函數(shù)視角下動(dòng)態(tài)型的相似三角形綜合題探析

☉浙江省紹興市柯橋區(qū)平水鎮(zhèn)中 沈岳夫

☉浙江省紹興市柯橋區(qū)魯迅外國(guó)語學(xué)校 孟江新

函數(shù)視角下動(dòng)態(tài)型的相似三角形綜合題探析

☉浙江省紹興市柯橋區(qū)平水鎮(zhèn)中 沈岳夫

☉浙江省紹興市柯橋區(qū)魯迅外國(guó)語學(xué)校 孟江新

縱觀各地的中考（或期末）數(shù)學(xué)試卷，可以清楚地發(fā)現(xiàn)：命題者特別喜歡以函數(shù)知識(shí)為平臺(tái)，以點(diǎn)的移動(dòng)（或圖形的變換）為導(dǎo)線，將相似三角形融入其中，成為考試中區(qū)分度較大的拉分題.面對(duì)這些試題，學(xué)生解題壓力很大，失分較多.為了幫助學(xué)生梳理出此類問題求解的一般方法，形成問題化的策略，筆者從三個(gè)角度（點(diǎn)、線、面）采擷三道典型試題，通過對(duì)解題思路的分析，讓學(xué)生在問題化解中找到解題“門道”，提升他們分析與解決此類問題的能力.

一、先確定“點(diǎn)”，再判定三角形的形狀，分類討論列方程

例1（2014年北京市海淀區(qū)期末

圖1

（1）求此二次函數(shù)的解析式和點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，1）時(shí)，連接BD、BE，求證：BE平分∠ABD；

（3）點(diǎn)G在拋物線的對(duì)稱軸上且位于第一象限，若以A、C、G為頂點(diǎn)的三角形與以G、D、E為頂點(diǎn)的三角形相似，求點(diǎn)E的橫坐標(biāo).

分析：解答此題的難點(diǎn)在第三問，解題突破口應(yīng)從點(diǎn)G入手.由于點(diǎn)G在拋物線的對(duì)稱軸上且位于第一象限，又點(diǎn)D也在拋物線的對(duì)稱軸上，且DE∥x軸，所以△DEG是直角三角形.若△DGE與△ACG相似，則△ACG為直角三角形，且只有∠CAG=90°，這樣就能確定點(diǎn)G的位置，然后分類思考.

點(diǎn)評(píng)：第三問屬于“一定（確定G點(diǎn)）”+“兩動(dòng)（點(diǎn)D、點(diǎn)E）”+“兩分類（既要對(duì)G點(diǎn)的位置進(jìn)行分類，又要對(duì)DG與DE之比進(jìn)行分類）”，思維含量較大.此問以運(yùn)動(dòng)為表象，其內(nèi)隱的數(shù)學(xué)思想主要是分類討論、數(shù)形結(jié)合、方程等思想.解題中，我們要用變化的眼光去觀察和研究圖形，在G點(diǎn)確定的前提下，以靜制動(dòng)，最終捕捉、定格出符合條件的圖形，再結(jié)合圖形探究，然后各個(gè)擊破求得E點(diǎn)的橫坐標(biāo).

二、先平移好“線”，再確定邊的關(guān)系，后分類討論

例2（2011年浙江義烏市中考試題）如圖2，一次函數(shù)y=-2x的圖像與二次函數(shù)y=-x2+3x圖像的對(duì)稱軸交于點(diǎn)B.

（1）寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）已知點(diǎn)P是二次函數(shù)y=-x2+3x的圖像在y軸右側(cè)部分上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將直線y=-2x沿y軸向上平移，分別交x軸、y軸于C、D兩點(diǎn)，若以CD為直角邊的△PCD與△OCD相似，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_________.

圖2

分析：直線平移，實(shí)質(zhì)上是等距同構(gòu)，它不改變圖形的形狀和大小，平移后的圖形與原圖形上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線平行（或在同一條直線上）且相等.本題第二問的解題突破口在于直線在平移過程中，在x、y軸上的截距之比始終是1∶2，然后將這個(gè)比化歸為兩個(gè)直角三角形的相似比，進(jìn)而分類討論.

點(diǎn)評(píng)：第三問屬于“一線（直線CD）”+“三動(dòng)（點(diǎn)D、點(diǎn)C、點(diǎn)P）”+“兩分類（既要對(duì)是∠PCD=90°還是∠PDC=90°進(jìn)行分類，又要對(duì)DC與PD之比進(jìn)行分類）”，綜合性強(qiáng)，難度較大.運(yùn)動(dòng)類問題大都是以動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)線或者幾何圖形整體運(yùn)動(dòng)為載體的，在分析問題時(shí)，首先要弄清楚運(yùn)動(dòng)的相關(guān)要素，如運(yùn)動(dòng)的對(duì)象、方向、速度等，并將這些要素以某種形式呈現(xiàn)出來，使動(dòng)態(tài)的問題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)的幾何圖形問題，就該問而言，如構(gòu)造出“一線三等角”模型，使“隱性”問題“顯性”化，通過相似三角形，鎖定思維方向，可迅速實(shí)現(xiàn)問題的解決.

三、先判斷“形”，再確定點(diǎn)的位置，后分類討論

例3（2013學(xué)年浙江金華市金東區(qū)第一學(xué)期期末試題）如圖3，拋物線y=-（x-）2的頂點(diǎn)為A，與y軸相交于點(diǎn)B，直線x+m過點(diǎn)A，且與y軸交于點(diǎn)C，與拋物線交于點(diǎn)D，連接BD.

圖3

（1）①求m的值；

②求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

③過點(diǎn)C作CE⊥BD于點(diǎn)E，求CE的長(zhǎng).

（2）若有一動(dòng)點(diǎn)P在拋物線上，有一動(dòng)點(diǎn)Q在拋物線的對(duì)稱軸上，當(dāng)以點(diǎn)P、Q、A為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似時(shí)，求Q的坐標(biāo).

分析：解答此題的難點(diǎn)在第二問，解題突破口應(yīng)先從△AOC入手，求得∠ACO=60°，進(jìn)而知∠BCD=120°，再依次求出線段BC和CD的長(zhǎng)，然后用面積法求得高CE的長(zhǎng).接著先對(duì)G點(diǎn)的位置進(jìn)行分類，即點(diǎn)G在點(diǎn)A的上方和下方；其次對(duì)鈍角關(guān)系分類；再次對(duì)夾鈍角的邊之比進(jìn)行分類.解答時(shí)除了分類之外，還要特別注意兩點(diǎn)：一是線段與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換時(shí)，應(yīng)結(jié)合G點(diǎn)的位置，注意負(fù)號(hào)；二是當(dāng)∠APQ=120°時(shí)，需要運(yùn)用兩次相似才能獲解.

點(diǎn)評(píng)：第三問屬于“一形（△BCD的形狀）”+“兩動(dòng)（點(diǎn)P、點(diǎn)Q）”+“三分類（先對(duì)Q點(diǎn)的位置進(jìn)行分類，其次對(duì)鈍角關(guān)系分類，再次對(duì)夾鈍角的邊之比進(jìn)行分類）”，綜合性強(qiáng)，難度大.解答的關(guān)鍵是先判斷△AOC的形狀→再求△BCD中鈍角的度數(shù)及三邊的長(zhǎng)→然后依題畫圖，針對(duì)所畫的圖形，借助角及邊的對(duì)應(yīng)關(guān)系，找到對(duì)應(yīng)邊的等量關(guān)系，運(yùn)用方程思想、分類討論思想解決問題.因此，在運(yùn)動(dòng)中不能被“動(dòng)”所迷惑，而應(yīng)在“動(dòng)”中求“靜”，“以靜制動(dòng)”，抓住要害，各個(gè)擊破，將動(dòng)態(tài)問題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問題來解決，找出動(dòng)態(tài)過程中的不變量，同時(shí)，要注意分類討論思想的滲透，以及轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)建模在解題中的靈活運(yùn)用.

綜上可以看出3道例題中都包含著大量基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法與技巧策略，都蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)的方法、思想等本質(zhì).在解題教學(xué)中，我們一定要積極引導(dǎo)學(xué)生觀察題目的表象、探究解題方法、整理解題思路、總結(jié)解題規(guī)律、歸納解題思想，著眼于學(xué)生思維的發(fā)展.解題教學(xué)不是讓學(xué)生為了解題而解題，而是通過解題把數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想濃縮，只有這樣，才能真正有效地促進(jìn)學(xué)生思維的靈活性、廣闊性和深刻性.

1.沈岳夫.注重組題設(shè)計(jì)提升思維品質(zhì)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2012（6）.

2.高東.對(duì)一道經(jīng)典折疊壓軸題的探析與建議［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（1）.

3.萬劍波.注重通性通法促進(jìn)學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2014（9）.Z