雙曲線為母體的陰影面積

☉江蘇省高郵市南海初級中學(xué) 姜 志

雙曲線為母體的陰影面積

☉江蘇省高郵市南海初級中學(xué) 姜 志

近幾年的中考中有關(guān)陰影面積的題目變得俏麗多姿，異彩紛呈，給凝重的中考帶來了生機與活力，其中有一族以坐標系為基的陰影面積問題，憑借坐標系的自然環(huán)境，有機鏈接了函數(shù)的圖像，演繹出了多姿多彩的陰影，給中考增添了妙趣.現(xiàn)采擷近幾年有關(guān)雙曲線的考題，作一賞析，供參考.

一、孤單一影

圖1

解析：本題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，正確表示出BF的長度是關(guān)鍵.設(shè)則B的縱坐標也為.由于E是AB的中點，所以F點的橫坐標為2a.代入，得F的縱坐標，所以F也為BC的中點.

跟蹤訓(xùn)練：（2014·湘潭市）如圖2，A、B兩點在雙曲線上，分別經(jīng)過A、B兩點向軸作垂線段，已知S陰影=1，則S1+S2=（）.

A.3B.4C.5D.6參考答案：D

圖2

二、相諧雙影

例2（2010·深圳市）如圖3，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像相交于A、B兩點，分別以A、B兩點為圓心，畫與x軸相切的兩個圓，若點A的坐標為（2，1），則圖中兩個陰影部分面積的和是_________.

圖3

解析：用雙曲線的中心對稱性，兩個陰影可拼成一個以A（或B）為圓心的整圓，因此，只要能確定其半徑即可順利完成.由于以A（2，1）為圓心的圓與x軸相切，則其半徑為1，故答案為12π=π.

跟蹤訓(xùn)練：（2011·貴州黔南州市）如圖4，⊙A和⊙B都與x軸和y軸相切，圓心A和圓心B都在反比例函數(shù)的圖像上，則圖中陰影部分的面積等于_________.

圖4

參考答案：π

三、繽紛多影

圖5

解析：求出P1、P2、P3、P4、…的縱坐標，從而可計算出S1、S2、S3、S4、…的高，進而求出S1、S2、S3、S4、…，從而得出Sn的值.當(dāng)x=2時，P1的縱坐標為4，當(dāng)x=4時，P2的縱坐標為2，當(dāng)x=6時，P3的縱坐標為，當(dāng)x=8時，P4的縱坐標為1，當(dāng)x=10時，P5的縱坐標為，….則S1=2×（4-2）=4=

跟蹤訓(xùn)練：（2012·黑龍江）如圖6，在x軸的正半軸上依次截取OA1= A1A2=A2A3=A3A4=A4A5=…，過A1、A2、A3、A4、A5、…分別作x軸的垂線與反比例函數(shù)的圖像交于點P1、P2、 P3、P4、P5、…，并設(shè)△OA1P1、△A1A2P2、△A2A3P3、…的面積分別為S1、S2、S3、…，按此作法進行下去，則Sn的值為_________（n為正整數(shù)）.

圖6

通覽以上可以發(fā)現(xiàn)，坐標系內(nèi)神態(tài)各異的陰影圖形，常考常新，經(jīng)久不衰，成了中考的“常青藤”，其解法變化多端，但不管怎樣，面積“陰影”以雙曲線為載體，始終離不開反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)，因為反比例函數(shù)的比例系數(shù)與面積有著天然的聯(lián)系，因此，熟練掌握反比例函數(shù)的圖像及性質(zhì)是破解此類問題不可或缺的武器.Z