有效轉化：數學本質教學的課堂價值取向
——梯形復習課的教學實錄與反思

☉江蘇省蘇州市工業園區青劍湖學校 王小林

有效轉化：數學本質教學的課堂價值取向
——梯形復習課的教學實錄與反思

☉江蘇省蘇州市工業園區青劍湖學校 王小林

2014年4月，筆者在蘇州市初二數學教學研討活動中，開設一節初二“平面圖形的認識（二）——梯形”的復習課.本文整理該課的課前準備、教學實錄及教后反思，與同行研討.

一、課前準備

1.授課對象

學生來自蘇州市相城實驗中學，基礎較好，有一定的推理能力與研究能力，能在教師的引領下自主探究和思維建構.

2.教材分析

所用教材為《義務教育教科書數學（八年級下冊）》（教育部審定2013年版），教學內容為“梯形復習”.在前面的學習中，學生已學習了解梯形的概念；理解并掌握等腰梯形的性質、識別，并能熟練運用梯形的輔助線、中位線來解決梯形的相關問題.這些內容不僅進一步發展了學生對“空間與圖形”的興趣，對學生理解、掌握、描述現實空間，獲得解決實際問題的方法有著重要價值.

3.學情分析

在學習本節之前，學生已學習了三角形、平行四邊形等基礎知識，已經具備借助三角形、平行四邊形對梯形進行處理的基礎技能.通過對梯形的學習，學生對梯形、等腰梯形的概念、性質、識別有了一個較為全面的認識，對梯形與三角形、平行四邊形之間的轉化有了深刻的體會.當然，也有一部分學生學習這部分內容時，不是通過將梯形有效轉化，而是靠簡單的機械記憶去死記硬背梯形、等腰梯形的性質.基于上述的教材觀、學生觀、教學觀，可確定下列教學目標及教學重點、難點.

4.目標要求

（1）鞏固等腰三角形的性質定理，并學會綜合運用；理解解決梯形問題的基本思路，轉化為三角形或者平行四邊形；掌握梯形問題中常見輔助線的運用.

（2）通過具體的例子，體會梯形學習中體現的從復雜到簡單、從未知到已知的科學思考問題、研究問題的方法，進一步滲透轉化、歸納的數學思想方法，發展合情推理和演繹推理的能力.

（3）回顧本節所學的知識與方法，對本節知識進行梳理，使所學知識系統化、結構化，進一步積累基本數學活動經驗.

（4）教學重點：結構化梯形的相關知識，理解梯形問題的實質.

（5）教學難點：建構梯形知識體系，初步感受“轉化”研究梯形問題.

二、教學過程簡錄

1.自然串發，本真梳理

師：數學思想是數學知識的靈魂，是形成數學能力、意識的橋梁.這節課老師和同學們一起來復習梯形.先請同學們對照復習目標，完成知識梳理（教師多媒體呈現，學生在學案紙上完成）.

（1）梯形的定義：一組對邊平行而另一組對邊_________的四邊形叫梯形；或一組對邊平行且不_________的四邊形叫梯形；

（2）兩腰_________的梯形是等腰梯形；

（3）有一個角是直角的梯形是_________；

（4）等腰梯形兩腰_________；

（5）等腰梯形兩腰在同一底上的_________相等；

（6）等腰梯形的兩條對角線_________.

（師生一起回憶）

師：很好.在研究梯形時，誰能告訴老師解決梯形問題的方法？

生1：好像可以添加輔助線轉化為三角形或平行四邊形來解決.

師：很好，通過添加適當的輔助線，將梯形問題實現了轉化.今天，我們將一起對梯形問題作一個系統的復習與回顧，請同學們趁熱打鐵完成“小試牛刀”（教師多媒體呈現，學生在學案上完成）.

①如圖1，在等腰梯形ABCD中，AB=CD=8，BC=15，∠B=60°，則AD=_________.

②如圖2，若梯形的上底長為4，下底長為7，一腰AD為5，則另一腰BC的取值范圍為_________.

圖1

圖2

③如圖3，梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=70°，∠C= 40°，AB=4cm，CD=11cm，則BC=_________.

④如圖4，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，對角線相交于點O，DE∥AC交BC的延長線于點E，則△BDE是_________三角形.

圖3

圖4

生2～5講解思路，教師追問思考過程.

師：從這些問題的解決中，我們得到什么啟發？生6：通過添加輔助線，可以有效轉化梯形問題.

解讀：在學生“原有基礎”上“自主建構”，符合學生的認知規律.正確把握知識的生長點、思維的連接點和方法的遷移點，為學生搭建好自主探究、有效轉化、體驗自身探索創新能力的平臺.

師：今天我們將一起繼續對梯形問題做深入探討.

2.師生活動，探究性質

例1我們知道“連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線”，“三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半”.類似地，我們把連接梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線（如圖5中的EF）.試探究其有何性質？

圖5

師：課前各個小組都進行了探究，下面大家把研究的成果共享一下.

生7：如圖6，可以連接AF并延長交BC的延長線于點G，先利用ASA證明△ADF≌△GCF，從而得到DF=CF，則F為AG的中點，由已知E為AB的中點，從而將EF順利地由原先的梯形ABCD的中位線轉化為△ABG的中位線……

圖6

師：很好！請問圖6中梯形ABCD的面積與哪個圖形的面積相等？

生8：因為△ADF≌△GCF，所以S梯形ABCD=S△ABG.

師：有沒有其他的轉化？

生9：如圖7，連接BD交EF于點G，將梯形轉化為△ADB和△CDB，證明EG、GF分別為△ABD、△DBC的中位線……

圖7

生10：連接AC，由法2同理可得……

生11：如圖8，過點A作AH∥DC交EF、BC于點G、H，證明G為AH的中點，問題也可以迎刃而解……

圖8

師：我們來一起回顧這個問題的解決過程，無論是法1還是法2，究其本質都是通過添加輔助線，將原本梯形的中位線無一例外地轉化成三角形的中位線，將未知轉化為已知.

師：請同學們運用今天所學的方法，試著解決下面的問題.

例2如圖9，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm，AD= 18cm，BC=21cm，點P從點A開始沿AD邊向點D以1cm/s的速度移動，點Q從點C開始沿CB邊向點B以2cm/s的速度移動，如果點P、Q分別從點A、C同時出發，設移動時間為t秒，當四邊形PQCD是等腰梯形時，求t為多少？

圖9

師：哪一組來回答？

生12：如圖10，因為AD∥BC，等腰梯形是軸對稱圖形，要說明四邊形PQCD是等腰梯形，則作PN⊥BC，DM⊥BC，有QN=MC=3，即轉化為QC-PD=6得到解決.

圖10

師：這位同學回答非常好，他透過圖形，看到問題實質，將所求的等腰梯形有效轉化為“QC-PD=6”.

生13：如圖11，由法1，可以考慮過點P作DC的平行線交QC于點E，可以直接轉化為QE=6.

師：對于這個問題的處理，這兩位同學都是抓住圖形的幾何特征，運用了轉化、數形結合的思想.課后，大家考慮一下能否從代數角度利用兩腰相等，通過計算解決問題？

解讀：通過例1、例2的教學，引導學生在多重交互互動（師生互動、生生互動、生師互動）中體驗梯形與三角形、平行四邊形之間的轉化，這樣的探究活動發展了學生的思維能力，有效地改變了學生的學習方式，有利于掌握認識事物的一般規律；有利于學生感悟數學思想，積累數學活動經驗.

圖11

3.小結全課，提升理念（師生共同完成）

（1）方法比知識更重要.

（2）解決梯形問題的基本思路和方法：通過添加適當的輔助線，把梯形問題轉化為平行四邊形或三角形的問題來解決.

（3）梯形中常添加的輔助線有幾種，由學生小結.

解讀：從知識、方法、過程等方面進行課堂小結，鼓勵學生從獲得知識、形成技能、發展能力、養成品德等方面談談自己的收獲及體會.不僅能幫助學生從整體上掌握所學知識和方法，而且使學生逐步體會一些重要的數學思想方法，從而提升了學生的思維含量，促進了學生的全面發展.

三、教后反思

日本著名的數學教育家米山國藏指出：“作為知識的數學出校門不到兩年就忘了，唯有深深銘記于頭腦中的數學精神、數學思想及研究方法等，這些隨時隨地發生作用，使人們終生受益.”思想方法的滲透，會使思維變得開闊、靈動.久而久之，數學的枯燥、難學就會變得趣味橫生.思維的“思想”化，解題的“方法”化，是一個量變的積累過程，一個由學會向會學的轉化過程.

1.精心預設，將思想方法滲透給學生

方法比知識更重要，學生在解題過程中，可能不會對自己的思維過程進行整理分析，這恰恰是教師需要引導的，要教會學生從正確的解題思路中總結方法，提高對解題的理解，最終形成學生自身的數學思維能力.在復習課的教學中，要能基于對解題這樣的理解，高屋建瓴地開展教學，可以達到事半功倍的效果.在本課例中，每探究完一組題后，教師都請同學們歸納解決問題的一般方法，及時和學生分享所運用的數學思想方法，這些都充分體現了對“四基”中基本思想方法及基本活動經驗的深刻理解，從而有效地提升了學生的數學素養.當然，從教學實際效果來看，把例1、例2的探究從課前移到課上，直觀感受“轉化思想”的生長過程，親自體會知識從手中誕生.這不僅能提高學生學習數學的興趣，激發學習數學的熱情，而且大大拓展了數學學習的廣度、深度及厚度，有利于培養學生的創新意識和再創造能力.

2.多重交互，在對話互動中共同發展

《課標（2011年版）》指出：“教學活動是師生積極參與、交往互動、共同發展的過程.有效的教學活動是學生學與老師教的統一，學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導者與合作者.這要求通過教師的“有效引領”，讓學生“在交互中自主創新，掌握探究之法；在體驗中豐富數學思想，感受數學之美”，從而實現師生的“協同發展”.可以發現，本課例中以“梯形”為主題，以轉化思想的應用為主線，開門見山，以題組形式，分類呈現，在教師的“有效引導”下，“例1”、“例2”是從學生已有經驗（梯形與三角形、平行四邊形之間的相互轉化），經歷“親自操作”、“親自體會”、“積極參與”、“與人合作”、“自己提出并研究解決問題的方法”、“深刻體會”的過程，在體驗中感悟，在感悟中升華，最后自主創新歸納得出對于梯形問題的解決策略.在這個過程中，學生獲得的不僅僅是數學知識、基本技能、研究和解決問題的策略，而且體驗到數學活動充滿探索與創造的活力，并獲得了成功的喜悅，激勵了自主探究、合作學習的積極性和主動性.

1.中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

2.李善良.理清核心主線，優化教學過程［J］.中學數學月刊，2013（10）.

3.章建躍.構建邏輯連貫的學習過程使學生學會思考［J］.數學通報，2013（6）.H