弦信號(hào)在1 Hz，3 Hz，5 Hz同步誤差驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)。

圖6以0°工作點(diǎn)為例， 給出了雙液壓馬達(dá)同步系統(tǒng)在該工作點(diǎn)下分別對(duì)1 Hz，3 Hz，5 Hz峰峰值為1°正弦輸入信號(hào)的響應(yīng)。圖中，點(diǎn)劃線1為給定輸入信號(hào)，2實(shí)線為馬達(dá)1輸出信號(hào)，虛線3為馬達(dá)2輸出信號(hào)，對(duì)應(yīng)兩馬達(dá)同步誤差絕對(duì)值分別為：0.047°，0.048°，0.050°，滿足同步誤差指標(biāo)。

圖5　耦和控制器穩(wěn)定性驗(yàn)證圖

圖6　雙液壓馬達(dá)同步系統(tǒng)0°工作點(diǎn)正弦信號(hào)響應(yīng)

表1所示為雙液壓馬達(dá)同步系統(tǒng)在-12°～12°工作點(diǎn)范圍內(nèi)，各工作點(diǎn)在1 Hz，3 Hz,5 Hz正弦信號(hào)下的同步誤差。從表中可知，除極個(gè)別點(diǎn)外，雙液壓馬達(dá)同步系統(tǒng)在前向控制器和耦合控制器控制下都能夠滿足所要求的同步性能指標(biāo)要求。

表1　各工作點(diǎn)在1 Hz,3 Hz,5 Hz正弦信號(hào)下同步誤差

4　結(jié)論

針對(duì)雙液壓馬達(dá)同步控制問題，提出一種以功率譜估計(jì)為基礎(chǔ)的同步控制器定量反饋設(shè)計(jì)方法，并對(duì)用該方法設(shè)計(jì)出的控制器進(jìn)行了同步實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，證實(shí)了所設(shè)計(jì)出控制器的有效性。同步控制器設(shè)計(jì)方法具有控制器設(shè)計(jì)準(zhǔn)確，設(shè)計(jì)過程透明的特點(diǎn)。

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