特殊值法解題的幾個注意點

☉江蘇省如皋市外國語學校 陳德剛

特殊值法解題的幾個注意點

☉江蘇省如皋市外國語學校 陳德剛

特殊值法，是指在數學問題的解答中，通過將題中某個未知量設為特殊值，在簡單的運算后得出最終答案的一種方法.由于特殊取值的應用，加之不需要對解題結果進行一般性驗證，所以這種方法節省了大量的解題時間，成為學生熱衷選擇的一種解題方法.正是學生的這種應用熱情，讓此法在實際應用時出現了不少問題，其中最為典型的是取值不當和應用范圍盲目擴大.特殊值法的不當應用，給問題解決帶來了一些不小的麻煩，導致很多無謂失誤，十分可惜.現結合一些例題的解題分析談談應用特殊值法解題的幾個注意點，希望對您有幫助.

一、特殊取值應有利于計算或說理

應用特殊值法，必然會牽扯到取特殊值的問題，特殊值要體現其特殊性，取什么樣的數值代入較為適宜確實值得研究，這與題目本身有著很大的關系.事實告訴我們，應用特殊值法解題時，取值應抓住題目的特點，所取數值不僅符合具體的情境的需求，還應保證所取數值便于計算和說理.只有別具匠心的特殊取值，才能凸顯出特殊值法的方便與快捷.

A.y1＜y2B.y1＞y2C.y1≤y2D.y1≥y2

解法分析：從本題的題干看，條件“k為常數”告訴我們，k的取值并不影響本題的結果，也就是說，無論k取多少，最終的選擇都是一致的.因此，本題用特殊值法來求解，通過選取一個特殊數值代入函數關系式，再將x的值代入算出對應的y的值，即這里的y1與y2，大小關系很快便可得出.那么，選擇怎樣的數值代入較為合適呢？不妨取k=0，則.這樣很快就可以得出根據兩個負數比較大小的方法，易得y1＜y2.所以，本題選擇A.

簡要說明：分析例1的解題歷程，我們不難發現特殊值法確實讓解題變得簡單了.對于取什么樣的值，還是有講究的.例1中，雖然題目告知了“k為常數”，但這個常數可不是隨便取的，如果k的值取較大的數或者是分數，如100或計算起來十分麻煩，不僅沒有用性質判別來得簡單（本題也可以應用反比例函數的性質直接判斷），還可能會因為計算失誤導致出錯.

二、幾何問題的特殊取值由圖形的特殊位置確定

特殊值法，不僅適用于代數問題，在幾何問題中也有著較大作用.我們在解答一些與圖形相關的問題時，常常選取圖形的特殊位置進行研究，將特殊的位置轉化為線段或角的特殊取值，從而找到化解問題的路徑.所以在教學時，我們要注意引導學生發現圖形的特殊位置與特殊取值之間的關系，讓他們充分感知特殊位置對問題解決的巨大作用，形成應用特殊值法解決幾何問題的思維慣性.

例2從邊長為1的等邊三角形內一點分別向三邊作垂線，三條垂線段的長的和是_________.

解法分析：很明顯，題中的“從形內一點分別向三邊作垂線”并沒有說明這一點的位置，也就是說這一點只要在三角形的內部即可，特殊與否并不影響結果，所以本題可以用特殊值法來求解.如圖，取等邊三角形ABC的內心O，作OD⊥BC于點D.易得OD=，所以三條垂線段的長的和是

簡要說明：“圖形與幾何”是初中階段重要的課程內容之一，在學習新知時，我們也常用特殊值法來獲取結論，因此，特殊值法也可以應用到“圖形與幾何”問題的解決之中.例2中，解讀條件“等邊三角形內一點”，可知這個點只要在三角形內，特殊的位置與最終結果并不沖突，所以取這個三角形的內心是合適的，一個特殊位置的獲得，學生自然獲得了線段和角的特殊取值，這樣的探究使得一般問題特殊化，在應用特殊的取值化解一般幾何問題的過程中，為一般化驗證（用面積法證明）開啟了通道.從這道例題來看，特殊位置的確定，讓特殊取值具有幾何意義，不僅是位置的特殊，更是線段、角的取值的特殊，雙重特殊成就了問題的快速解決.

三、要關注特殊值法的適用范圍

特殊值法是發現結論的重要途徑，它不僅適用于填空題和選擇題等客觀題型，在結論的獲得上，對解答題也同樣適用.但是解答題是要給出規范過程的題型，“在解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟”，給出的解題過程應符合數學的一般規律，不能用特殊狀況下的演算或推理代替一般性的過程.所以應用特殊值法解題要關注適用范圍，尤其要注意應用特殊值法分析問題并取得結論的過程一般不能作為解答的過程呈現.

解法分析：如果是一道填空題或選擇題，本題應用特殊值法分析是十分合適的，我們可以抓住式子=2的特點，取a=1，b=1，代入到中，直接計算便可以得到最終的結果為.但本題是一道解答題，用特殊值法顯然是不合時宜的，所以我們應從題目條件入手找尋一般方法，不妨對=2進行變形，得出a2+b2= 2ab，通過整體代入可得.這種通過變形代入求值的過程，才是具有一般意義的過程，才應該出現在答題區域內.

簡要說明：應用特殊值法解題，不僅要關注取值，還要關注它的適用范圍，并不是所有的數學題都可以用特殊值法求解.例3是解答題，特殊值法可以用來發現結論或驗證結論，但這些過程只能在草稿紙上，絕不能作為解題過程出現在答題區域內.顯見，題型的不同，也限制了特殊值法的解題應用.解答題是必須呈現規范的解題過程的，而且這種過程應具有一般性，特殊值法是一般情況中的特殊情形，這種情形并不能代替一般情形.所以解答題的求解，我們應從數學的角度對題目認真審視，找到條件與結論之間數學上的關聯點，從而找到問題解決的一般性方法，讓呈現出來的“文字說明、證明過程或演算步驟”具有“普適性”.

源于解題的需要，基于題型的不同，特殊值法應學生之需求而生.但是特殊值法的特殊性決定了其應用的特殊性，用好了能推動問題解決在便捷的路徑上行進，而一旦濫用，用特殊情形代替了一般狀況，結論的推證會出現漏洞，數學的結論就會缺失，這樣的應用是不利于培養學生思維的嚴謹性的.為此，我們應引領學生辨證地認識特殊值法，弄清什么樣的題目能用，什么樣的題目不能用.對于能用特殊值法的題目，還要讓他們弄清在什么時候取值合適，取什么樣的數值對問題解決最有利.嚴格意義上講，特殊值法的應用是“可遇而不可求”的，在教學中，一旦遇到絕不回避，該用的就用，不僅要用到位，還要講清楚，讓學生明明白白地用.要將特殊值法與一般解法同步呈現，一方面讓學生知道特殊值法的便捷所在，便于他們在今后解題中合理選擇解題方法；另一方面，要結合題型進行解法指導，避免學生對特殊值法的過度使用，造成不必要的失誤.總之，特殊值法的應用應緊扣題目的特點，有選擇地使用，以“適時、適題、便捷”為應用目標，絕不能為了應用而應用.優選優用，方能成效顯著！

以上不當之處，敬請批評指正！

1.劉德福.一個公式的拓展及應用［J］.中學數學雜志（初中版），2008（1）.

2.李鑫，王凱旋.也談反比例函數中的不變性問題［J］.中學數學（下），2011（12）.Z