基于多分類支持向量機和D-S證據理論的軸承故障診斷

梅檢民，趙慧敏，肖云魁，周 斌

(1.軍事交通學院汽車工程系，天津 300161; 2.天津大學機械工程學院，天津 300072)

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2015021

基于多分類支持向量機和D-S證據理論的軸承故障診斷

梅檢民1,2，趙慧敏1，肖云魁1，周 斌2

(1.軍事交通學院汽車工程系，天津 300161; 2.天津大學機械工程學院，天津 300072)

針對支持向量機(SVM)硬判定輸出分類結果缺乏定量評價的問題，提出了一種多分類SVM后驗概率建模的改進方法。通過引入D-S證據理論，得到多分類SVM在D-S證據理論識別框架下的基本概率分配，使樣本在分類時同時具有定性解釋和定量評價。接著，將多源信息送入SVM之后在決策級對多個SVM分類輸出進行證據融合，以提高診斷精度。最后，將該方法應用于軸承故障的診斷中。結果表明，該方法能正確分類采用單源信息時所錯分樣本，降低識別的整體誤差，顯著提高故障診斷的準確性。

故障診斷；支持向量機；后驗概率；D-S證據理論；信息融合

前言

機械故障樣本獲取困難，限制了人工神經網絡在機械故障模式分類中的應用。20世紀90年代初由Vapnik等人提出的支持向量機(support vector machine, SVM)能夠在訓練樣本較少的情況下得到較強的分類推廣能力，較好地解決了小樣本、非線性和高維數等模式識別問題[1]。然而傳統SVM不提供概率輸出，在進行樣本分類學習時，只考慮兩種極端情況，即屬于某一類的概率為1或0，因此SVM對故障模式識別的不確定性問題缺乏識別結果的準確性解釋[2]。D-S證據理論引入了信任函數，滿足比概率論弱的公理，并能區分不確定性的差異。D-S證據理論作為一種不確定性推理方法，利用多源冗余信息進行融合，可以有效提高推理準確度，在故障診斷領域受到越來越多的關注[3]。本文中提出多分類SVM后驗概率輸出建模方法，并將其與D-S證據理論相結合，對軸承故障進行融合診斷，提高診斷精度和準確率。

1 SVM后驗概率輸出建模

1.1 二分類SVM后驗概率輸出

Wahha和Platt最早在二分類SVM方法中引入后驗概率，通過樣本的后驗概率來確定樣本的類別，使樣本在分類時不僅具有定性解釋，而且具有定量評價。SVM的標準輸出[4]為

(1)

支持向量到分類面之間的距離記為

dsvm=1/‖ω‖

(2)

則任意樣本點x到分類面之間的距離為

dx=f(x)/‖ω‖

(3)

從SVM分類超平面的幾何角度，可通過樣本與最優分類面間距離的遠近來定量評價分類問題中的樣本屬于所在類可能性的大小，即后驗概率。由式(2)和式(3)得出f(x)=dx/dsvm，f(x)反映了樣本x經非線性映射至高維隱空間的最優分類超平面的相對代數距離，反映了對類別的相對支持程度。

概率輸出函數須滿足兩個條件：(1)函數的值域為[0,1]；(2)函數滿足單調性。Platt提出將后驗概率視為sigmoid函數，將SVM的輸出fi(x)映射到[0,1]，后驗概率輸出形式[5]為

(4)

(5)

式中：i=1,2,…,l；yi為樣本的類別標簽。

1.2 多分類SVM后驗概率輸出

(6)

式中：pij(i|j;x)表示由第i類和第j類構成的兩類分類器計算所得x屬于第i類的后驗概率。

(7)

簡記pi=p(i|x)，p(i|j)=pij(i|j,x)，式(7)可以整理為

(8)

式中p(i|j)=1-p(j|i)，同時滿足約束條件：

(9)

求解方程組，可以得到樣本x在各類中的后驗概率pi。式(6)和式(8)組合為一個超定方程組，其系數矩陣的列向量組線性無關，得到的最小二乘解是唯一的。

2 D-S證據理論基本原理

設Θ為識別框架，若集函數m：2θ→[0,1](2θ為Θ的冪集)滿足

(1) 不可能事件的基本概率為0，即：m(φ)=0；

u(Θ)=Pls(A)-Bel(A)

(10)

[Bel(A),Pls(A)]稱為置信區間，表示對A的不確定區間。

設Bel1和Bel2是基于同一識別框架Θ的兩個置信度函數，m1和m2分別是對應的基本可信數，焦元分別為A1,A2,…,AK和B1,B2,…,BL，并假設

(11)

合成后的基本概率分配函數m：2θ→[0,1]則為

(12)

從式(12)可以看出，多個證據的合成與次序無關，多個證據的合成計算可以用兩個證據合成的計算遞推得到。

3 多分類SVM后驗概率與證據理論的結合

3.1 后驗概率的BPA輸出

Platt給出的仿真結論表明：式(4)的概率輸出模型并沒有明顯提高分類器的識別精度，而是與原SVM精度相近[8]。其原因在于sigmoid函數只是將SVM的輸出映射到[0,1]，并沒有真正反映樣本的后驗概率。因此SVM的后驗概率輸出更符合證據理論框架下的基本概率分配，首先將其轉換為證據理論識別框架下的基本概率分配函數BPA。

定理：如果一組訓練樣本能夠被一個最優分類面或廣義最優分類面分開，則對于測試樣本分類錯誤率期望的上界是訓練樣本中平均的支持向量占總訓練樣本數的比例[9]：

E(Perror)≤E(nsv)/(N2-1)

(13)

式中：N2表示訓練樣本的總數；E(nsv)表示支持向量個數的平均值。一個SVM分類器的上限正好反映了SVM對樣本x的不確知性，即識別框架的u(Θ)。由此得到多分類SVM證據理論識別框架下的基本概率分配

mi(x)=pi(1-E(Perror))，i=1,2,…,M

(14)

mΘ=E(Perror)

(15)

3.2 融合決策

診斷決策層采用D-S證據理論推理方法，通過對同一識別框架上的各證據體進行融合推理，最終形成決策結果。作用到框架上的證據體由特征診斷層輸出結果組成。采用如下方法進行判定：如果x點滿足m+(x)>m-(x)，m+(x)-m-(x)>ε1，m(Θ)<ε2，則把x判為正類，反之為負類。其中ε1的選取參照Platt基于SVM概率輸出判定的做法，取ε1=0；ε2的選取考慮無法分類時的極限情況：當f(x)=-B/A時，SVM無法做出判定，此時m+(x)=m-(x)=1/2(1-E(Perror))，多個SVM局部決策進行融合時，取多個SVM的最小值ε2=min{(1-ESVM1(Perror))/2,(1-ESVM2(Perror))/2,…,(1-ESVMN3(Perror))/2}，其中N3為SVM的個數。

4 基于多分類SVM后驗概率和D-S證據理論的軸承故障診斷

采用上述方法對軸承故障進行診斷，對象為發動機第3缸前后兩道曲軸軸承和第3缸連桿軸承。曲軸軸承配合間隙分別設置為0.08mm(正常)、0.20mm(輕微磨損)、0.40mm(嚴重磨損)，連桿軸承間隙設置為0.07mm(正常)、0.1mm(輕微磨損)、0.2mm(嚴重磨損)，對應曲軸軸承和連桿軸承皆正常、曲軸軸承輕微異響、曲軸軸承嚴重異響、連桿軸承輕微異響、連桿軸承嚴重異響5種工作狀態。振動傳感器分別放置在第3缸頂部、缸體右側、油底與缸體結合處右側，如圖1所示。

經反復試驗確定發動機轉速為1 300r/min時故障特征最明顯，采集該轉速下不同位置傳感器的振動信號。對各通道信號分別進行4層db2小波包分解，再對分解后各頻段的時域序列重構信號進行AR譜分析。為便于數據分析，將分解重構后柴油機加速振動信號的頻率歸一化，分為16段，各頻段所代表的實際頻率如表1所示。選取訓練樣本和測試樣本各10組，每種技術狀態對應兩個樣本，如表2和表3所示。表中，A-E4,1、A-E4,2、A-E4,3、B-E4,1、B-E4,2、B-E4,3、C-E4,1、C-E4,2、C-E4,3分別表示A、B、C 3處加速振動信號進行小波包AR譜分析后的2、3、4頻段能量。

表1 16個頻率分段代表的實際頻率范圍

表2 SVM模型訓練樣本

表3 SVM模型檢驗樣本

用表2樣本中不同傳感器的數據分別進行訓練，得到3個SVM分類器，將表3樣本輸入3個不同的分類器，并采用式(6)～式(9)算法求得各個SVM的后驗概率輸出，如表4所示。

表4 測試樣本的SVM后驗概率輸出

由表4陰影部分可知，有5個樣本被錯分。為提高識別精度，將3個SVM的輸出結果進行D-S融合。首先按式(13)～式(15)得到錯分樣本的BPA，如表5所示。接著按照式(12)算法融合，得到融合診斷結果如表6所示。

表5 錯分的測試樣本證據體的基本概率分配

表6 錯分測試樣本的證據合成

從表4、表5和表6可以看出，證據融合后的診斷結果準確度達到了100%，對SVM局部診斷決策錯分的樣本也能正確識別，診斷精度大大提高。與此同時，從表5與表6的比較可以看出，經過證據融合后置信區間范圍和證據的不確定性mΘ明顯減小，說明經融合后，診斷結果的不確定性減小，診斷精度大幅提高，證明多分類SVM后驗概率與D-S證據理論相結合的故障診斷模型的有效性和準確性。

5 結論

(1) 改進的多分類SVM后驗概率輸出模型將被測樣本屬于各二分類SVM的概率作為權值，符合多類樣本的實際分布，提高了SVM后驗概率的準確性。

(2) 將SVM誤差上界分配給識別框架，符合D-S證據理論的不確知性質，提高了算法的有效性。采用SVM和D-S證據理論的集成故障診斷模型，能夠顯著提高軸承故障診斷的精確性。

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Fault Diagnosis of Bearings Based on Multi-class SVM and D-S Evidence Theory

Mei Jianmin1,2, Zhao Huimin1, Xiao Yunkui1& Zhou Bin2

1.DepartmentofAutomobileEngineering,MilitaryTransportationUniversity,Tianjin300161;2.SchoolofMechanicalEngineering,TianjinUniversity,Tianjin300072

In view of the problem that the classification results of hard decision output of support vector machine (SVM) lack of quantitative evaluation, an improved modeling method for the posterior probability of multi-class SVM is proposed. Through the introduction of D-S evidence theory, the basic probability assignment (BPA) of multi-class SVM under the recognition frame of evidence theory is obtained to enable the samples have both qualitative explanation and quantitative evaluation. And then the multi-source information is delivered to SVM to conduct the evidence fusion of several SVM classification outputs for improving diagnostic accuracy. Finally the method is applied to the fault diagnosis of bearings with a result showing that the method proposed can correctly classify the samples being classified wrongly using single-source information, reduce the overall error of recognition frame, and enhance the correctness of fault diagnosis remarkably.

fault diagnosis; SVM; posterior probability; D-S evidence theory; information fusion

原稿收到日期為2012年8月17日，修改稿收到日期為2013年8月8日。