為什么要“一分為二”
——由一道應用型問題的錯解說起

☉江蘇省如皋市東陳初中 杭石琴

為什么要“一分為二”
——由一道應用型問題的錯解說起

☉江蘇省如皋市東陳初中 杭石琴

題目：某地出租車計費方法如圖所示，x（km）表示行駛里程，y（元）表示車費，請根據圖像解答下列問題：

（1）當x＞2時，求y與x之間的函數關系式；

圖1

（2）若某乘客有一次乘出租車的里程為18km，則這位乘客需付出租車車費多少元？

一、解法呈現

對比分析：對于（1），“用待定系數法求一次函數的解析式”，由于圖像的直觀呈現，絕大多數同學都能從圖像中捕捉到兩個點（2，7）、（4，10），用待定系數法求出了正確答案.但是解答（2）時，很多同學給出了上面的“出錯解法”.這一解法，與“正確解法”相比，解題過程增加了一個“分段”的環節，學生將路程“一分為二分”（即2km和16km）分別計費，其中2km是應用“起步價”進行計費，收7元，而余下的16km所付費用則由（1）中的函數解析式求得.最終，通過簡單相加，得到“需要付出租車車費35元”的結論.“用18減去2”，將解題者對題意的理解展露無余，學對題意理解的偏差，讓他們在“錯解之路”上邁出了一大步.

二、錯因分析

學生的出錯，起因多種多樣.要想讓他們在今后的問題解決中規避此類錯誤，就必須找出真正的錯因.為此，在學生解答后，筆者對學生給出的解題過程進行了詳細地分析，并與部分出錯的同學進行了深入交流，最終，將這道題的出錯進行了如下歸因.

1.函數概念理解不清

函數是初中階段的核心概念，而“單值對應”又是函數概念的核心，只有“變量x取一個值時，y有唯一確定的值與之對應”，變量y才是變量x的函數.與文本概念相對應的是，只有當兩個變量在圖像上也存在這種“一一對應”的關系時，縱軸所表示的量與橫軸所表示的量之間才具有函數關系.就文中的題目而言，圖像中所呈現出的車費y（元）與行駛里程x（km）之間的一一對應關系，正是函數關系的圖像化體現.自然地，18km作為行駛的里程之一，也就應該對應著橫軸上x的取值，在這個圖像上自然就應該有與之對應的車費y（元）.在問題解答過程中，一些學生無視這種對應關系，將18km“一分為二”，將本題錯誤地理解為“分段付費”.這樣的求解，充分說明他們對函數概念的認知是含糊的，尤其是對圖像中的函數關系的辨析是不到位的.

2.生活經驗干擾解題

很多以考查函數為背景的數學試題，都選擇了與學生息息相關的生活情境作為問題背景，其中較為常見的有商品銷售、分段計費（水、電等）、行程問題、工程問題等.本題中的“出租車付費”，同樣來自于實際生活，是生活中較為常見的情境，每當人們談到出租車付費，常會用“‘起步價’加上‘超出3km的部分每千米x元’”的方式付費.而事實上，由于出租車計價器的引入，乘坐出租車付費并不需要我們進行計算，只需直接按計價器付費（計價器已經按照既定我們常說的付費方式進行了設置）.所以我們常常陳述的這種付費方式僅僅停留在口頭上.但在這道題的解答上，不少學生卻將這種方法用了起來，誤認為“前2km是按照起步價計費，后面的16km按照關系式計費”.顯然，來自生活的經驗，干擾了學生對函數本質的認知，看似對“這筆帳是如何算”了如指掌，實則忽視了數量之間的內在關系，另起爐灶用正確的說法求出了一個錯誤的答案，來自實際生活的經驗對數學問題的解答開了一個不小的玩笑.

3.應用模型意識不強

數學來自于生活，而又服務于生活.所以在數學學習中，很多應用型問題的解答需要借助常見的數學模型，用一種較為固化的形式得出最終的答案.在初中階段，應用型數學問題常與方程（組）、不等式（組）及函數等數學模型緊密關聯，用好這些模型就能使問題順利得解.以本題為例，圖1中，車費y（元）實際上是行駛里程x（km）的一個分段函數，其解析式為第一問，“當x＞2時，求y與x之間的函數關系式”，是命題者為第二問進行的鋪墊.學生給出了第一問的答案，卻沒能用好自己已經建構好的數學模型，錯誤地將18“一分為二”進行計費，繞了一個彎子給出的解題過程凸顯了學生模型應用意識的薄弱，讓命題者的良好初衷徹底落在了空處.

三、教學啟示

1.關注生活問題與數學問題的互相轉化

實際問題與學生的生活緊密關聯，在學生熟悉的情境中，充實著復雜的數量關系.為了能讓學生明晰這些數量關系，我們不僅要讓他們經歷生活問題向數學問題轉化的過程，還要讓他們經歷數學問題向生活問題的轉化，在這種有意識的互相轉化中，讓兩種問題實現有效融通.這種不同性質問題的轉化，既能培養學生的抽象思維，讓他們將復雜的生活情境數學化，借助數學的工具解決；還能培養學生的形象思維，促進數學問題的生活化，以生活的角度分析問題.這種介于抽象與形象之間的互換，易于培養學生“設身處地”思考問題的思維習慣，有利于提高他們分析問題和解決問題的能力.如果有了長期的轉化訓練，學生完全可以將“題目”中的出租車的行駛里程用字母x替代，將出租車車費用字母y替代，這樣一來，圖像中的兩條線就直接轉化成y與x的關系了，第二問“乘出租車的里程為18km”就會被直接轉化為“x=18”.在學生分析問題的過程中，生活問題的數學化和數學問題的生活化，自然會激活學生的生活經驗和數學經驗，那么“一分為二”求解的做法自然就不會出現了.所以當遇到實際問題時，我們要強化學生進行數學化分析，離情境遠點，多談談數學的東西；當遇到數學問題時，我們也可以借助生活化的情境來幫助學生分析，用生活經驗輔助學生的數學認知.

2.強化模型生成與模型應用的過程體驗

數學模型“生來有用”，它生成于學生獲取數學知識與應用數學知識的過程之中，是后續的學習和應用的重要工具.在化解數學問題時，建構有效的數學模型是解題的便捷通道.為了培養學生提取模型解題的習慣和應用數學模型的意識，我們不僅要重視新知教學中模型的建構，還要重視鞏固訓練中模型的應用.新知教學，我們應讓學生經歷完整的模型建構歷程，充分體驗到數學模型內在的“知識鏈”，感知到“四基”在模型中的固著點；鞏固訓練，我們可以安排模型適用性訓練，通過編排適量的題組，將關鍵信息，如點、線、文本、表格等與數學模型聯系起來，讓學生在自主解答中形成自覺選擇數學模型解決問題的意識.這種用以鞏固的題組訓練滯后于新知教學，但與學生解題技能的提升是同步的.題組訓練可以是以某一種模型為主的專題訓練，也可以是多個模型混合應用的綜合性訓練，只要達到強化模型的解題應用就行.模型的應用訓練關鍵是要學生自主經歷，要讓他們全程經歷題目的分析、模型的建構和模型的化解過程，從而積累寶貴的解題經驗.在這種過程歷練中，應突出模型與情境的關聯，本文中的這道題就是將一個“分段函數”模型融合到了“出租車付費”問題之中，為了培養學生的模型應用意識，我們應讓學生經歷這道題目模型建構與化解的歷程，逐步形成“提取有用信息”、建構適用模型的能力.

3.突出讀題析文能力的培養

初中階段的應用型問題，與前面學段相比，不僅題目的信息量大，而且信息的呈現方式也比較多.在眾多的呈現方式中，主要有豐富的文本信息、復雜的圖像信息和規范的表格信息.眾多的問題信息通道，給學生的信息分析與獲取設置了障礙.在教學中，為了讓學生能夠從題目中提取到“有用的解題信息”，我們應結合不同的信息呈現方式，對學生的審題進行指導.以本文中的這道圖像信息題為例，這是一道以圖像信息為主的應用型問題，遇到此類問題，我們應指導學生從圖像入手，找出“線”的“起點”“拐點”“途中點”，深入剖析這些點的實際意義，通過組內和全班的交流，讓題中的信息在圖像與文本之間反復轉化，從而生成有利于問題解決的函數模型.要想提升應用型問題的解答能力，培養學生的審題能力是起點.在我們的日常教學中，應立足于具體情境的“透視”分析，讓學生對問題的情境不斷揣摩與拆解，促進有效解題信息自然分離，從而讓解題適用的數學模型自然“析出”.當學生經歷長期的審題訓練后，其讀題析文的能力必然會增強，文圖、文表、圖表的呼應應該會變得較為順暢，最終生成有利于問題解決的數學模型也就在情理之中了.Z