一道中考幾何壓軸題的解法探究和亮點賞析

☉江蘇省海門市海南中學 楊春鳥

一道中考幾何壓軸題的解法探究和亮點賞析

☉江蘇省海門市海南中學 楊春鳥

隨著數學新課程標準的深入實施，為提高考試的區分度，直線型幾何綜合題越來越受到全國各地中考命題專家的青睞，涌現出不少好題.以下是筆者對2014年南通市中考數學試題第27題的解法探究和亮點賞析.

一、原題呈現

題目：（2014年南通）如圖1，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E為AB上一點，AE=1.M為射線AD上一動點，AM=a（a為大于0的常數）.直線EM與直線CD交于點F，過點M作MG⊥EM，交直線BC于點G.

圖1

（1）若M為邊AD的中點，求證△EFG是等腰三角形；（2）若點G與點C重合，求線段MG的長；

（3）請用含a的代數式表示△EFG的面積S，并指出S的最小整數值.

二、解法探究

先解決第一問.

思路：先證明EM=FM，再證明EG=FG.

方法1：利用相似和中垂線的性質.

由M為AD的中點，得AM=DM.由四邊形ABCD是矩形，得AB∥CD.所以=1，即EM=FM.又因為MG⊥EF，所以GE=GF，所以△EFG是等腰三角形.

方法2：利用全等.

同方法1，可得AB∥CD.故∠A=∠FDM，∠AEM=∠DFM.又AM=DM，所以△AEM≌△DFM.所以EM=FM.因為MG⊥EM，所以∠GME=∠GMF.又因為GM=GM，所以△EMG≌△FMG.

所以EG=FG.所以△EFG是等腰三角形.

方法3：利用三角函數.

再由中垂線的性質或全等證得EG=FG.

評析：盡管三種方法思路一樣，但從簡潔的角度看，“先利用相似或三角函數，再根據中垂線的性質”證明方法更為直接，相對煩瑣的是用兩次全等證明.

再解決第二問.

思路：建立關于a的方程.方法1：利用相似.

若點G與點C重合，如圖2，由四邊形ABCD是矩形，得∠A=∠ADC=90°.

所以∠AEM+∠AME=90°.

由MG⊥EF，得∠CME=90°.所以∠CMD+∠AME=90°.

圖2

方法2：運用勾股定理.

由MG⊥EM，得ME2+MG2=EG2.

又ME2=AE2+AM2=1+a2，MG2=DM2+DG2=（4-a）2+9，EG2=BE2+BG2=4+16=20，所以1+a2+（4-a）2+9=20.解得a=1或a=3.

方法3：建立平面直角坐標系.

以B為坐標原點，BA、BC所在直線為y軸、x軸，建立如圖3所示的平面直角坐標系.

由AE=1，AB=4，AM=a，得E（0，2）、M（a，3）.

圖3

由MG⊥EM，設直線MG：y=-ax+c，將C（4，0）代入，得-4a+c=0，則c=4a.

所以直線MG：y=-ax+4a.將M（a，3）代入，得-a2+4a= 3.解得a=1或a=3.

評析：方法1利用相似三角形的對應邊成比例建立方程，方法2利用勾股定理建立方程，思路都比較直接，學生容易想到，但學生的易錯點是方法1中的找準“對應邊”、方法2中的正確“數式計算”.方法3建立平面直角坐標系，將問題轉化為求出直線MG的解析式，解答過程也較簡潔，且運算要求不高，該方法實在是妙，但對思維水平和解題策略的要求較高，一般學生不易想到.

方法1：直接求△EFG的底邊和高.

①當點M在線段AD上時，如圖4，過M作MH⊥BC于H，可得△HMG∽△AME.

圖4

②當點M在線段AD的延長線上時，如圖5，過M作MH⊥BC于H，下同①中方法（略）.

圖5

評析：此解法通過作垂線，構造相似三角形，利用相似三角形的對應邊成比例直接求出△EFG的底邊和高.學生較易想到這樣的思路，但解答過程不簡潔，且對運算要求偏高，已經超出了教材和數學課程標準的要求，筆者認為該方法不可取，大部分學生難以順利地推出正確的答案.

方法2：將△EFG的面積轉化為同底且底邊平行于矩形的一邊的兩個三角形.

①當點M在線段AD上時，如圖6，作GH⊥AD于H，并延長交直線EF于P.

圖6

②當點M在線段AD的延長線上時，如圖7，作GH⊥AD于H，并延長交直線EF于P.

圖7

評析：此解法盡管也是通過作垂線，構造相似三角形，利用相似三角形的對應邊成比例直接求出相關的線段長，但變直接求為間接求面積，即將△EFG的面積分割轉化為同底且底邊平行于矩形的一邊的兩個三角形的面積之和或差，達到了化繁為簡、化難為易的目的.筆者認為這種方法是求解圖形面積的常用招數，也是基礎方法.

方法3：利用整體與部分的關系，將△EFG的面積轉化為整體與部分的差.

圖8

所以S=S梯形EBCF-S△BEG-S△FCG

②當點M在線段AD的延長線上時，如圖9，作FH⊥AB于H，則利用S=S梯形HBCD-S△BEG-S△HEF同樣可求得.

圖9

評析：此解法為“圖形補充法”，即將所求原圖形填補一個或多個特殊（或可求）圖形，使其變為一個新的特殊（或可求）圖形，而后用新圖形的面積減去所補圖形的面積，可得所求原圖形的面積，體現了“化生為熟”的轉化目的.筆者認為這種方法也是求解圖形面積的常用方法，但對學生的運算能力要求較高，心態平和才能圓滿地解答出來.

三、亮點賞析

（1）本題是以矩形和三角形為基礎，以動點為背景求函數關系的問題，主要考查學生運用運動變化的思想去探究問題中不變的數學元素.本題綜合性較強，將相似三角形（全等三角形）的性質和判定、矩形的性質等知識融為一體，實現了對“直線型”幾何知識的綜合考查，對觀察能力、邏輯推理能力、方程與函數思想、數形結合思想和分類討論思想有較高的要求，同時也考查了學生的學習經驗，突出數學的思維價值，作為壓軸題有較好的區分度.

（2）試題的呈現自然、簡潔、和諧，凸顯了對數學本質的思考，設計的3個問題有層次性，體現了壓軸題的選拔功能.試題的第一問比較容易，大部分學生能輕松解決；第二問難度中檔，成績中上等的學生能較好地解決；第三問是本題作為壓軸題的難點和精彩所在，對學生的解題能力和思維深度提出了較高的要求.一是要求學生對運動的特點要有深刻的理解，考查了學生的幾何想象能力和畫圖能力；二是要抓住關鍵詞“射線”，準確判斷運動過程中點M和相應的點G的兩種情況，考查了學生分類討論的數學思想；三是要確定運動中不變的因素，沿著設置的“路標”按圖索驥，再探索△EFG的面積的求法，如直接法、分割法、面積相加和相減法等，考查了學生數形結合的數學思維方式；四是要運用相似三角形或解直角三角形的方法表示相關線段的函數關系，滲透了方程與函數的數學思想方法；五是要經過正確的代數運算才能得到最后的結果，考查了學生的計算能力和心理素質.

（3）本題每一問均能從不同的角度考慮，能探索到不同的解決問題的方法和策略，而第二問中一反常態地“建立平面直角坐標系”，為本題注入了新的活力，第三問中求面積時，直接求解過程的煩瑣和利用“割”“補”等方法將原圖形進行轉化后達到柳暗花明、豁然開朗的感覺，這些解法的靈活性、發散性和不同的解法帶來的不同的結果對一線教師的教學有很好的導向作用.在平時的教學中，在關注通解、通法的基礎上，還要加強學生的聯想能力和猜想能力，比如看到平行線聯想到相似；看到高、垂線聯想到面積、勾股定理、平面直角坐標系等，由這些知識出發可以進一步尋求其他不同的解題路徑和方法，打破思維定勢，激發學生換一種角度，培養學生思維的靈活性和發散性.

1.周曉慧，苑建廣.圖形面積的多重角色釋讀——以2013年中考試題為例［J］.中學數學（下），2014（6）.

2.顧洪敏，劉金英.一道中考題賞析［J］.中國數學教育（初中版），2011（11）.