類比“一次”學(xué)“二次”，“基本套路”是關(guān)鍵

☉江蘇省如東縣實(shí)驗(yàn)中學(xué) 茅玲玲

類比“一次”學(xué)“二次”，“基本套路”是關(guān)鍵

☉江蘇省如東縣實(shí)驗(yàn)中學(xué) 茅玲玲

近讀《數(shù)學(xué)通報(bào)》，人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室資深編審章建躍博士在《數(shù)學(xué)教育之取勢(shì)明道優(yōu)術(shù)》一文中指出：“我想，在面對(duì)一個(gè)新的數(shù)學(xué)研究對(duì)象時(shí)，要有‘整體觀’，要先為學(xué)生構(gòu)建研究的整體框架，再在‘整體研究對(duì)象就是要讓學(xué)生理解相關(guān)數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延’、‘研究數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)就是探究它的要素、相關(guān)要素之間穩(wěn)定的聯(lián)系’、‘通過(guò)類比、推廣、特殊化等發(fā)現(xiàn)和提出值得研究的問(wèn)題’、‘通過(guò)建立相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系，使學(xué)生形成思維功能強(qiáng)大的知識(shí)體系，更有效地解決問(wèn)題’等具有普遍意義的一般觀念的指導(dǎo)下，展開學(xué)習(xí)和研究.”恰好筆者觀摩到全國(guó)著名特級(jí)教師李庾南老師執(zhí)教的“二次函數(shù)”起始課時(shí)，就是為學(xué)生先構(gòu)建了“整體觀”，然后再研究并梳理了特殊的二次函數(shù)圖像與性質(zhì)，取得較好的教學(xué)效果.本文記錄該課的教學(xué)過(guò)程，并簡(jiǎn)要賞析，與同行分享.

一、“二次函數(shù)”起始課教學(xué)過(guò)程

（一）回顧一次函數(shù)的學(xué)習(xí)內(nèi)容和研究方法，為學(xué)習(xí)新課題“二次函數(shù)”作好基礎(chǔ)知識(shí)和研究方法的準(zhǔn)備

全班同學(xué)共同回顧并梳理一次函數(shù)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，形成圖1所示的關(guān)系結(jié)構(gòu)圖.

圖1

進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖像回顧一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖像特征，如圖2、圖3所示.

圖2

圖3

（二）遷移建構(gòu)二次函數(shù)的定義

由“用自變量的一次式表示的函數(shù)叫做一次函數(shù)”可建構(gòu)二次函數(shù)的定義：用自變量的二次式表示的函數(shù)叫做二次函數(shù)，即：形如y=ax2+bx+c（a、b、c均為常數(shù)，且a≠0）的函數(shù)叫做二次函數(shù).

引導(dǎo)學(xué)生梳理形成如圖4所示的結(jié)構(gòu)圖.

圖4

（三）探究y=x2的圖像和性質(zhì)

1.研究y=x2的圖像和性質(zhì)的方法

（1）從解析式（式）分析自變量和函數(shù)的取值（數(shù)）范圍：x為任意實(shí)數(shù)，y≥0→預(yù)測(cè)函數(shù)y=x2的圖像（形）特點(diǎn)：過(guò)原點(diǎn)（0，0），其余各點(diǎn)均在x軸上方；無(wú)最高點(diǎn)，原點(diǎn)為最低點(diǎn)；圖像向上無(wú)限伸展；圖像關(guān)于y軸對(duì)稱.（學(xué)生原有知識(shí)和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)遷移，自主探究，獲得了自學(xué)成果）

（2）列表體驗(yàn)由解析式到數(shù)再到形的判斷.

在列表計(jì)算的過(guò)程中，不斷體驗(yàn)和品嘗自學(xué)的成果，增強(qiáng)了自學(xué)信心，激勵(lì)進(jìn)一步自學(xué)探究的內(nèi)驅(qū).

（3）描點(diǎn)驗(yàn)證：將表格中一對(duì)x與y的對(duì)應(yīng)值作為點(diǎn)的坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系中描出點(diǎn).

學(xué)生自己動(dòng)手實(shí)踐，建立直角坐標(biāo)系，如圖5所示.

圖5

從左向右順次用平滑的曲線連接描出的點(diǎn)，如圖6所示.

圖6

2.概括二次函數(shù)y=x2的圖像與性質(zhì)（略）

3.從解析式和列的表格及描點(diǎn)連線過(guò)程中分析y1= 2x2與y2=x2的圖像與性質(zhì)的一致性

（1）比較解析式：當(dāng)x取同一個(gè)值時(shí)，y1=2y2；

（2）補(bǔ)充所列的y=x2的對(duì)應(yīng)值表格，驗(yàn)證以上結(jié)論：

（3）在拋物線y=x2的坐標(biāo)系中，描點(diǎn)、連線，體驗(yàn)函數(shù)y1=2x2與y2=x2的圖像和性質(zhì)相同.

4.概括函數(shù)y=ax2的圖像和性質(zhì)（由特殊到一般，生成二次函數(shù)y=ax2（a＞0）的圖像與性質(zhì)）

5.由平面內(nèi)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，學(xué)生自然同化并調(diào)整y=x2的圖像和性質(zhì)，生成y=-x2的圖像和性質(zhì)，進(jìn)而歸納y=ax2（a＜0）的圖像和性質(zhì)

（四）課堂小結(jié)

1.回顧研究過(guò)程

（1）研究?jī)?nèi)容（見板書上的結(jié)構(gòu)圖）.

（2）研究方法：①研究函數(shù)的一般過(guò)程與方法：分析函數(shù)解析式；列函數(shù)與自變量的部分對(duì)應(yīng)值表；描點(diǎn)連線.②研究問(wèn)題可由“特殊”入手推廣到“一般”，注意必要的調(diào)整.

2.有新的遷移聯(lián)想嗎

拋物線如何向上、向下或向左、向右平移？平移前后的解析式有什么聯(lián)系和區(qū)別？學(xué)生進(jìn)行了大膽的聯(lián)想、猜想，如何驗(yàn)證？探索思維延伸到課外，作為課后作業(yè)，為下一節(jié)學(xué)習(xí)打下自學(xué)基礎(chǔ).

二、課例賞析

1.類比“一次”學(xué)“二次”，引導(dǎo)學(xué)生自主探究并建構(gòu)新知

在學(xué)習(xí)了“一次函數(shù)”和“反比例函數(shù)”的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)課題二次函數(shù)，學(xué)生不僅有了知識(shí)和方法的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，而且也有了學(xué)習(xí)“函數(shù)”的情感基礎(chǔ).從課例來(lái)看，李老師充分利用這個(gè)基礎(chǔ)，采用教師指明研究方向，創(chuàng)設(shè)思維情境，激發(fā)學(xué)生自主探究、創(chuàng)造的熱情，讓學(xué)生親自實(shí)踐、體驗(yàn)、師生互動(dòng)、互相促進(jìn)、相互激勵(lì)的方式開展探索型的數(shù)學(xué)活動(dòng).此外，李老師“一反常規(guī)”（常規(guī)方法是，由“形”抽象為“數(shù)”，由“數(shù)”抽象為“式”的一般性要求）啟發(fā)學(xué)生從解析式的特征，抽象出函數(shù)自變量和函數(shù)值的取值范圍，再由自變量和對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的特點(diǎn)，抽象出以這些有序數(shù)對(duì)為坐標(biāo)的點(diǎn)的位置特征，進(jìn)而根據(jù)已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)初步判斷由這些點(diǎn)組成的圖形的形狀、特征.最后學(xué)生又通過(guò)親自實(shí)踐、描點(diǎn)，用平滑的曲線由左向右順次連接，形成函數(shù)的圖像.

2.依靠“基本套路”，學(xué)生自主探究不會(huì)偏離方向

我們注意到，在李老師的精心而有特色的教學(xué)預(yù)設(shè)下，學(xué)生有大量的自主探究和精彩生成.然而，我們不禁要問(wèn)，這些自主探究和精彩生成為何那么貼近課堂主線呢？原因還在教學(xué)預(yù)設(shè)和學(xué)情了解上，從課堂生成來(lái)看，學(xué)生在此前學(xué)習(xí)函數(shù)、一次函數(shù)時(shí)積累下來(lái)的“基本套路”或“研究步驟”起到很好的保駕護(hù)航的作用，比如類比一次函數(shù)定義二次函數(shù)之后，很自然地要寫出一般式，并明確待定系數(shù)的取值范圍；進(jìn)一步要研究函數(shù)的特殊形式，而且知道要從最簡(jiǎn)單的二次函數(shù)研究出發(fā)，通過(guò)列表、描點(diǎn)、連線的通法畫出圖像，并分析圖像的特征等.所以這些都說(shuō)明此前學(xué)生在八年級(jí)學(xué)習(xí)函數(shù)和一次函數(shù)時(shí)，對(duì)一些重要的“基本套路”已了然于胸，自然也就在九年級(jí)新學(xué)二次函數(shù)時(shí)表現(xiàn)出來(lái).在這個(gè)意義上說(shuō)，我們觀摩專家教師的課堂，有時(shí)并不僅僅是看到一節(jié)課，而是看到專家教師的教學(xué)思想、教學(xué)風(fēng)格長(zhǎng)久以來(lái)對(duì)孩子們思維方式、探索未知領(lǐng)域的影響，這是不是也值得我們玩味呢？

三、寫在最后

我們注意到，2015年的《中學(xué)數(shù)學(xué)》初中版發(fā)表了多篇專家教師的課例解讀、賞析文章，這事實(shí)上也啟發(fā)了筆者整理并解讀李庾南老師的上述課例.筆者以為，認(rèn)真研習(xí)、反復(fù)品味專家型教師的教學(xué)設(shè)計(jì)、課堂實(shí)錄對(duì)于青年教師的專業(yè)成長(zhǎng)是非常有效的途徑之一，期待更多同行解讀和推介專家型教師的實(shí)踐智慧.

1.章建躍，陳向蘭.數(shù)學(xué)教育之取勢(shì)明道優(yōu)術(shù)［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2014，52（10）.

2.李庾南.自學(xué)·議論·引導(dǎo)教學(xué)論［M］.北京：人民教育出版社，2013.

3.鐘啟泉.新舊教學(xué)的分水嶺［J］.基礎(chǔ)教育課程（上），2014（2）.

4.章建躍.構(gòu)建邏輯連貫的學(xué)習(xí)過(guò)程使學(xué)生學(xué)會(huì)思考［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2013（6）.

5.李庾南，陳育彬.中學(xué)數(shù)學(xué)新課程教學(xué)設(shè)計(jì)30例——學(xué)力是這樣發(fā)展的［M］.北京：人民教育出版社，2007.

6.劉東升.悠然神會(huì)，妙處與君說(shuō)——李庾南老師“平方根”課例賞析［J］.中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2014（5）.H