中學概率統計教學中的古典概型問題

葉積有

（政和縣鎮前中學）

隨著概率統計知識越來越受重視，對學校教育工作者的要求也越來越大。因此，對概率統計的教學提出了更高的要求，需要教育工作者具有扎實的專業知識，能夠自主處理概率統計教學中存在的古典概型問題，并且提出更好的概率統計教學的策略與方案。

一、古典概型問題

古典概型是高中數學（必修3）中的內容。在古典概型的學習中，學生經常會出現理解性的偏差。比如說：先后擲兩枚硬幣，可能出現“兩個正面”“兩個反面”“一正一反”三種結果，問：“這個命題是否正確？”很多學生都認為這個命題錯誤，聽其原因是先后擲兩枚硬幣，還有一種結果是“一反一正”，總共有四種結果。通過學生的回答我們可以看到在學生尋找基本事件的時候存在一個誤區，認為“一正一反”和“一反一正”是以順序來做區別。認真思考一下，當我們同時擲兩枚硬幣時，出現的結果也是一樣的，“兩個正面”，“兩個反面”“一正一反”“一反一正”四種結果。由此可以看出不能以順序來做區分。其實這個命題是正確的。基本事件是隨機試驗的每一個可能的結果。如果作為一個基本事件空間，那么出現“兩個正面”“兩個反面”“一正一反”三種結果是正確的。如果這個題目做一個修改：先后擲兩枚硬幣，可能出現“兩個正面”“兩個反面”“一正一反”三種等可能的結果。那么這個命題就一定是錯誤的，因為出現“兩個正面”“兩個反面”“一正一反”這三種的可能性是不同的，出現“兩個正面”概率為，出現“兩個反面”的概率為，但是出現“一正一反”的概率為，明顯不是等可能的。出現基本事件空間與古典概型的定義混淆性錯誤的原因是學生對古典概型的定義和基本事件空間的理解不透徹。隨機試驗的每一個可能的結果，稱為基本事件，它的特點是任何兩個基本事件互斥，任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和。基本事件又稱為樣本點，基本事件的全體稱作樣本空間，通常用字母Ω 表示。在判斷是否為古典概型時，則要注意其基本事件必須是有限個，并且要求每個基本事件是等可能的。

有的學生對于古典概型的概率計算也存在著理解性偏差，比如說：學生在計算古典概型的概率時，會將基本事件空間混淆，用不在同一基本事件空間中的基本事件總數和事件A所含的基本事件數進行計算。

根據這個現象我們來理解一下古典概型概率的計算公式：事件A的概率P（A）=，其中n是基本事件總數，m是A包含的基本事件的個數。

例.我從1，2，3，…，10 這10 個數字中隨機取出一個數，求取到的這個數為偶數的概率。

解1.設事件A為取到這個數為偶數，所以隨機抽取一個數的基本事件都是等可能的，那么出現的基本事件空間是1，2，…，10，即總數n=10，又因為事件A為取到這個數為偶數，則滿足要求的基本事件有m=5 個，分別是2，4，6，8，10。故

解2.把隨機抽取一個數的所有等可能性結果取為：事件A為取到這個數為偶數；事件B為取到這個數為奇數。則此時m=1，n=2，故P（A）=

通過這兩種解法我們可以知道對同一個古典概型問題，可以選擇不同的基本事件空間，只要滿足古典概型的特點每個基本事件都是等可能的，結果都是一樣的。

二、排列組合問題

為什么要提到排列組合？要計算古典概型的概率，我們很多時候要通過排列組合來計算它的基本事件總數和事件A所含的基本事件數，因此我們必須來討論如何理解排列組合問題，首先我們討論如何理解分類加法計數原理和分步乘法計數原理。

1.分類加法計數原理

如果完成一件事有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類辦法中有mn種不同的方法，每種方法都能完成這件事，那么完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法。

2.分步乘法計數原理

如果完成一件事需要分成n個步驟，第一步有m1種不同的方法，第二步有m2種不同的方法，……，第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1×m2×…×mn種不同的方法。

根據分類加法計數原理和分步乘法計數原理，可以看出兩個數學道理，其一：從不影響點入手；其二：看事件是否完成。

通過以下例子來說明這兩個數學道理：

我們知道分類加法計數原理和分步乘法計數原理中，如果分別有3 個地點A、B、C，我要從A地到C達地，則必須先經過B地，此時，A地到B地有兩條路線，B地到C地有三條路線，那么這個時候我們可以發現，A地到B地的路線是不會影響B地到C地的路線，這就是說當我們在選擇判斷使用分類加法計數原理和分步乘法計數原理時，可以依據前后不會影響的點入手。

例.有4 封信，扔到3 個郵筒中有多種方法？

依據從不影響點入手來考慮這個例題，當我從信來考慮時，我的這一封信扔到哪個郵筒是不會影響到我的下一封信扔到哪個郵筒。換個角度思考，如果當我從郵筒來考慮時，我的這一個郵筒放了幾封信是會影響到我的下一個郵筒放了幾封信的。那么此時，我們要解決這個題目，應該從不影響的點入手會更加容易。

通過不影響的數學道理，我們已經找到了很好的入手點，那么要解決這個問題還需要看該事件是否完成。

例如，現在分別有3 個地點A、B、C，一個人要從A地到達B地，再到達C地，此時，A地到B地有兩條路線，B地到C地有三條路線。當這個人從A地到達B地時，可以知道這個事件還沒有完成，因此，通過這個例子能夠得到分類加法計數原理和分步乘法計數原理的本質區別，以事件的完成與否去理解分類加法計數原理和分步乘法計數原理。

如果這事件完成，則選擇分類加法計數原理，將所有完成事件的次數加起來；

如果這事件并未完成，則選擇分步乘法計數原理，將每一步的次數乘起來。

依據分類加法計數原理和分步乘法計數原理接著解決例題中的問題，通過不影響點入手，我們已經知道，此題需要從信的角度去考慮，總共有4 封信，第一封信扔到郵筒有3 種可能性（第一封信扔到郵筒可以知道這個事件并未完成），第二封信扔到郵筒有3種可能性（第二封信扔到郵筒可以知道這個事件并未完成），第三封信扔到郵筒有3 種可能性（第三封信扔到郵筒可以知道這個事件并未完成），第四封信扔到郵筒有3 種可能性，只有到最后一封信扔到郵筒這個事件才算完成，那么此時我們選擇分步乘法計數原理，將每一封信的所有可能性乘起來，即3×3×3×3=81。

排列：從n個不同元素中取出m（m≤n）個不同的元素，按照一定的順序排成一列叫作從n個不同元素中取出m個元素的一個排列。用符號Amn表示排列的個數時，有

根據排列的定義，一個排列包含兩個方面的意義：一是“取出元素”，二是“按照一定順序排列”。因此，兩個排列相同，當且僅當這兩個排列的元素及其排列順序完全相同。

組合：從n個不同的元素中取出m（m≤n）個不同的元素，不論次序地構成一組，稱為一個組合。我們用符號Cmn表示所有不同的組合個數，稱Cmn為從n個不同的元素中取m個元素的組合數。

抽取元素時不考慮順序，像這樣的問題稱為組合問題。

排列與組合的相同點都是從n個不同元素中取m個元素，元素無重復。不同點是組合與順序無關，排列與順序有關。兩個組合相同，當且僅當這兩個組合的元素完全相同。

總之，了解并處理學生在學習古典概型中出現的誤區，幫助學生理清基本事件不一定是要等可能的，同時在使用古典概型的概率計算公式時，前提必須在同一個基本事件空間中。對于理解排列組合問題，通過兩個方面從不影響點入手及看事件是否完成來判斷選擇分類加法計數原理和分步乘法計數原理。依據求同求異的思想，排列與組合都有組合的思想，排列中是先組合后全排列，從而得出解排列組合題的三個步驟：分類，先計算數目多的或有條件限制的，先考慮如何取再考慮如何排。

［1］王亮．中學數學中概率統計教學問題研究［D］.遼寧師范大學，2007（06）.

［2］魏宗舒．概率論與數理統計教程［M］.北京：高等教育出版社，1983-10.

［3］李永哲．高中數學基礎知識一本全［M］.延吉：延邊大學出版社，2006.