例談初中數學開放題教學對學生思維品質的培養

☉江蘇省昆山市石浦中學 潘田芬

例談初中數學開放題教學對學生思維品質的培養

☉江蘇省昆山市石浦中學 潘田芬

《義務教育數學課程標準》強調：“數學課程要面向全體學生，適應學生個性發展的需要，使得：人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展.”［1］教育部《中考改革指導意見》明確指出：“理科在試卷中適當增加開放性試題，培養學生的創新能力，初步體現素質教育的要求.”隨著開放題在高考和中考數學試卷上的頻頻出現，對數學學科教學提出了一個新的課題，開放題教學研究就越來越受到廣大數學教師的重視.下面結合初中數學新課程教學案例，就此作探討.

一、初中數學開放題教學的內涵

戴再平老師的研究認為：“數學開放題是指那些答案不唯一，并在設問方式上要求學生進行多方面、多角度、多層次探索的數學問題.”［2］可見，數學開放題教學就是從學生的數學現實出發，把生產、生活中的現實數學問題，用數學語言將其數學化，即通過設計數學情境或建立數學模型來引導學生探索問題解決結果的教學過程和方法.

開放題教學具有探索性和拓展性，這是因為開放題教學具有非常規性、發散性和創新性，通常都要運用一定的數學思維方法來探索求解，而且在此過程中又會生成一些新的問題，從而發展成一系列的問題，或將問題加以推廣，找出更一般、更有概括性的結論.

開放題教學需要學生的廣泛參與，體現了學生的主體地位.這是因為開放題的答案是不確定的，解答過程具有層次性，能滿足各層次水平學生的需求，使全體學生都能參與到對問題的探索解答過程中，在自己的能力范圍內解決問題，得到不同深度的答案.開放題的條件有時會不足，要求學生予以補充，有時會多余，要求學生進行選擇，才能著手解題.

因此，在教學過程中，富有技巧地設計一些開放性問題，恰到好處地搭建一個開放性的教學平臺，不但有利于培養學生的數學思維品質，更有利于因材施教，實施個性化教學，對于實現學生“四基”（基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗）培養目標也具有重要意義.

二、初中數學開放題教學的初步實踐

1.運用條件不唯一型開放題，培養學生思維的深刻性

案例1：（2013年鹽城市中考題）寫出一個過點（0，3），且函數值y隨自變量x的增大而減小的一次函數關系式：_________.（填上一個答案即可）

思路分析：此題可用待定系數法來解決.設此一次函數關系式是y=kx+b（k≠0）.把x=0、y=3代入得：b=3.根據y隨x的增大而減小，知k＜0.此條件包含的答案不唯一，故此題只要給定k為一個負數，如k取-1，則y=-x+3.

反思：條件不唯一型開放題，所給條件包含著答案不唯一的因素.在解題過程中，學生必須遷移已有知識，結合有關條件，從不同角度對問題作全面分析，正確判斷，得出結論，這能培養學生思維的深刻性.本題的條件“函數值y隨自變量x的增大而減小”，表明答案不唯一，此時要求學生根據一次函數的增減性做出正確的判斷，并給定k為任一個負數即可得解.

2.運用結論未知型開放題，培養學生思維的求異性

案例2：（2005年濟寧市中考題）結合生活中的實例，（1-15%）x可以解釋為_________.

思路分析：此題主要考查學生對代數式表示意義的理解和掌握，學生只要結合生產、生活實際，用數學模型解釋清楚就行，其答案不唯一，如：一件商品的原單價為x元，降價15%后的單價是（1-15%）x元.

反思：這類問題因其結論具有多樣性，所以學生能從多角度、多層次、多側面來思考問題，這對于適應學生個性發展，使學生養成求異思維、發散思維的學習習慣，提高學生觀察生活、發現問題、分析問題、遷移知識、解決問題的能力都很有益處.

3.運用條件隱藏型開放題，培養學生思維的縝密性

案例3：（2011年牡丹江市中考題）如圖1，△ABC的高BD、CE相交于點O.請你添加一對相等的線段或一對相等的角的條件，使BD=CE.你所添加的條件是_______.

圖1

思路分析：由△ABC的高BD、CE相交于點O，可得∠BEC=∠CDB=90°，或可得∠AEC=∠ADB=90°，要使BD=CE，只需證明△BCE≌△CBD或△ACE≌△ABD即可.根據全等三角形的判定定理與性質，要證△BCE≌△CBD，除了∠BEC=∠CDB=90°外，可根據圖形挖掘出隱含條件BC=CB，還要添加一對相等的線段：BE=CD；或添加一對相等的角：∠EBC=∠DCB或∠DBC=∠ECB.若證△ACE≌△ABD，除了∠AEC=∠ADB=90°外，可根據圖形挖掘出隱含條件∠A=∠A，還要添加AC=AB或AE= AD.故此題答案不唯一.

反思：條件隱藏型開放題，是指解題所需的某些條件隱藏在題目中，如不注意容易遺漏.在解題時既要充分利用已知的條件，又要挖掘與問題有關的隱藏的條件.這樣有利于學生養成認真細致的審題習慣，培養學生思維的縝密性.

4.運用多向型開放題，培養學生思維的廣闊性和靈活性

案例4：如圖2，已知線段AB，C為線段AB上任一點，M、N分別為AC、BC的中點，若AB=10cm，BC=4cm，求MN的長.

圖2

解：由AB=10cm，BC=4cm，得AC=AB-BC=10-4=6（cm）.

變式1：若AB=10cm，BC=6cm或BC=8cm，…，發現MN恒等于5cm；若AB=8cm，BC=4cm，發現MN=4cm；求證MN的長與BC的長度無關，始終等于AB的一半.

變式2：將題中“C為線段AB上任一點”改為“C為線段AB的延長線上任一點”（如圖3），M、N分別為AC、BC的中點，此時MN與AB又有怎樣的數量關系？

圖3

變式3：角的計算與線段的計算存在著緊密的聯系，它們之間可互相借鑒解法，請你模仿設計一道以角為背景的計算題.

解：（1）如圖4，OC是∠AOB內任一條射線，OM、ON分別平分∠AOC和∠BOC.

①若∠AOC=30°，∠AOB=90°，求∠MON的度數；

②猜想∠MON與∠AOB有何數量關系，并說明理由；

（2）如圖5，若OC是∠AOB外任一條射線，則∠MON與∠AOB的數量關系還成立嗎？請說明理由.

圖4

圖5

反思：多向型開放題，可有多種思考方向，這樣就可引導學生通過聯想進行一題多變、一題多解、一題多思，以培養學生思維的廣闊性和靈活性.此案例先讓學生發現不管點C在線段AB上何處，兩中點的距離MN始終等于AB的一半，由數的運算到線段數量關系的說理，逐步引導學生發現規律，并滲透數學整體思想，啟發學生一題多解；接下來通過“變式”讓學生發現不管點C在線段AB的上還是在線段AB的延長線上，MN始終等于AB的一半；最后運用類比轉化，由線段問題聯想到角的問題，引導學生發現角方面的相似規律.這樣通過探究、交流、反思等活動，不僅引導學生發現了圖形中蘊含的一般規律，還讓學生體會了數形結合、轉化、整體等數學思想，體驗了由特殊到一般、分類討論、類比等解題方法，培養了學生思維的廣闊性和靈活性，提高了學生分析和解決問題的能力.

5.運用設計型開放題，培養學生思維的創新性

案例5：在一服裝廠里有大量形狀為等腰直角三角形的邊角布料，現找出其中一種，測得∠C=90°，AC=BC= 4，今要從這種三角形中剪出一種扇形，做成不同形狀的玩具，使扇形的邊緣半徑恰好都在△ABC的邊上，且扇形的弧與△ABC的其他邊相切，請設計出符合題意的方案示意圖，并求出扇形的半徑（只要畫出圖形，并直接寫出扇形半徑）.

思路分析：所設計的扇形要求滿足兩個條件.①弧線與三角形的邊相切，有兩種情形：與其中一邊相切（直角邊或斜邊）；與其中兩邊相切（兩直角邊、一直角邊和一斜邊）.②半徑都在三角形的邊上，且盡量能利用邊角料（即找到最大的扇形）.根據題意可設計出如下四種方案（.1）如圖6，與一直角邊相切，r1=4；（2）如圖7，與一斜邊相切，；（3）如圖8，與兩直角邊相切，r3=2；（4）如圖9，與一直角邊和一斜邊相切，r4=-4.

圖6

圖7

圖8

圖9

反思：設計型開放題是近年來出現的一種題型，代表一種命題的新思路.這類試題往往利用給定的幾個基本圖形，要求設計一個有意義的圖形，一般背景新穎、形式活潑，主要運用添畫、分割、剪拼等方法，主要考查學生的動手能力和實踐能力，讓學生在充滿探索的過程中感受數學創造的樂趣，從而培養學生思維的創新性.

開放型試題已成為數學中考的熱點試題之一.以上僅是筆者實踐開放題教學的一瞥，要強調的是上述五例開放性問題對思維品質的培養是相互交叉、互相滲透、很難分清的，其區別僅在于側重點不同而已.

1.中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

2.戴再平，等.開放題——數學教學的新模式［M］.上海：上海教育出版社，2004.

3.張清芳.解決數學開放性問題對思維品質的要求［J］.云南教育，2006（2）.Z