類比全等學相似，基本套路是保證
——李庾南老師“相似三角形的判定”課例賞析

☉江蘇省如皋初級中學 張 偉

類比全等學相似，基本套路是保證
——李庾南老師“相似三角形的判定”課例賞析

☉江蘇省如皋初級中學 張 偉

我們知道，當前一些初中數學教材中對相似三角形的判定都是分幾個課時教學的，然而筆者最近有機會觀摩全國著名特級教師李庾南老師一節“相似三角形的判定”公開課時，卻發現李老師通過類比全等三角形的判定方法，在一節課中把相似三角形的幾種判定方法全部探究出來，并且感覺也很自然，本文記錄這節課的教學過程，并附筆者的賞析，提供研討.

一、“相似三角形的判定”教學過程

1.通過類比、猜想，來啟發學生研究“三角形相似的判定”的思路

師：我們研究了全等三角形的定義、判定、性質.在此基礎上，又研究了相似三角形的有關概念，明白了全等三角形是相似比為1時的相似三角形.那么，我們能用三角形全等的判定方法來判定三角形相似嗎？

生眾：肯定能！

師：但是不需要這么多條件，因為相似三角形只要求形狀相同，不要求大小一定相等.現在我們研究如何把條件簡化到能保證三角形相似的最少情況——“三角形相似的判定”.

2.師生共同回顧三角形全等的判定公理

3.學生研究如何簡化三角形全等的判定公理及推論中的條件“k=1”（即相似比為1）

4.在學生個人探索研究、小組交流討論的基礎上，全班交流研究成果——猜想的判定命題

5.師生共同探究，證明三角形相似的判定假設的思路、方法、依據

李老師肯定了同學們根據相似三角形與全等三角形的聯系與區別對三角形全等的判定公理及推論中的題設進行了調整，制作了三角形相似的判定命題之后，進一步引導：“同學們制作的四個命題是不是真命題，能否作為判定三角形相似的依據呢？我們是要對這四個命題一一證明的.回憶一下，我們現在判定三角形相似已有哪些依據？”

學生已掌握了兩個依據，一是相似三角形的定義，二是根據相似三角形的定義得到的一個關于三角形相似的結論：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構成的三角形與原三角形相似.（簡稱“預備定理”）

接著李老師畫出“預備定理”的圖形，寫出定理的表達式：如圖1，DE∥BC，分別交AB、AC于點D、E，則△ADE∽△ABC.

聽課說明：這樣，李老師不僅為學生證明判定命題啟發了思路，而且通過凸顯定理的圖形和表達式，進一步為學生用“疊合法”證題創設了思維情境.

李老師（適時講解，啟發思路）：我們已經掌握了判定三角形相似的兩種方法——相似三角形的定義及由定義推出的“預備定理”.這樣根據“定義”或“預備定理”均可判定兩個三角形相似了.因而證明同學們制作的四個命題的思路，是要將其題設轉化為符合“定義”或“預備定理”的題設.現在請同學們觀察“預備定理”中圖形的特征，研究如何將命題一轉化為符合“預備定理”的條件，從而可以用“預備定理”判定三角形相似.

學生分析“預備定理”和判定命題一的題設和圖形特征（如圖2）.

圖1

圖2

學生：容易想到需要把△A′B′C′（或△ABC）移到△ABC（或△A′B′C′）上去，使其滿足“預備定理”的圖形特征及定理的題設.

6.學生親自動手實踐，獨立研究“移動三角形”的具體方法，而后全班交流

課堂概述：有的同學是在△ABC的邊AB、AC（或在A′B′、A′C′的延長線）上，分別截取AD=A′B′，AE=A′C′（或A′D=AB，A′E=AC），連接DE就得到與△A′B′C′（或△ABC）全等的△ADE（或△A′DE），這就相當于把△A′B′C′（或△ABC）移到△ABC（或△A′B′C′）上去，因而只要證明DE∥BC（或DE∥B′C′），就可根據“預備定理”判定△ADE∽△ABC（或△A′DE∽△A′B′C′），再根據相似的傳遞性證得△A′B′C′∽△ABC（或△ABC∽△A′B′C′）.老師對同學們的這種思路進行了概括：先作“全等三角形”，再證“平行”.

有的同學是在△ABC的邊AB（或A′B′的延長線）上，截取AD=A′B′（或A′D=AB），過點D作DE∥BC（或DE∥B′C′）交AC（或A′C′的延長線）于點E，由“預備定理”證得△ADE∽△ABC（或△A′DE∽△A′B′C′），再證得△ADE≌△A′B′C′（或△A′DE≌△ABC），由相似的傳遞性證得△A′B′C′∽△ABC（或△ABC∽△A′B′C′）.

這時同學們能自行總結思路：先作“平行”，再證“三角形相似”.

7.概括“疊合法”的證明步驟和原理，總結相似三角形的判定定理

通過以上的實踐討論和適時概括，不僅獲得了三角形相似的判定定理：如果兩個三角形的兩邊對應成比例，并且相應的夾角相等，那么這兩個三角形相似.即：如圖3，在△ABC和△A′B′C′中

圖3

聽課說明：學生對用“疊合法”來證明三角形相似的判定命題已有了較深刻的理解，接著李老師讓學生自主學習教材用“疊合法”證明“如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似”的方法和規范化的表達.判定命題“兩角對應相等的兩個三角形相似”的證明就迎刃而解.（作為學生課外作業）

在上述基礎上，師生繼續討論判定命題“斜邊和一條直角邊對應相等的兩個三角形相似”的證明思路.

例題已知：如圖4，Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，

求證：Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.

圖4

在學生個人思考的基礎上全班交流討論，得出如下兩種證明思路.

思路一：用“疊合法”證明.

在CA上截取CA1=C′A′，過點A1作A1B1∥AB，交CB于點B1，所以

因為A1C=A′C′，所以

所以A1B1=A′B′.所以Rt△A1B1C≌Rt△A′B′C′.

又因為Rt△A1B1C∽Rt△ABC，所以Rt△A′B′C′∽Rt△ABC.

思路二：用比例的性質和勾股定理證明.

又因為∠C=∠C′=90°，

所以△ABC∽△A′B′C′.（兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似）

8.師生共同總結三角形相似的判定方法的知識結構圖

相似三角形定義→判定三角形相似的預備定理→三角形相似的判定定理

二、課例賞析

1.類比全等學相似，新知生成的前提

我們發現，李老師在上面的課堂引入、新知探索階段都非常重視全等知識的復習回顧，比如開課階段和學生一起把全等三角形的判定方法梳理出知識結構，而正是這個知識結構的梳理，使得學生在后續相似三角形的探索過程中找到了方向，成為研究新問題的重要生長點.事實上，這正是類比思想在本課中的重要價值，而且在課中，李老師明確指出全等三角形是相似比為1的特殊情況，從而激發了學生思考、探索相似比不為1的情況，在類比學習的過程中，既指出了相同點，又揭示了不同點，引導學生辨別類比過程中的“同而不同”，思辨了“特殊”與“一般”之間的包涵關系.

2.注重“基本套路”，探索方向的保證

人教社資深編審章建躍博士曾指出數學教學要注意“基本套路”，比如接觸一種新“數”的學習時，其“基本套路”為數的概念、運算（運算法則的歸納）、運算律（類比前面運算積累下來的運算律，概括適合新數系的運算通性，目的是簡化運算）；比如幾何學習中四邊形的研究套路是：四邊形的概念，基于邊、角、對角線、對稱性的角度研究判定、性質及應用等；我們注意到，在上文中的相似三角形的判定教學中，李老師非常注重“基本套路”的滲透，比如開課階段全等三角形的判定方法的知識結構，對應著課堂小結階段的相似三角形的知識結構圖；再如學生在探索直角三角形相似的判定方法時，引導學生從不同的出發點（如基于全等角度猜想、基于平行線分線段成比例角度思考），既保證了探索方向的正確，又讓學生感受到問題起點和解決問題途徑的多樣性.

1.李庾南.自學·議論·引導教學論［M］.北京：人民教育出版社，2013.

2.鐘啟泉.新舊教學的分水嶺［J］.基礎教育課程（上），2014（2）.

3.章建躍.構建邏輯連貫的學習過程使學生學會思考［J］.數學通報，2013（6）.

4.李庾南，陳育彬.中學數學新課程教學設計30例——學力是這樣發展的［M］.北京：人民教育出版社，2007.

5.劉東升.悠然神會，妙處與君說——李庾南老師“平方根”課例賞析［J］.中國數學教育，2014（5）.H