點動圖變思構圖，特殊出發想一般
——從北京兩道八年級幾何綜合題說起

☉江蘇省宜興市樹人中學 孫登高

☉江蘇省無錫市金星中學 朱宸材

點動圖變思構圖，特殊出發想一般
——從北京兩道八年級幾何綜合題說起

☉江蘇省宜興市樹人中學 孫登高

☉江蘇省無錫市金星中學 朱宸材

據筆者教學經歷所見，新世紀以來的課程改革在一定程度上降低了幾何教學的要求，反映在相關教材上，一方面將過去很多繁難的幾何問題從教材上刪減；另一方面也破壞了幾何嚴謹的邏輯體系，對基層幾何教學帶來一定的干擾.然而，最近研習北京相關地區2014～2015學年第一學期八年級期末試題時，欣喜地發現，北京各個區八年級試卷的最后一道綜合題竟然大多使用了幾何考題，這種通過地區考卷強勢引領幾何教學的命題導向值得點贊！本文選取其中一些典型幾何習題，講解動點問題的證明策略，并反思幾何變式中考查“特殊與一般”的關系.

一、兩道八年級幾何綜合題及思路簡述

例1（北京市東城區（南區）2014～2015學年第一學期八年級卷）在等邊△ABC中，點E在AB上，點D在CB的延長線上，且ED=EC.

（1）若點E是AB的中點，如圖1，求證：AE=DB.

（2）若點E不是AB的中點時，如圖2，試確定線段AE與DB的大小關系，并寫出證明過程.

圖1

圖2

思路簡述：（1）容易證出等腰△BDE，從而有BD=BE.又點E是AB的中點，獲證AE=DB.

（2）如圖3，過點E作EF∥BC交AC于點F.由△ABC是等邊三角形，得∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB= AC=BC，由EF∥BC，得∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，即∠AEF=∠AFE=∠A=60°，所以△AEF是等邊三角形.于是∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°，再結合DE=EC，得∠D=∠ECD，∠BED=∠ECF.于是可證△DEB≌△ECF.得BD= EF=AE，即AE=BD.

圖3

例2（北京市朝陽區2014～2015學年第一學期八年級卷）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，作∠ACM，使得點D是直線BC上的動點，過點D作直線CM的垂線，垂足為E，交直線AC于點F.

（1）當點D與點B重合時，如圖4所示，DF與EC的數量關系是________；

圖4

（2）當點D在直線BC上運動時，DF和EC是否始終保持上述數量關系呢？請你畫出點D運動到CB延長線上某一點時的圖形，并證明此時DF與EC的數量關系.

思路簡述：（1）結合題意知道在Rt△ABF和Rt△CEF中，有一組對頂角相等，從而由等角的余角相等得∠ABF=∠ACM，結合∠ABC可代換出∠ABF=，即此時BE平分∠ABC！想清楚這點后，就容易構造出如圖5的輔助線，延長BA交CM于G點，易證得△BGE≌△BCE，從而有GE=CE；另外又可證得△ABF≌△ACG，從而有BF=CG；于是BF=2CE，問題獲解.

（2）根據要求先構造圖6，受到（1）中思路的啟發，過點D作DH⊥CA，并交CM于點G，容易得到等腰Rt△CDH，證得△DGE≌△DCE，從而有GE=CE；另外又可證得△HDF≌△HCG，從而有DF=CG；于是DF=2CE，問題獲解.

圖5

圖6

二、關于教學導向的思考

事實上，不僅是上述兩個地區在全卷最后一題安排了幾何題的變式考查，就筆者檢索所見，北京海淀區、昌平區、西城區等地最后一題也都不約而同地選擇了幾何題的變式綜合題.那么，這類考題的教學導向何在呢？以下圍繞幾何解題教學、變式教學闡釋一些個性化的認識.

1.幾何解題教學，努力追求一題多變

我們知道教材上新授課期間的例習題常常是為了鞏固訓練圖形的性質或判定定理，功能較為單一，缺少對問題本身的深入追問，像上文摘引的兩道考題，則對一個問題進行了一題多變，追求了從特殊到一般的解題思想.同時，值得一說的是，就幾何解題教學來說，不僅要追求一題多變，將問題從特殊引向一般，訓練思維的深刻性、求變性；還要注意一題多解的訓練，訓練同一問題的多樣化求解；進一步，在對一題多解的點評環節，還需要引導學生對一題多解作出必要的反思，即為什么問題會有這么多的解法？這些不同解法的背后又有怎樣的相同點？多思考這些問題常常能讓我們走向問題的深度，解題教學自然也能追求一定的教學深度.

2.倡導變式教學，啟發學生學會思考

我們知道，經由顧泠沅教授等人的努力，變式教學已成為我國數學教育的重要特色，其研究范圍不僅在解題教學中大力開展變式教學，包括概念在內的變式教學研究也已十分深入，值得廣大一線教師關注.就本文所引摘的兩道幾何變式考題來看，解題教學中倡導變式教學就需要思考“從特殊走向一般”的變式取向，而這也是把思維定勢引向求變思維，如例2中，當點D在直線BC上運動時，需要分三種不同的位置關系（點在CB延長線上、在線段CB上、在BC延長線上）研究，而證明的思路又是一致的，都是要構造等腰三角形再證全等.容易看出，認真開展這樣的變式教學，長期堅持，學生收獲的并不僅僅是解題能力的提升，而是啟發他們學會思考、學會探索未知領域，在一定意義上，也就追求了鄭毓信教授所倡導的“從開放題到開放式教學”.

三、實踐跟進

坐而論道，不如起而行之.以下就以教材上的習題為例，變式設問，追求解題教學效益的更大化.

例3（人教七下第20頁，練習2）如圖7，△ABC中，D是AB上一點，E是AC上一點，∠ADE=60°，∠B= 60°，∠AED=40°.

圖7

（1）圖中還能求出哪些角的度數？直接寫出.

（2）用兩種思路證明DE∥BC.

（3）連接BE，當EB恰好平分∠ABC時，△BDE是等腰三角形嗎？說明理由.

（4）過點A作△ABC的高AH，求證：AH⊥DE.

變式意圖：通過前兩問有效鞏固訓練了新學內容（平行線的性質與判定），接著又通過系列變式，引導學生積累基本圖形（當“平行”遇上“平分”會形成等腰三角形），而最后一問引導學生積累“如果一條直線垂直于平行線中的一條直線，則它也垂直于另一條直線.”

例4（人教七下第22頁，第2題）如圖8，在四邊形ABCD中，如果AD∥BC，∠B=60°.

（1）能直接求出哪個角的度數？寫出推理語句.

（2）請再添加一個條件，求出這個四邊形的所有內角的角度.

（3）作∠ABC的平分線交AD于點E，再作∠BCD的平分線交BE于點H，若BE⊥CH時，求證AB∥CD.

變式意圖：前兩問訓練平行線的性質，后一問啟發學生積累基本圖形所對應的命題“兩直線平行，同旁內角的平分線互相垂直”，并思辨該命題的逆命題.因為就變式問題來看，將原命題變式為逆命題是常見的變式取向和思考方向，要啟發學生多思考這樣的問題，幾何中很多定理都具有互逆定理，如勾股定理與逆定理、平行線的性質與判定、平行四邊形的性質與判定等.

圖8

四、寫在最后

本文關注的、列舉的都是幾何教學中的題例，事實上，解題教學中到處都可見變式存在，需要教師本身對問題的呈現方式、解法多樣化、問題可能的生長方向有著較好的理解，在這個意義上說，理解數學、理解解題，首先要從我們做起，所謂解題教學功夫在于課堂之外，也就是這個道理吧.

1.章建躍.發揮數學的內在力量，為學生謀取長期利益［J］.數學通報，2013（2）.

2.史寧中，主編.基本概念與運算法則——小學數學教學中的核心問題［M］.北京：高等教育出版社，2013.

3.夏盛亮.引導回歸教材，倡導開放取向——一次縣級期末卷的命題取向分析［J］.中學數學（下），2014（1）.

4.鄭毓信.開放題與開放式教學［J］.中學數學教學參考，2001（3）.H