一種基于約束框架的棱柱網格生成方法

孫 巖，鄧小剛，王光學，毛枚良，張玉倫

(1.中國空氣動力研究與發展中心空氣動力學國家重點實驗室，四川綿陽 621000; 2.國防科學技術大學計算機學院，湖南長沙 410073)

一種基于約束框架的棱柱網格生成方法

孫 巖1，*，鄧小剛2，王光學1，毛枚良1，張玉倫1

(1.中國空氣動力研究與發展中心空氣動力學國家重點實驗室，四川綿陽 621000; 2.國防科學技術大學計算機學院，湖南長沙 410073)

提出了一種基于約束框架的棱柱網格生成方法，即利用物面網格節點與背景結構框架網格之間的單一映射關系線性插值生成棱柱網格。背景結構框架網格基于TFI方法生成。物面網格節點與背景框架網格之間的映射關系通過一種線性投影方法建立。然后通過V型槽、圓球、M6機翼和F6翼身組合體四種不同外形對該棱柱網格生成方法進行了測試，測試結果表明該方法能夠避免棱柱網格生成中的網格交叉現象，保證棱柱網格的成功生成。該方法在棱柱網格質量控制、棱柱網格局部修改等方面具有較好的效率和優勢，但背景框架網格的生成依然是該方法的一個瓶頸，需要進一步的研究。

約束框架;TFI;背景結構網格;棱柱網格生成;映射

0 引 言

高質量的離散網格是獲得準確CFD計算結果的基礎。目前，盡管出現了一些高效的商業網格劃分軟件，如Gridgen、ICEMCFD等，但網格生成依然占有約60%的CFD工作量。高效、高質量的網格全自動劃分仍然是CFD應用面臨的關鍵研究問題之一［1-2］。

三角形或四面體網格可以對任意二維或三維區域進行自動填充，實現任意復雜外形網格的全自動生成，但在模擬高雷諾數邊界層流動時顯得力不從心。全六面體流場結構網格可以在邊界層區域生成較大長細比的網格，具有較好的模擬精度且內存占用小，但復雜外形的空間拓撲設計和網格節點分布的精細調整極大地增加了全六面體結構網格生成的難度和時間消耗。棱柱網格具有非結構網格和結構網格的雙重性質，屬于半結構網格類型，采用棱柱網格可以比較好地模擬邊界層內的高梯度流動，因此，在流場邊界層區域采用棱柱網格，在流動變化緩慢的區域采用四面體網格或笛卡爾網格的混合網格方法受到了很多CFD研究者的青睞［2-5］。

目前，棱柱網格生成方法主要有三類:法矢推進［6-10］、各向異性四面體網格聚合［11-12］和Level set界面追蹤方法［13-15］。法矢推進生成棱柱網格的思路最早由Nakahashi［6-7］和Steger［8］提出，他們的方法是通過沿著物面法向一步一步推進生成棱柱網格，但在物面法矢存在奇性的位置需要進行特殊的處理，后續研究工作對他們的方法進行了諸多的改進［9-10］，以提高方法的魯棒性和自動化程度。各向異性四面體網格聚合方法首先通過Advancing Layer方法自動生成各向異性四面體網格，然后基于一定的判定準則對網格單元進行聚合，從而得到壁面附近的棱柱網格單元，該方法具有很好的自動化程度，但聚合后的網格往往存在少數網格質量很差無法聚合的四面體單元，影響整體的計算效率和計算精度。基于Level set的方法是近些年快速發展的混合網格方法，其中具有代表性的是Dawns［13-14］發展的基于Level set的棱柱/笛卡爾混合網格生成方法，能夠自動實現極端復雜外形下混合網格的快速生成，但該方法要求物面網格和笛卡爾背景網格具有相近的網格尺寸以避免扭曲網格的產生［15］。

本文借鑒文獻［16］提出的背景網格思路，提出一種基于約束框架的棱柱網格生成方法，即在物面外形周圍利用TFI(Transfinite Interpolation)方法生成一層粗的背景結構網格，通過背景結構網格與物面網格節點之間的映射關系插值得到棱柱網格的節點坐標，實現棱柱網格的高效、高質量生成。

1 方法描述

基于約束框架生成棱柱網格方法的主要思想是:在物面外形周圍利用TFI超限插值方法生成較粗的背景結構網格，然后利用物面網格節點與背景結構網格之間的映射關系插值得到棱柱網格。基于弧長分布的TFI方法見文獻［17］。

圖1為基于約束框架的棱柱網格生成方法示意圖。其中，紅色的背景結構網格將物面邊界層區域分割成多個六面體框架，將物面分割成多個四邊形框架，構成控制棱柱網格生成的約束框架。藍色的點表示物面網格的節點Node，對于任一物面網格節點N1S，可以尋找到距離節點最近的物面框架四邊形，從而建立起物面網格節點與物面框架四邊形之間的映射關系。棱柱網格每一層的節點坐標，利用映射系數和節點對應的當前層約束框架四邊形節點的坐標插值得到，詳細的計算方法見下文。

圖1 棱柱網格生成方法示意圖Fig.1 Sketch of prismatic grid generation method

圖2 四邊形網格剖分與投影關系Fig.2 Splitting method of rectangle grid and projection relation

圖2中a、b、c為網格節點定義的矢量，d為物面節點XN在物面框架三角形組成的平面V1V2V3上的投影點XP到節點XN的矢量，所以有:

XP位于平面V1V2V3上，所以XP可以表示為:

利用式(1)、式(2)、式(5)，可得:

所以投影點坐標XP可以表示為三個點的線性疊加:

其中α=1－β－γ。由式(3)、式(4)、式(5)可得:

利用a和b與d垂直的關系，結合式(8)，可以計算出:

α、β、γ均位于區間［0，1］之間時，表面投影點位于三角形內部，其它則表明投影點位于三角形外部。對于凸曲面外形，物面網格節點的投影點可能不位于任一四邊形剖分的三角形內部，這種情況通常出現在曲面邊界不光滑過渡區域。為了建立起映射關系，可以采用二次過濾的方法，首先建立投影點位于三角形內部的物面網格節點與背景框架之間的映射關系，對于投影點不位于三角形內部的物面網格節點，給定一個容差σ，α、β、γ在區間［-σ，1+σ］之間，認為投影點位于三角形內部，再利用距離最小準則搜索出與之映射的物面框架四邊形。

所以，

對于曲面外形，物面網格節點通常不位于三角形所在的平面上，即d=|d|≠0，在計算棱柱網格節點坐標時，需要修正偏移距離d的影響，否則當第一層網格厚度非常小時，容易造成網格交叉出現負體積，導致網格生成失敗。定義三角形平面單位法向矢量d0:

所以有:

ε的絕對值定義了物面網格節點到物面框架三角形的距離，ε的符號定義了物面網格節點相對物面框架三角形平面的位置。ε＞0，物面網格節點位于平面法向一側;ε＜0，物面網格節點位于平面法向反向一側;ε=0，物面網格節點位于平面上。ε定義了修正距離的大小和方向，其值可以通過下式計算得到。

在計算棱柱網格每一層節點坐標時，保持插值系數α、β、γ和ε不變，利用節點對應當前層約束框架節點坐標插值得到新的棱柱網格節點坐標，如式(14)。

其中，

上標i表示第i層網格節點。

2 網格生成實例

通過4種典型外形的棱柱網格生成實例，驗證本文提出方法的可行性，4種外形分別是V型槽、圓球、M6機翼和F6翼身組合體。

2.1 V型槽

V型槽是驗證棱柱網格生成方法的一個常用算例，構成V型槽的兩個平面的法矢在空間上是交叉的，在利用推進方法生成棱柱網格時，如果推進步長過大，會造成網格交叉出現負體積，導致網格生成失敗。圖3(a)為V型槽的表面三角網格劃分和采用的框架邊線，為了體現框架對棱柱網格生成的約束效果，空間框架邊線采用弧線，將棱柱網格最外層網格面約束在一個光滑弧形曲面上。圖3(b)為棱柱網格生長的剖面視圖，可以看出，在槽底的棱柱網格的生長不是沿著平面的法向推進，而是在框架的約束下以與法向一定的傾斜角度生長，從而保證了網格之間的不交叉，網格的生長速率也由框架沿棱柱網格生成方向的邊線上的節點分布控制，保證了統一的增長速率和每一層棱柱網格面的光滑性。圖3(c)～圖3(f)為基于同一約束框架的不同表面網格密度的V型槽棱柱網格的生成?？梢钥闯?網格密度的變化，對棱柱網格最外層網格面外形的影響很小。

2.2 圓球

圓球面為外凸面，外法矢是發散的，在空間上不交叉，是法向推進方法最理想的外形。采用圓球作為驗證算例，一方面因為球面會使得表面網格節點和物面框架之間存在距離，需要進行距離修正，另一方面是為了體現本文方法對棱柱網格的雕塑作用，將圓球棱柱網格的最外層外形約束在一個橢球面上。圖4(a)為圓球表面網格分布和約束框架外形，約束框架的外表面被投影到一個橢球面上。圖4(b)為圓球棱柱網格的剖面視圖，從圖中可以看出，通過距離修正，球面外形被一層層傳遞到棱柱網格層中，隨著離球面距離的增大，距離修正量的影響變小，最外層的外形受距離修正影響比較小，保持為橢球形狀。圖4(c)～圖4(f)為基于同一組約束框架的不同表面網格密度的球體棱柱網格生成，可以看出:隨著網格密度的增加，棱柱網格最外層面外形均保持為橢球形狀，并且網格密度越大，最外層網格面越光滑。

圖3 V型槽棱柱網格生成Fig.3 Prismatic grid generation for V-shaped groove

圖4 圓球棱柱網格生成Fig.4 Prismatic grid generation for sphere

2.3 M6機翼

M6機翼是CFD驗證計算中經常使用的一個模型，它是一個后掠機翼，機翼后緣具有一個很小的厚度，外形與表面網格如圖5(a)。圖5(b)為M6機翼棱柱網格生成采用的約束框架，在靠近機翼前緣、后緣和翼梢位置分別增加了控制邊線，以提高約束框架與機翼物面之間的正交性，提高棱柱網格生成的質量。圖5(c)～圖5(d)分別為翼根和翼梢位置生成的棱柱網格的剖視圖，可以看出:棱柱網格在框架約束下沿著各自的方向增長，相互之間沒有交叉，保證了棱柱網格體積非負。圖5(e)～圖5(f)分別為翼梢前緣和翼梢后緣棱柱網格最外層網格面形狀，可以看出:棱柱網格最外層網格面形狀受到了框架的約束，呈現出規則的形狀;翼梢后緣和機翼后緣采用四邊形網格生成四棱柱網格，是為了避免采用三角形網格在棱柱網格生成過程中三角形被過度拉伸導致網格質量太差。

圖5 M6機翼棱柱網格生成Fig.5 Prismatic grid generation for M6 wing

2.4 F6翼身組合體

F6翼身組合體是第二屆、第三屆AIAA阻力預測會議選用的模型，F6翼身組合體外形與表面網格如圖6(a)，表面網格在機翼翼梢、機翼后緣及機身與后緣連接位置采用四邊形網格，以避免這些位置采用三角形網格導致網格被過度拉伸造成網格質量太差。圖6(b)為F6模型棱柱網格生成采用約束框架，約束框架在模型幾何變化明顯的區域增加了控制邊線，以提高框架和模型表面的正交性，提高棱柱網格生成的質量。圖6(c)～圖6(d)分別為翼身連接位置棱柱網格和翼梢位置網格的剖視圖，可以看出:棱柱網格生長良好，沒有出現交叉現象。圖6(e)～圖6(f)為翼梢后緣和翼根后緣位置棱柱網格最外層網格面形狀，由于在這些位置的表面網格中采用了四邊形網格，有效提高了棱柱網格的生成質量。

圖6 F6翼身組合體棱柱網格生成Fig.6 Prismatic grid generation for F6 wing-body

3 進一步討論

前一節通過四種外形網格生成實例驗證了本文提出方法的可行性，本節將針對該方法的優缺點開展進一步的討論。

首先，與法向推進生成棱柱網格方法相比，本文提出的基于約束框架的棱柱網格生成方法需要生成背景結構網格框架，增加了棱柱網格生成的工作量。但同生成全六面體流場結構網格不同，本文生成的背景結構網格首先不用考慮復雜的空間拓撲，只需要將物面四邊形邊線沿著物面法向推進生成空間邊線;其次背景結構網格的節點分布不需要考慮網格尺寸之間的連續性，不需要調整網格節點分布，對于絕大多數外形，只需均勻分布框架邊線上的節點。上述兩點均是全六面體流場結構網格生成中需要考慮且最費時的，本文方法均不用考慮，極大地降低了背景結構網格框架生成的難度和時間消耗。當然，目前背景結構網格框架的生成還是需要一定的人工參與，如何實現背景結構網格的自動生成還需要進一步地研究。

其次，同法向推進生成棱柱網格方法相比，本文方法犧牲了部分法矢交叉位置棱柱網格的壁面正交性來避免網格生成過程中的交叉現象，保證棱柱網格生成的成功。法向推進方法在法矢交叉位置，通過減小推進步長避免網格出現交叉，不同推進步長使得生成的網格面不光滑，導致網格質量降低，因此需要通過光滑算法對新生成的網格面進行光滑?；诩s束框架的方法，不僅可以保證統一的網格增長速率，還可以將每一層棱柱網格面約束成比較光滑的形狀，對于棱柱生長方向偏離法矢方向的位置，通過增加控制線，可以將偏離程度和偏離區域控制在最小，保證大部分棱柱網格具有較高的質量。

此外，基于約束框架生成棱柱網格的方法具有的一個特點是，當物面表面網格發生變動時，只需要在網格密度變化可能造成棱柱網格質量降低的區域調整背景結構網格框架及調整法向邊線的節點分布，然后從新計算網格節點在物面框架上的映射系數，最后插值計算得到全新的棱柱網格。在開展網格收斂性研究時，該方法不僅可以有效提高網格生成的效率，還可提高棱柱網格之間的幾何相似性，對于改善網格收斂性研究的精度具有重要的參考價值。

最后，該方法生成棱柱網格具有很高的效率。如上節中的F6翼身組合體模型，物面網格有57 763個節點，108 572個三角形單元，3 136個四邊形單元，物面框架被分成5 500個四邊形區域，采用3.0G的AMD處理器僅需7.08 s即可生成20層的棱柱網格。棱柱網格生成的主要時間消耗是建立物面網格節點與物面框架之間的映射關系，本文采用遍歷循環的方式，如果采用高效的數據結構和搜索算法，該方法的效率還將有很大的提高。

4 結 論

本文提出了一種基于約束框架的棱柱網格生成方法，通過生成粗的背景結構網格框架控制棱柱網格節點的生長方向和生長速率，并通過四種不同外形對該方法進行了測試，可以得到以下結論:

(1)通過建立表面網格點和背景框架網格之間的映射關系，避免了棱柱網格生成過程中的網格交叉現象，保證了棱柱網格的成功生成。

(2)該方法直接對表面網格點的生長速率和生長方向進行控制，不依賴于表面網格的拓撲類型，能夠應用于混合型棱柱網格的生成(如F6算例中翼稍附近的四邊形網格和周圍的三角形網格)，具有一定的普適性。

(3)背景框架網格可以控制棱柱網格的生長區域，通過添加控制線減小網格擠壓區域的影響范圍，保證大部分區域的網格質量。

(4)物面網格發生改變(如網格加密或網格局部修改)時，僅需要對背景網格框架進行局部的修改，即可快速生成新的棱柱網格，能夠大幅降低棱柱網格修改的時間消耗。

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A prismatic grid generation method based on constrained frame

Sun Yan1，*，Deng Xiaogang2，Wang Guangxue1，Mao Meiliang1，Zhang Yulun1
(1.State Key Laboratory of Aerodynamics，China Aerodynamics Research and Development Center，Mianyang Sichuan 621000，China; 2.School of Computer Science，National University of Defense Technology，Changsha 410073，China)

A prismatic grid generation method based on constrained frame is presented.The prismatic grid is generated by linear interpolation using one to one mapping between surface grid nodes and background structured grid frame.The background frame is generated by TFI method.The one to one mapping is established using a linear projection method.Then，the prismatic grid generation method is tested through four different shape cases:V-shape groove，sphere，M6 wing and F6 wing-body.The test results show that this method can avoid overlapped cells and make prismatic grid generation successful.Finally，discussion about advantages and disadvantages of the present method shows that this method functionates better on quality control and local modification of prismatic grid，but the generation of background grid frame is still a bottleneck and need further investigation.

constrained frame;Transfinite Interpolation;background structured grid;prismatic grid generation;mapping

V211.3

A

10.7638/kqdlxxb-2013.0003

0258-1825(2015)03-0319-06

2013-01-16;

2013-03-08

國家重點基礎研究發展計劃(2014CB744803);國家863項目(2012AA051304)

孫巖*(1986-)，男，安徽鳳陽人，博士研究生，助理研究員，研究方向:計算流體力學.E-mail:supersunyan@163.com

孫巖，鄧小剛，王光學，等.一種基于約束框架的棱柱網格生成方法［J］.空氣動力學學報，2015，33(3):319-324.

10.7638/kqdlxxb-2013.0003 Sun Y，Deng X G，Wang G X，et al.A prismatic grid generation method based on constrained frame［J］.Acta Aerodynamica Sinica，2015，33(3):319-324.