重組教材關聯處，“同而不同”在類比
——“相似三角形的判定方法”教學設計及解讀

☉江蘇省南京外國語學校 吳凱紅

重組教材關聯處，“同而不同”在類比
——“相似三角形的判定方法”教學設計及解讀

☉江蘇省南京外國語學校 吳凱紅

我們知道，數學是一門邏輯連貫、前后一致的學科.日本著名數學家米山國藏曾指出數學的特征之一即是“一步一步向上走”！而相似三角形判定的教學常常是分成幾個課時，逐個突破，然后演練例、習題，讓學生完成會解題會應用的教學目標.最近一次的研討課上，筆者精心構思，讓學生類比已有知識和經驗，在一節課中把相似三角形的幾種判定方法全部呈現，并跟進了少量的例、習題，教學效果很好，得到聽課老師的好評，本文整理該課的教學設計，與更多同行研討.

一、教學設計與解讀

1.導入階段

復習“基本事實”：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例.

預設：引導學生深入追問，這條“基本事實”能否進一步窮本探源呢？回答是肯定的！

圖1

圖2

將“特殊”的圖1“一般化”為圖2，這就是教材上提及的“基本事實”，它的符號表示為

意圖：通過深入追問，不但回顧了前面學過的平行線分線段成比例性質，重要的是再次感受了從特殊到一般的數學思想方法，因為從這種思想出發，我們將從全等三角形的判定出發，繼續學習相似三角形的判定.

2.類比學習有方向

教師提問：同學們，能否類似全等三角形的判定方法的學習經驗，猜想相似三角形的判定方法呢？

預設意圖：在學習全等三角形的判定時，由于不想那么麻煩，找全三組邊對應相等、三組角對應相等，我們猜想、驗證出“SSS”“SAS”“ASA”，還推導出“AAS”，對于直角三角形又有“HL”的全等判定方法.

由相似三角形的定義，當三組角對應相等，三組邊對應成比例時，可以判定兩個三角形相似（注意：全等三角形是相似比為1的相似三角形）.同樣，我們是否能像全等三角形的判定那樣，減少一些條件，使得證明兩個三角形相似變得更加簡潔、明了？回答也是肯定的！

學生操作：任意畫兩個三角形（如圖3），使其三對角分別對應相等.用刻度尺量一量兩個三角形的對應邊，看看兩個三角形的對應邊是否成比例.你能得出什么結論？

圖3

發現：它們的對應邊成比例！

即：如果一個三角形的三個角分別與另一個三角形的三個角對應相等，那么這兩個三角形__________.

而根據三角形的內角和等于180°，我們知道如果兩個三角形有兩對角分別對應相等，那么第三對角也一定對應相等.

于是，可以得到判定兩個三角形相似的一個較為簡便的方法，即方法1.

方法1：如果一個三角形的兩個角分別與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似.

預設：類似地，可以得出另外幾個判定方法，即方法2和方法3.

方法2：如果一個三角形的兩條邊與另一個三角形的兩條邊對應成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似.

方法3：如果一個三角形的三條邊和另一個三角形的三條邊對應成比例，那么這兩個三角形相似.

例題教學.

例1在△ABC和△A′B′C′中，已知：AB=6cm，BC= 8cm，AC=10cm，A′B′=18cm，B′C′=24cm，A′C′=30cm.試證明△ABC與△A′B′C′相似.

則△ABC∽△A′B′C′（如果一個三角形的三條邊和另一個三角形的三條邊對應成比例，那么這兩個三角形相似）.

意圖：通過該例題的教學，訓練學生熟悉相似三角形的判定的推理格式.

3.相似三角形的應用

例2如圖4，已知：D、E是△ABC的邊AB、AC上的點，且∠ADE=∠C.求證：AD·AB=AE·AC.

證明：由∠ADE=∠C，∠A=∠A，得△ADE∽△ACB（如果一個三角形的兩個角分別與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似）.

圖4

則AD·AB=AE·AC.

預設講評：我們知道，證得兩個不同位置的三角形全等之后，就可以溝通本來位置上“風馬牛不相及”的兩個角、兩條邊對應相等，這大大拓展了證明角相等、邊相等的手段.證明兩個三角形相似之后，同樣能溝通這兩個三角形的對應角相等、對應邊成比例.

證后反思：上面證明相似三角形并不困難，與全等三角形的判定一樣，關鍵是在圖形中選擇哪兩個三角形全等，進而尋找條件并識別屬于哪一種判定方法.當得出相似三角形后，還要選擇恰當的成比例線段變形得到“乘積式”.

證后變式：如圖4，已知：△ABC中，AB=5，AC=4，E為邊AC的中點.問：在AB邊上能否找一點D，滿足∠AED=∠B？如果可能，求出點D的位置；如果不能，說明理由.

圖5

改編說明：引導學生發現，跟例2的證明思路一樣，可以先證出△ADE∽△ACB，得出，再把相應的數據代入后，就可求出AD的長了.

上面，我們示范了一種變式問題，學會一題多變可加深對所學知識的理解深度.事實上，除了上面這種求值的變式之外，將圖4中的E點向下平移到點C處，如圖5，保持E′D′∥ED，此時有△AD′C∽△ACB，可得比例式即AC2=AB·AD′.

還可以繼續啟發同學們將這個問題不斷生長下去，比如圖5中，當∠ACB=90°時，CD′是Rt△ACB的什么線段呢？（高）你能發現此時圖形中的線段有多少特殊的數量關系呢？

4.課堂小結、布置作業（略）

二、關于教學立意的整體闡釋

上面結合課例的教學設計逐個欄目給出預設意圖以及追問方式，以下再從整體上對該課教學內容做出教學立意上的闡釋說明.

1.追求邏輯連貫、前后一致的數學教學

之所以沒有根據教材上引導學生先探究某個定理的猜想發現、驗證證明，然后進行例題示范、習題訓練與講評的教學流程，是因為我們對這部分內容在整個知識鏈條上的地位、價值的理解，比如開課階段對“平行線分線段成比例性質”有一個溯源式追問，追問到平行線等分線段性質，而用好這個性質就可以證明平行線分線段成比例性質；在這個問題的追問引入之后，讓學生類比全等學相似，也保持了整個知識鏈上的邏輯連貫、前后一致.這也是近年來人教社章建躍教授極力倡導的發揮數學內在力量、追求數學育人的教學取向.

2.滲透類比思想，在類比中感受“同而不同”

從上面的課例能看出，主要精力花在引導學生類比全等學習相似，回顧全等三角形的判定方法是基于少用一些條件就能證明兩個三角形全等，本質上是數學對簡潔表達、條件弱化的追求.在這種追求下，進一步思考相似三角形的判定條件，也就容易猜想出條件弱化后的條件，并通過操作驗證來明確判定方法，這個過程不僅得出了新知，而且也強化了類比方法的應用.此外，在類比過程中，還感受到數學新、舊知識之間的“同而不同”，即全等三角形是相似比為1的相似三角形中的特例.再有，我們知道全等三角形在幾何解題中的重要價值就是溝通復雜圖形中的邊、角之間的關系，而通過例2的解題教學，不僅鞏固了相似三角形的判定方法，而且讓學生感受到了相似三角形的重要性、在溝通復雜圖形中角、邊之間的關系上有十分重要的價值，中考中很多圖形綜合題常常需要通過發現或構造相似三角形獲得線段與角之間的關系.

1.章建躍.發揮數學的內在力量，為學生謀取長期利益［J］.數學通報，2013（2）.

2.謝裕宏.重視教材“探究活動”，專業自主增設課時——李庾南老師“平行線分線段成比例”課例賞析［J］.中學數學（下），2015（4）.

3.鐘啟泉.新舊教學的分水嶺［J］.基礎教育課程（上），2014（2）.Z