數(shù)感，不僅僅是“感覺”

【摘要】數(shù)感是一種基本的數(shù)學素養(yǎng)。它不僅僅是人對數(shù)字的一種感覺，還包含著人對數(shù)與數(shù)之間關(guān)聯(lián)的意識以及能動而靈活地運用數(shù)學知識解決問題的能力。讓學生目中有“數(shù)”，理解數(shù)與數(shù)量的意義;讓學生心中有“數(shù)”，學會數(shù)學地思考現(xiàn)實問題;讓學生用中有“數(shù)”，在靈活的運算中豐富認知經(jīng)驗，是培養(yǎng)小學生數(shù)感的有效方法與路徑。

【關(guān)鍵詞】數(shù)感;數(shù)學素養(yǎng);理解;思考;運算

【中圖分類號】G623.5 【文獻標識碼】A 【文章編號】1005-6009（2015）25-0052-02

【作者簡介】劉瑋，江蘇省無錫市立人小學（江蘇無錫，214161）校長，高級教師，江蘇省數(shù)學特級教師，江蘇省人民政府教育督導團專家組成員。

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱“新課標”）將數(shù)感列為核心概念，并強調(diào)“在數(shù)學課程中，應當注重發(fā)展學生的數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想”。但在小學數(shù)學教學中，經(jīng)常會聽到一線教師問：“什么是數(shù)感？怎么培養(yǎng)學生的數(shù)感？”由此可以看出，課程改革以來，一直作為數(shù)學核心概念的數(shù)感并沒有真正地落實到教學實踐中。我們亟待厘清數(shù)感的真實意蘊及其內(nèi)涵，并在此基礎(chǔ)上找尋科學而恰當?shù)嘏囵B(yǎng)學生數(shù)感的路徑與方法。

問題1：數(shù)感僅僅是一種感覺嗎？

回顧我國一些學者或數(shù)學工作者對數(shù)感的認識，大體有如下幾種傾向性的理解：一是窄化的理解，他們認為“數(shù)感就是數(shù)字感”;二是泛化的理解，其代表觀點是“數(shù)感是學生對數(shù)學的一種敏感性的理解”;三是淺表化的理解，持此觀點的人認為“數(shù)感是學生對數(shù)學的感覺、感情與感悟”。窄化的數(shù)感觀把數(shù)感局限于“人腦對于數(shù)字或數(shù)字運算的直覺”;泛化的數(shù)感觀無原則地放大了數(shù)感的意蘊與內(nèi)涵;淺表化的數(shù)感觀則割裂了人們對于數(shù)感的感性認識與理性認識之間的聯(lián)系。關(guān)于數(shù)感的意蘊，徐文彬、喻平曾在《“數(shù)感”及其形成與發(fā)展》一文中指出：“數(shù)感是對數(shù)字關(guān)系和數(shù)字模式的意識，以及運用這種意識靈活地解決數(shù)字問題的能力。”

筆者認為，數(shù)感是一種基本的數(shù)學素養(yǎng)，是作為個體的人對數(shù)字或數(shù)字運算之間關(guān)聯(lián)的積極意識以及能動、靈活而快速地運用數(shù)字及數(shù)學知識解決問題的能力。數(shù)感不僅含有感知的過程，還包孕著思維的過程。其外在表征為自主、自覺和自動地親近數(shù)、理解數(shù)，并運用數(shù)的意義和運算方法去認識、解釋現(xiàn)實世界。

問題2：培養(yǎng)學生的數(shù)感，路在何方？

盡管新課標已經(jīng)明確指出，數(shù)感主要包括三個方面的內(nèi)容，即數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、數(shù)的運算和估計，但對數(shù)感的概念表述比較模糊，小學數(shù)學關(guān)于數(shù)感的教學還存在著嚴重的異化與偏差。數(shù)感被減縮為量感的教學、大量的重復訓練得來的“似曾相識”、局限于數(shù)學本身深度挖掘等現(xiàn)象不同程度地存在著，對小學生數(shù)感的培養(yǎng)尚缺乏明確的方法和有效的路徑。培養(yǎng)小學生的數(shù)感，路在何方？

1.讓學生目中有“數(shù)”，注重數(shù)、數(shù)量與現(xiàn)實生活關(guān)聯(lián)的意義理解。

學生對數(shù)、數(shù)量意義的理解是他們建立數(shù)感的基礎(chǔ)，數(shù)、數(shù)量概念建立的過程其實是數(shù)學模型建立的過程。學生理解數(shù)、數(shù)量的標志是他們能把這些數(shù)的概念與它們所表示的實際意義建立聯(lián)系，即建立數(shù)的概念與現(xiàn)實生活的關(guān)聯(lián)。因此，在帶領(lǐng)學生認識“數(shù)”時，我們應該把數(shù)與現(xiàn)實生活緊密聯(lián)系起來，讓學生在現(xiàn)實生活中理解數(shù)和數(shù)量。如在引導學生認識“0”時，教師可以首先讓學生找一找生活中的“0”。

生1：“0”在牛奶瓶子上。我們的牛奶喝完了，刻度就到了“0”，“0”就表示沒有。

生2：在我的直尺上有“0”。

師：直尺上的“0”表示測量的起點。

生3：老師，電話號碼中有“0”。

生4：我們家墻上掛的溫度計上有“0”。

師（適時出示溫度計）：溫度計上的“0”表示溫度的分界點。

這樣的教學，真實地呈現(xiàn)現(xiàn)實生活中的“數(shù)”，學生感受到了“0”的存在，并在具體事物和現(xiàn)實中理解了“0”的不同意義。

2.讓學生心中有“數(shù)”，建立數(shù)學地思考現(xiàn)實問題的心理鏡像。

學會數(shù)學地思考是數(shù)學教學的目標，也是培養(yǎng)和提高學生的數(shù)感的有效策略。數(shù)學地思考就是要在教學中讓學生形成數(shù)學化和抽象化的數(shù)學觀點，并能運用數(shù)學知識猜想、解釋和解決現(xiàn)實問題。簡言之，就是要讓學生在現(xiàn)實生活中做到心中有“數(shù)”。心中有“數(shù)”主要體現(xiàn)在三個方面：（1）對數(shù)和數(shù)量有傾向性的情感體驗。如認識人民幣編號、汽車號牌、身份證號碼、電話號碼、工資收入與支出、GDP等統(tǒng)計數(shù)字。（2）知道數(shù)、數(shù)量的大小意蘊。如估計學校的操場能容納多少人、1根頭發(fā)有多重、1把黃豆有多少粒等。（3）運用數(shù)據(jù)解釋現(xiàn)實生活。如見到城區(qū)春節(jié)期間道路堵塞時，會留心十分鐘時間內(nèi)的車流量，并分析城區(qū)道路的寬度及道路條數(shù)的合理化設(shè)置;某次考試成績公布時，自然會想到平均分、眾數(shù);等等。

3.讓學生用中有“數(shù)”，在靈活的運算中豐富學生對不同思維方法的認知體驗。

首先，要鼓勵學生用不同的方法。教學“乘加乘減”時，教師先出示“五個魚缸分別有5條、5條、5條、5條、4條金魚”的問題情境，接著讓學生嘗試算出五個魚缸里的金魚的總數(shù)，并讓學生說說自己是用什么方法算出答案的。學生1說就是把五個魚缸里的金魚一個一個加起來，列算式5+5+5+5+4=24（條）;學生2說四個5再加上一個4，列式5×4+4=24（條）;學生3說我們還可以把五個魚缸里的金魚數(shù)都看成5條，然后減去1條，列式為5×5-1=24（條）;學生4的思維又有了新的視角：“老師，我們把第五個魚缸里的4條金魚平均分到前面四個魚缸里，這樣四個魚缸里都有6條金魚，所以是6×4=24（條）。”一個開放的教學情境，讓我們聽到了學生不同的“感覺”。正因為有了這些不同的“感覺”，學生的思維才得以走向遠方。

其次，要允許學生有不同的答案。從信息加工理論來看，數(shù)感是一種對數(shù)及數(shù)量非精確、快速的知覺過程。不同的人在不同的情景中對數(shù)與數(shù)量的認知也是不同的，數(shù)字呈現(xiàn)方式的多樣化促生了不同的數(shù)感。

再次，要注重讓學生進行估算訓練。估算是個體依賴于數(shù)字與數(shù)字運算之間的關(guān)系進行估計與猜測的過程，直覺性與非精確性是估算的特征。無論是具體情境中合適數(shù)字區(qū)間的估算，還是合理性結(jié)果的估算，都是深化學生對數(shù)字模式與數(shù)字關(guān)系理解的有效途徑。

閱讀延伸

霍雨佳、郭成、楊新榮在《國外數(shù)感研究評析及啟示》（《課程·教材·教法》，2015年第2期）一文中，從數(shù)感的概念、數(shù)感的結(jié)構(gòu)、數(shù)感的測評和數(shù)感的培養(yǎng)四個方面對國外數(shù)感的研究現(xiàn)狀進行了總結(jié)和分析，并對國內(nèi)數(shù)感研究中存在的問題提出了建議。

英國學者朱莉婭·安吉萊瑞在《如何培養(yǎng)學生的數(shù)感》（徐文彬譯，北京師范大學出版社，2007年版）一書中指出，數(shù)感主要在三個領(lǐng)域起重要作用：一是數(shù)字知識和數(shù)字的簡便性，即數(shù)字的順序感、多樣化的數(shù)字呈現(xiàn)形式、數(shù)字相對和絕對數(shù)量的判斷和思考數(shù)字的基準參考體系;二是運算知識和運算的簡便性，即理解運算結(jié)果、意識到所應用的規(guī)則和運算之間的關(guān)系;三是把數(shù)字、運算的知識及其簡便性應用到需要用數(shù)字進行推理的問題中，即理解問題情境和合適的解題策略之間的關(guān)系、意識到存在多樣化的數(shù)字呈現(xiàn)方式、應用有效的數(shù)字表征形式和方法的傾向及檢驗數(shù)據(jù)結(jié)果的傾向。

郭木生在《小學生數(shù)感培養(yǎng)的實踐研究》（《教育導刊》，2014年第9期）一文中認為，數(shù)感形成有賴于學生充分的感知和體驗，數(shù)概念的意義建構(gòu)能促進學生數(shù)感的發(fā)展，創(chuàng)設(shè)動化問題情境是學生數(shù)感形成的有效手段，經(jīng)歷試誤到頓悟的過程是形成數(shù)感的有效途徑，發(fā)展學生的估算能力是培養(yǎng)數(shù)感的良策。