兒童視域下數形結合的斷層與橋接

【摘要】“數形結合”是一種極富數學特點的信息轉換方式，這種轉換不僅有助于多樣化地表現數學的學科特質，也有利于兒童充分調動左右腦的思維，使個體左右腦協調發展?？梢詮膬和男睦硖攸c和認知能力這兩個方面入手，分析兒童在“數形結合”過程中遇到的斷層以及跨越斷層實現橋接的策略。

【關鍵詞】數形結合;兒童視域;斷層;橋接

【中圖分類號】G623.5 【文獻標識碼】A 【文章編號】1005-6009（2015）25-0035-02

【作者簡介】郁琳，江蘇省無錫市廣益中心小學（江蘇無錫，214000）教科室主任，一級教師。

從劉徽《九章算術注》中的“析理以辭，解體用圖”，到華羅庚先生的“數缺形時少直覺，形少數時難入微”，無不彰顯著“數形結合”的魅力?！皵怠焙汀靶巍笔菙祵W知識的兩種表現形式，“數”準確而抽象，“形”形象而直觀，兩者各有所長，這就好像人的左腦主要負責理性的邏輯推理，右腦主要負責感性的圖形想象?！皵怠痹凇白蟆保靶巍痹凇坝摇保皵敌谓Y合”是一種極富數學特點的信息轉換方式，這種轉換有助于兒童充分調動左右腦的思維，使個體左右腦協調發展。如果掌握了這種方法，領會了這種思想，就能在“以形助數”或“以數輔形”中游刃有余、左右逢源。但理想與現實之間總有著一定的距離，多年的教學實踐讓我發現，小學生在“數形結合”過程中往往會表現出斷層。

一、斷層：數形結合之傷

1.語言層。

數學語言承載著科學思想和數學思維的表達，具有準確、嚴密、簡明的特點，是一種高度抽象的人工符號系統。在數形轉化的過程中，語言是至關重要的通道。但兒童由于其自身認知能力的局限性，往往不能準確識別數學語言的基本屬性及其暗示的信息，從而造成了數形結合的第一個斷層。

2.映射層。

數形結合的實質是代數對象與幾何對象之間的一種映射，通過這種映射實現抽象概念與具體形象的聯系和轉化。因此，無論是由“形”觀察出“數”，還是由“數”構造出“形”，這中間的“觀察”和“構造”都要經過嚴格的邏輯推理，才能實現一一對應的映射。一旦出現構圖不準確、不完整或數形之間不等價（即一一對應）等情況，映射層就會崩塌斷裂，從而造成錯覺性的解題失誤或片面性的疏漏。

3.干擾層。

在人的實際思維活動中，形象思維和抽象思維是交織、混合在一起的。如果“數”和“形”無法實現合理的溝通、轉化，這兩種思維就會相互干擾，形成數形結合的第三個斷層。

二、左右逢源：數形結合的橋接之路

（一）溝通——言意共生，開啟數形結合的認知通道

要實現數與形的橋接，首先要實現彼此之間的溝通，這就需要正視數形轉化過程中兒童的認知局限，開啟語言通道和映射通道，實現語言和思維的共生以及“數”與“形”的意義共生。

1.語言通道。

學生只有在理解了數學語言之后，才能靈活地對它們進行各種等價敘述和正確應用，從而跨越數形結合的語言斷層。因此，在教學中，要加強學生對數學的三種語言（即文字、符號和圖形語言）的理解訓練。文字語言需仔細推敲，明確關鍵詞、句之間的相互依存和制約關系。例如：“長和寬增加4米”與“長或寬增加4米”這兩句話僅一字之差，所表達的意思和邏輯關系就完全不同。符號語言概括性、抽象性較強，應從辨析、解釋、抓特征等方面入手，促進學生的理解。例如：“線段AB”“∠AOB”這些符號語言初次出現在學生面前時，教師應當解釋清楚它們的命名規則和含義。圖形語言直觀，便于觀察與聯想，重點要讓學生捕捉圖形中隱含的語言信息。

2.映射通道。

映射的本質就是“一一對應”，是數形結合中重要的認知通道。要開啟映射通道，就要重視學生對應思想的培養。小學生對應思想的啟蒙從數數就開始了。數數過程的實質就是依次把物體的個數分別同自然數中的1、2、3……相對應，直到最后一個物體。到了中高年級，一一對應的例子無處不在，例如：借助數軸，讓學生體會“數”與直線上的“點”之間的對應;借助線段圖，讓學生體會數量與線段之間的對應……在教學中，應充分利用好這些資源，培養學生的對應思想。

（二）穩固——多元拓展，由點及面生成思維空間

數與形的橋接僅有溝通是不夠的，還需要穩固。在教學中，應多方面拓展，引導學生把握好“數”與“形”的結合點、結合線及結合面，使抽象思維和形象思維能深度融合，生成數形結合的思維空間。

1.點：夯實操作要點。

要實現數與形的橋接，必須要有雄厚的基礎知識和熟練的基本技巧。在教學中，要引導學生多角度地觀察和理解問題，同時運用分析、比較、綜合、歸納、演繹等邏輯思維方法去剖析問題，這些方法就是數與形的“結合點”。在這個過程中，教師應當小步走、穩步走，給予學生適當的指導和幫助，夯實數形結合的基點。例如：為了讓學生理解 × 的算理，可以通過幾個遞進式的問題來對數形結合的操作活動進行分層引導，使學生更好地體會并掌握數形結合的技巧和方法，實現數與形的穩固橋接。

2.線：把握線性梯度。

數形結合思想并不是一種定量的固態思想，它隨著數學知識的逐步加深而表現出一定的遞進性。因此，它的滲透要隨著學生的認知發展由淺入深，教師應對它的挖掘、理解和應用的程度進行長遠的規劃，要體現出其孕育、形成和發展的線性梯度。

低年級學生的認知水平、理解能力有限，適宜“形→數”的直觀思維。高年級學生的知識有了一定的積累，幾何直觀感知能力、邏輯思維能力也有了一定程度的發展。這時，數形結合思想的滲透也應當在深度上有所提升，可以鼓勵學生獨立完成“形→數”的操作活動。同時，也可以引導學生開始嘗試“數→形”的思維活動。

3.面：滲透多重思想。

數形結合思想有著較強的綜合性，在數與形橋接的過程中，體現了轉化、對應、化歸等多種數學思想方法的整合。在教學中，同樣不能忽視數形的結合“面”——多重數學思想的整合與滲透。例如：學習“正比例”時，借助正比例的圖像來滲透初步的函數思想;在推導平行四邊形、三角形等圖形的面積計算公式的過程中，滲透化未知為已知、化繁為簡的轉化思想。

（三）靈動——數形互譯，提升、內化數形結合思想

數與形的橋接之路在力求穩固的同時，還應追求靈動，可以通過反芻、留白、選擇等教學手段，培養學生對數與形進行靈動互譯的能力，提升、內化其數形結合思想。

1.老牛反芻。

數形結合的高層次表現就是在數形之間靈活地進行互譯，其實質就是以“數”化“形”與以“形”變“數”的結合。在教學中，教師不能止于單通道的“數→形”或“數→數”，而要有意識地引導學生像老牛反芻般地進行逆向思考，細細品味，看“形”思“數”，見“數”想“形”，培養學生的數形互譯能力。

2.三分留白。

留白是一種智慧，也是一種境界，它能使學生多一些自我探索的經驗，多一些與他人交流、合作的機會，多一些對思想方法的感悟。在提升學生的數形結合能力時，適時、適度地留白，能引發學生在更廣闊的時空里進行實踐、思考、探究。

3.學會選擇。

數和形既可以結合在一起相輔相成，也可以分別獨立存在。在教學中，教師不能片面強調某一方面，為所有的問題都絞盡腦汁去圖形化或數量化。而應讓學生逐漸形成一種“可依靠但不依賴”數形結合的意識，引導學生根據題目特點，靈活地選擇解決問題的視角和方法。

“數形結合百般好”，我們只有多關注兒童的心理特點和認知能力，多從兒童的視角去審視問題，巧引妙導，實現數與形的溝通、穩固和靈動，才能左右逢源，在數形結合的路上走得更遠！

注：本文獲2014年江蘇省“教海探航”征文競賽二等獎，有刪改。