對一道三角形面積最值題的解法探討

樊啟滿

（江西省修水縣職業高中）

原題：在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，其外接圓半徑為6，且a+c=16.求△ABC面積的最大值.

此題是甘志國老師率先提出，他在《數學通訊》論壇里發了他的解法，引起了不小的爭論。解法如下：由正弦定理及題設可得BA+BC=16，所以點B在以A，C為焦點、長軸長為16 的橢圓上，當點B從短軸的端點向長軸的端點移動時，△ABC的面積S在減小.不妨設點B在橢圓弧上運動且∠BAC是銳角，得S隨∠BAC的減小而減小.

事實上底邊AC的長是隨著點B的位置不同而變化的，而設AC的長不變，解出的結果似有不妥.

我的解法：

由于圓內接三角形的對稱性，當AB取一有定義時的值時，對應著四種三角形（如圖），解此題只需考慮這種情況：即固定A點，A，B，C三點在圓上按順時針方向排列.它又分為兩種情況：點B在AO連線下方與點B在AO連線上方.

當點B在AO連線上及其下方時，面積的最小值為0，最大值為，此種情況不再贅述.下面只考慮另一種點B在AO連線上及其上方的情況：

當AB=4 時，角B最小，角A為直角；當時，角B為直角；當AB=8 時，角B最大，為鈍角.

設AB=8-m，則m的范圍為（-4≤m≤4），所以BC=8+m，三角形ABC的面積為：

顯然這個函數是個偶函數，只需證明m∈［-4，0］上的單調性即可.

所以f（m）在上一定是增函數，函數值最大為28.

由于y1=（8-m）（8+m）在上是增函數，而y2=sinB在上是減函數，

考慮到g（m）=sinB，當時是減函數，且值域為時也是減函數，且值域為且恒有時

∵F（′m）時，F′（m）≥0，（fm）在m∈上是增函數，結合第一種情況，△ABC面積的最大值為