聚焦錯誤本源，尋找改進(jìn)對策——三年級學(xué)生萬以內(nèi)數(shù)加、減法計(jì)算錯誤成因分析及對策

浙江新昌縣南明小學(xué)（312500） 毛裕浩

萬以內(nèi)數(shù)的加減法是整數(shù)計(jì)算教學(xué)中的核心內(nèi)容，它以20以內(nèi)數(shù)的加法、減法為基礎(chǔ)，尤其是進(jìn)位加法和退位減法，這些加減法計(jì)算的正確率和熟練程度直接影響萬以內(nèi)數(shù)加、減法的正確率和熟練程度，而萬以內(nèi)數(shù)的加減法又是后續(xù)學(xué)習(xí)的小數(shù)加、減法，多位數(shù)乘兩位數(shù)，小數(shù)乘除法等內(nèi)容的基礎(chǔ)，足見這一內(nèi)容的重要性。

一、分析教材學(xué)情，統(tǒng)計(jì)錯誤現(xiàn)象

從計(jì)算的角度思考，萬以內(nèi)數(shù)的加法、減法的算法可以分為三個(gè)步驟：一是相同數(shù)位上的數(shù)字相加減；二是從個(gè)位算起；三是分為兩種情況：加法是哪一位上的數(shù)字相加滿十，就向前一位進(jìn)1，減法是哪一位上的數(shù)字不夠減，就向前一位退一做十，相加后再減。這三個(gè)步驟學(xué)生口頭表達(dá)已非常清晰，但具體運(yùn)用第三個(gè)時(shí)卻是差強(qiáng)人意。

從教材呈現(xiàn)的內(nèi)容分析，萬以內(nèi)數(shù)的加減法可以分為加法和減法兩大塊。加法可以細(xì)分為：A．三位數(shù)加三位數(shù)出現(xiàn)一次進(jìn)位（可以是任何數(shù)位相加滿十）；B．三位數(shù)加三位數(shù)出現(xiàn)兩次進(jìn)位（可以是任意的兩個(gè)數(shù)位相加滿十）；C．三位數(shù)加三位數(shù)出現(xiàn)三次進(jìn)位。減法可以細(xì)分為：a．三位數(shù)減兩位數(shù)或者三位數(shù)，個(gè)位不夠減出現(xiàn)一次退位；b．三位數(shù)減兩位數(shù)或者三位數(shù)，個(gè)位、十位不夠減，出現(xiàn)兩次退位，被減數(shù)中間、末尾都沒有0；c．三位數(shù)減兩位數(shù)或者三位數(shù)，個(gè)位、十位不夠減，出現(xiàn)兩次退位，被減數(shù)中間、末尾都有0；d．三位數(shù)減兩位數(shù)或者三位數(shù)，個(gè)位、十位不夠減，出現(xiàn)兩次退位，被減數(shù)中間有0，末尾沒有0。

根據(jù)這些分類對學(xué)生的計(jì)算易錯題進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下。

加法分類 錯誤率 減法分類 錯誤率A 2．7% a 4．5%B 4．6% b 7．2%C 2．1% c 15．9%d 21．4%

二、分析統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，聚焦錯誤本源

總體分析：根據(jù)以上的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的計(jì)算易錯題總體上歸類為：①減法計(jì)算錯誤率高于加法計(jì)算錯誤率（尤其退位減法比進(jìn)位加法錯誤率要高）。②十位、百位計(jì)算錯誤率要高于個(gè)位計(jì)算錯誤率。③計(jì)算習(xí)慣不好的學(xué)生的錯誤率要高于計(jì)算習(xí)慣好的學(xué)生的錯誤率。如常有學(xué)生忘加進(jìn)上來的1，忘減退位的1。

階段性分析：在加法計(jì)算中，第一階段的一次進(jìn)位學(xué)生不太會出現(xiàn)錯誤，而遇到連續(xù)進(jìn)位后學(xué)生出錯的情況明顯增多，主要是對20以內(nèi)數(shù)的進(jìn)位加法和十幾加1的加法不夠熟練造成的。在減法計(jì)算中，學(xué)生對于第一階段的一次退位容易記住要減掉退位的1，而遇到連續(xù)退位，尤其是“被減數(shù)中間有0的情況，個(gè)位不夠減，向十位退1，十位不能退1，先要向百位退1，再從十位退1”的情況學(xué)生較難理解，尤其是一些學(xué)困生。

三、分析典型易錯題，尋找改進(jìn)對策

學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中經(jīng)常出現(xiàn)錯誤，錯誤并不可怕，它是學(xué)生經(jīng)歷了分析、對比、理解、調(diào)整等學(xué)習(xí)方式后對問題的一種反饋。那么，萬以內(nèi)加減法中的哪些計(jì)算題是學(xué)生難以掌握、容易犯錯的呢？我搜集了大量的學(xué)生作業(yè)，對學(xué)生的錯誤進(jìn)行了調(diào)查、訪談與思考，歸納整理出了以下幾種錯誤類型。

類型一：個(gè)位倒著減

◆典型錯題

◆錯因分析

這兩道計(jì)算題都出錯在個(gè)位。針對這樣的錯誤，我對學(xué)生進(jìn)行了訪談。

【訪談一】

師：你能說說412－269得數(shù)的個(gè)位是怎么算出7的？

生：我是先從個(gè)位算起，個(gè)位的2－9不能減，那我就倒過來變成9－2了。

師：2－9是不能減還是不夠減？

生：我聽同學(xué)說是不能減。

師：9－2 夠減嗎？

生：夠。

師：那2－9夠減嗎？

生：不夠減。

師：2－9不夠減怎么辦？

生：向十位借1再減。

……

【訪談二】

師：你能說說803－320得數(shù)的個(gè)位怎么算出是7的？

生：不好意思！老師，我看錯了，應(yīng)該是3。

……

從學(xué)生的訪談中，我找到了錯誤的原因：

1．學(xué)生在平常的減法計(jì)算中接觸最多的是被減數(shù)比減數(shù)大或者被減數(shù)和減數(shù)相等，也就是夠減的情況，因此碰到被減數(shù)比減數(shù)小即“不夠減”的式子，學(xué)生的第一反應(yīng)是認(rèn)為沒有這樣的減法式子，是“不能減”的，即做不了，“不能減”那就倒回來減，兩種減法的結(jié)果是一樣的，這和加法式子將兩個(gè)加數(shù)交換位置后再加結(jié)果不變是一樣的。

2．萬以內(nèi)數(shù)的減法主要是學(xué)習(xí)“不夠減需要退位”的減法，經(jīng)過大量具體式子的練習(xí)，學(xué)生頭腦中浮現(xiàn)“不夠減”的減法已蓋過了以前所學(xué)“夠減”的減法，受頭腦中“不夠減”的強(qiáng)勢影響，把“夠減的”也當(dāng)成“不夠減”的了。

3．加法交換率的負(fù)遷移。在加法計(jì)算中如2＋9和9＋2的結(jié)果是一樣的，學(xué)生認(rèn)為減法9－2和2－9的結(jié)果也是一樣的。

◆改進(jìn)策略

1．規(guī)范數(shù)學(xué)語言。“不能減”和“不夠減”雖一字之差，但意思差別很大。“不能減”是減法中的兩個(gè)數(shù)字不能參與減法計(jì)算，不存在減法式子，而“不夠減”是被減數(shù)比減數(shù)要小。根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)心理和接受新事物的特點(diǎn)，學(xué)生（尤其是學(xué)困生）對“不夠減”的減法式子外觀上還不能很快接受，覺得很別扭。為此，在教學(xué)中，應(yīng)先從心理上讓學(xué)生盡快接受這樣的減法式子，讓學(xué)生清楚這樣的減法式子屬于“不夠減”，不是“不能減”，在這之前碰到的減法都屬于“夠減”。特別注意的是，在做這樣的減法時(shí)要規(guī)范使用“不夠減”這一數(shù)學(xué)語言。

2．加強(qiáng)對比練習(xí)。個(gè)位倒著減中，錯誤最多的是類似“0－3”這樣的減法，很多學(xué)生看到后都會不假思索直接寫出答案“3”。為此在基本的口算練習(xí)中設(shè)計(jì)一組對比口算題：3－0，0－3，10－3，讓學(xué)生在計(jì)算中比較“3－0，0－3”這兩題的區(qū)別，比較“0－3，10－3”這兩題的關(guān)系。在比較中發(fā)現(xiàn)前兩題的被減數(shù)和減數(shù)交換了位置，結(jié)果是不相等的，這和“3＋0，0＋3”是有區(qū)別的；而后兩題是第一題不夠減了要退位后再減（變成第二題了）的關(guān)系。在多次比較計(jì)算中學(xué)生就能夠明白“夠減”可以直接減，“不夠減”需要退1后再減，從而理解減法計(jì)算的基本算理。

類型二：個(gè)位計(jì)算正確，十位或百位計(jì)算錯誤

◆典型錯題

◆錯因分析

這些錯誤中個(gè)位都計(jì)算正確，而十位或百位都出現(xiàn)計(jì)算錯誤，歸納起來有以下幾種：（1）加法。①個(gè)位數(shù)字相加未滿10，卻向十位進(jìn)1；②十位相加滿10，卻未向百位進(jìn)1。（2）減法。①個(gè)位不夠減向十位借1，沒點(diǎn)退位點(diǎn)，十位忘了退1；②個(gè)位不夠減，向十位借1，標(biāo)有退位點(diǎn)，卻沒有退1。歸結(jié)這些錯誤原因，主要有：①算理不清。相加滿10沒有進(jìn)1，進(jìn)1了卻沒有加上去；不夠減沒有退1，退1了卻沒有減掉。從學(xué)生的豎式計(jì)算看，沒有進(jìn)1標(biāo)記和退位點(diǎn)標(biāo)記的比有此類標(biāo)記的錯誤率更高。②數(shù)字顯性和隱性的影響。個(gè)位上的數(shù)字計(jì)算相對其他數(shù)位是顯性的，可以直接進(jìn)行加減，而其他數(shù)位上的數(shù)字相加減還存在著一些隱性因素，如進(jìn)上來的1，退1后的數(shù)字已經(jīng)不是原來的數(shù)字了，但變化后的數(shù)字沒有直接呈現(xiàn)在學(xué)生眼前，需要學(xué)生有很強(qiáng)的辨別能力，并時(shí)刻注意數(shù)字的變化，為此相對于個(gè)位，其他數(shù)位計(jì)算錯誤較多。

◆改進(jìn)策略

1．注重加減法算法的指導(dǎo)。隨便找一個(gè)學(xué)生讓他說萬以內(nèi)加減法的計(jì)算算理，他會說得很清楚，但會說不一定會應(yīng)用。尤其是相加滿10要向前一位進(jìn)1時(shí)，總是把進(jìn)上來的1漏加；遇到不夠減向前一位退1時(shí)，總是忘了退1。這類現(xiàn)象看似簡單，其實(shí)是學(xué)生不清楚算理。學(xué)生只看到了豎式中顯性的數(shù)字，對顯性的數(shù)字會直接相加減，而隱性的數(shù)字變化卻未能及時(shí)發(fā)現(xiàn)并讓其參與計(jì)算。為此，在豎式計(jì)算的初期要求學(xué)生說出每一步的計(jì)算過程，尤其是遇到相加滿10進(jìn)1和不夠減退1的情況，將這一計(jì)算算理熟練化，以達(dá)到熟練計(jì)算的技能目標(biāo)。如計(jì)算“689＋346”時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生說出“9＋6 等于 15，寫 5 進(jìn) 1，8＋4 等于 12，12＋1 等于 13，寫 3 進(jìn) 1，6＋3 等于9，9＋1等于10，直接寫10（這一步不要再寫0進(jìn)1了，防止出現(xiàn)類似“931＋785＝716，百位相加滿10向千位進(jìn)1的 1沒有寫下來的錯誤”）”。計(jì)算“412－269”時(shí)，要求學(xué)生說出：“2－9不夠減，向十位退1，并在十位的數(shù)字上點(diǎn)上退位點(diǎn)，12－9＝3，0－6 不夠減向百位退 1，在百位數(shù)字上點(diǎn)上退位點(diǎn)，10－6＝4，3－2＝1。”在口算時(shí)也要求學(xué)生把這些計(jì)算步驟說完整。

2．關(guān)注加減法計(jì)算的習(xí)慣。學(xué)生在計(jì)算加法時(shí)，知道相加滿十了，向前一位進(jìn)1的1往往不寫，記在腦子中再計(jì)算；做減法時(shí)需要退1的數(shù)字不做退位標(biāo)記，憑記憶去計(jì)算。從學(xué)生錯誤情況分析，有“進(jìn)1”和退位標(biāo)記的學(xué)生比沒有做標(biāo)記的學(xué)生的錯誤率要低。從刺激學(xué)生注意的角度思考，所做的標(biāo)記能給計(jì)算起到提醒的作用，不做標(biāo)記則要對學(xué)生的注意力有要求，要求能夠把不存在的數(shù)字清晰地存在腦子中并參與運(yùn)算。為此，要求學(xué)生計(jì)算進(jìn)位加法和退位減法時(shí)標(biāo)出“進(jìn)1”和退位標(biāo)記，并使之成為一種做題習(xí)慣。

類型三：同一豎式加減混淆

◆典型錯題

◆錯因分析

錯誤的原因是個(gè)位上的數(shù)字用加法計(jì)算，其他數(shù)位上的數(shù)字用減法計(jì)算，在同一個(gè)豎式中出現(xiàn)了兩種運(yùn)算。若題目中個(gè)位出現(xiàn)6和8，學(xué)生算錯的可能性較大。我結(jié)合學(xué)生的訪談和自己的思考，歸納出以下原因：①學(xué)生的日常生活經(jīng)驗(yàn)影響。中國的傳統(tǒng)習(xí)慣認(rèn)為6和8是代表吉祥的數(shù)字，在商品價(jià)格、車輛牌照、吉日選擇等方面盡可能用上6和8這兩個(gè)數(shù)，這樣學(xué)生在生活中接觸較多的也是6和8這兩個(gè)數(shù)。②計(jì)算出現(xiàn)的順序影響。在計(jì)算教學(xué)的教材編排中，首先出現(xiàn)的是加法，如先有6＋8＝14，再有相關(guān)的減法出現(xiàn)，學(xué)生對第一次出現(xiàn)的事物接受和存儲迅速且記憶長久。③隱藏?cái)?shù)字未及時(shí)顯現(xiàn)的影響。個(gè)位6＋8是顯性的加法，直接計(jì)算出和即可，而個(gè)位的6－8，被減數(shù)隱藏著變化情況16，其實(shí)是16－8，相比較直接計(jì)算6＋8，難度加大了。

◆改進(jìn)策略

1．積極驗(yàn)算核對。驗(yàn)算是檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果正確與否的一種有效方式，前提是參與計(jì)算的數(shù)字和符號要抄正確。在平時(shí)的驗(yàn)算中可以根據(jù)需要寫出完整的驗(yàn)算過程，一般情況下，加法可以用減法驗(yàn)算，減法可以用加法驗(yàn)算，也可以驗(yàn)算結(jié)果的個(gè)位，這是一種快速檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果正確與否的方式，通過驗(yàn)算個(gè)位正確與否來判定整個(gè)計(jì)算是否正確，從而去發(fā)現(xiàn)、糾正原先的計(jì)算錯誤。

2．強(qiáng)化對比練習(xí)。如同時(shí)出現(xiàn)546－168和546＋168這樣兩道題，先讓學(xué)生觀察相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，在計(jì)算的不同中真正體會到同樣的數(shù)字用不同的運(yùn)算得出的結(jié)果是不同的，而在同一個(gè)豎式中一種運(yùn)算一直到底，不會加減摻雜其中。讓學(xué)生也編寫一些類似的計(jì)算題進(jìn)行練習(xí)，在強(qiáng)化對比中進(jìn)一步體會計(jì)算的不同。

心理學(xué)家桑代克認(rèn)為：“嘗試與錯誤是學(xué)習(xí)的基本形式。”的確，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生犯錯是一種學(xué)習(xí)的積累與挑戰(zhàn)，教師要允許學(xué)生犯錯，錯誤是一種很好的教學(xué)資源，但關(guān)鍵是如何引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到自己的錯誤，找到自己數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上的紕漏，并能吸取教訓(xùn)使自己下次不再犯錯或少犯錯誤。計(jì)算教學(xué)的實(shí)踐與思考還有很多路要走，在實(shí)踐中還會面對學(xué)生各種各樣的錯誤，但錯誤有錯誤的精彩與價(jià)值，讓我們聚焦錯誤的本源，尋找有效的改進(jìn)策略。