“同位角相等，兩直線平行”三段引入內容分析

☉江蘇省宿遷市宿豫區教育局教研室 胡 濱

“同位角相等，兩直線平行”三段引入內容分析

☉江蘇省宿遷市宿豫區教育局教研室 胡 濱

“探索直線平行的條件”的第1課時，是介紹“同位角相等，兩直線平行”的幾何基本事實，不同版本的新課程教材有不同的呈現方式，以下三段引入內容被多種教材所呈現：用“木工用角尺在工件上畫平行線”作為情境引入、用“用三角尺與直尺畫平行線”作為畫圖引入、用“用三根小棒直觀演示”作為操作引入.這樣三段內容在實際課堂教學引入中可行嗎？又何以可能？我們對這三段內容的呈現方式分析如下，供大家參考.

一、用“木工用角尺在工件上畫平行線”作為情境引入的分析

木工用的“角尺”拐角之所以設計成直角，源于對垂直的理解.如圖1，假設一根繩子的端點處固定一重物，使得重物自然下垂，那么這條繩子就與地平面垂直.因此垂直中的“垂”是下垂的意思，“直”是相對于“傾斜”而言的，也就是“不斜”的意思.

由于“角尺”的兩邊互相垂直，當一邊與工件密合時，沿著另一邊所畫出來的線自然互相平行，如圖2中a∥b.這樣的事實，我們直觀觀察時似乎本性自明，當反省其中的道理時卻又不知所云，特別是當要求用語言來概括其中的道理時，更是難以形容盡致.

圖1

圖2

實際上，物各有性，性各有理.圖2中a∥b的事實，說明我們關于平行線的知識來源于感官所得，“平行”的效果是由實驗知道的.原因先于效果，原因是不可實驗的，它隱藏于事物之中，物有形，理卻無形，但理是實理.怎樣才能發現圖2中a∥b的“實理”呢？“理”就在圖2中具有相同位置關系的∠1與∠2都為90°這一“因”.這個隱藏在“角尺”的拐角處的事實可能被工具直觀所遮蔽而視而不“見”，也可能是由于“直角”的“直”之理太平常而無法“言”表.

用“木工用角尺在工件上畫平行線”作為情境引入，既符合人的先從覺識意象感知、后理性推理驗證的認識規律，又符合因果相似、有果必有因的因果相隨的自然規律.為此，選擇這個情境引入是可行的.

二、用“用三角尺與直尺畫平行線”作為畫圖引入的分析

平行線的研究對象是直線，“直的線”含義是“它上面的點一樣地平放著的線”［1］，“點一樣地平放著”指在直線上任意截取一條線段，就會出現兩個端點，這兩個端點之間的線段上所有點都不會偏離到上方或下方.這就是說，“直線”之所以“直”，是因為它上面任意一條線段的方向都與原直線的方向一樣.因此，“直線”中的“直”的含義指有確定的方向.

“平行線”的意義指“在同一平面內的直線，向兩個方向無限延長，在不論哪個方向它們都不相交”［1］，兩條直線“不相交”指它們的方向相同且無論在哪個方向上都不會構成角.因此，“平行線”中的“平行”的含義指有相同的方向.

當線上的點的方向有所改變時，線就會變“曲”，如圖3；當直線上某一段的方向有所改變時，就會變“傾斜”，如圖4；當同一平面內的兩條直線的方向不相同時，就會相交而構成角，如圖5.因此，“直”與“曲”相對，“直”也與“斜”相對.線的“曲”與“斜”均與“角”有關，“角是在一平面內但不在一條直線上的兩條相交線相互的傾斜度”［1］.因此，描述平行線的特征必用到角，對角的認識又以直線為基礎.

圖3

圖4

圖5

如圖6［2］，用三角尺與直尺來推畫平行線，既能確定直線的方向又能保持直線的方向相同，這樣的確定必以同位角的恒定為基礎.因此，用“用三角尺與直尺畫平行線”作為探索直線的平行條件過程中的畫圖技能培養是重要的.

圖6

三、用“用三根小棒直觀演示”作為操作引入的分析

如圖7，三根木條相交成∠1、∠2，固定木條b、c，轉動木條a.

圖7

如圖8（1），在木條a的轉動過程中，觀察∠2的變化以及它與∠1的大小關系，你發現木條a與木條b的位置關系發生了什么變化？木條a何時與木條b平行？

改變圖7中∠1的大小，按照上面的方式再做一做.∠1與∠2的大小滿足什么關系時，木條a與木條b平行？與同伴進行交流［3］.

圖8

簡化木條圖，得到圖9.可以看出，畫直線AB的平行線CD，實際上就是過點P畫與∠2相等的∠1，而∠2和∠1正是直線AB、CD被直線EF截得的同位角.這說明：如果同位角相等，那么AB∥CD［4］.

圖9

從圖7、8的“三根小木棒”抽象到圖9中的“三線八角”，抽去了木棒這一物質條件，抽取了“兩條直線AB、CD被第三條直線EF所截，如果∠1=∠2，那么AB∥CD”這一基本事實.抽象的關鍵是洞見“用三根小木棒直觀演示”中的物性物理，認識到抽象圖形中固有的平行原理.抽象過程帶來的啟示是：數學實驗的直觀操作只是知識的開端，而數學思想方法的獲得主要還需仰借個人理性分析與推證，思外物，懂外物，使思想通達外物的真性實理.因此，用“用三根小棒直觀演示”作為探索直線的平行條件的操作是不可缺少的.

由此看來，三段內容之間遵循前后相繼的秩序，先由觀察物體而獲得感官知覺力，后由觀察圖形而獲得想象力（包括動手操作能力），最后洞見到抽象的平行原理而獲得智力上的領悟.也就是先由物體的本性本理，后到幾何的圖形形理，最后抽象為基本的事實原理.缺乏了物體現實可見之本性本理，眼睛的視界便會視而不見；缺乏了基本作圖幾何直觀之圖形形理，對數學本原的理解及推理能力的培養便會落空；缺乏了從實物演示抽象到規范的幾何之事實原理，會影響對數學對象本質的準確地把握及數學模型建立過程的清晰認識.

為此，命題“同位角相等，兩直線平行”獲得過程的教學設計，要關注兩種方式［5］.首先應關注它的形成.木工用“角尺”在工件上畫平行線，說明平行線有特例形式；在平面上，我們用三角尺和直尺畫平行線，說明平行線普遍存在；從“三根小木棒”到“三線八角”的形成過程，說明平行線條件的原理過程是可抽象、可概括、可歸納的.在這三個階段中，有辨認、假設、驗證、抽象、概括等一系列認知加工過程，是一種發現的學習過程.其次應關注它的同化形式.平行線的條件與直線、角、平行等概念都有關系，角的概念與直線及其方向密切相關，直線與方向及其方向的改變有關內容又都與角相關聯，它們分布在“圖形與幾何”領域的各個方面，如何將這些相關的內容激活、聯結，并經過加工和改組，以形成新的平行線認知結構，是一種有意義的接受學習過程.在實際的教學設計過程中，既要關注命題形成的發現過程，又要關注命題意義的接受過程，也只有兼顧這兩個過程，理解、闡釋與使用這三段引入內容才是可行且可能的.

1.歐幾里得，著.幾何原本［M］.蘭紀正，朱恩寬，譯.西安：陜西科學技術出版社，1990.

2.中華人民共和國教育部審定.義務教育教科書七年級數學（下冊）［M］.南京：江蘇科學技術出版社，2013.

3.中華人民共和國教育部審定.義務教育教科書七年級數學（下冊）［M］.北京：北京師范大學出版社，2013.

4.中華人民共和國教育部審定.義務教育教科書七年級數學（下冊）［M］.北京：人民教育出版社，2013.

5.俞平.數學教學心理學［M］.北京：北京師范大學出版社，2010.Z