高職高考數列通項公式常見類型及解法

鐘偉明

（廣東省深圳市第二職業技術學校）

數列是中職數學的重要內容，在數學高職高考中具有舉足輕重的地位。對于求數列問題，最基本的就是求數列的通項公式，而求數列的通項公式往往是解數列題的突破口和關鍵點。因此，在解題時，要根據題目所給的條件的不同，靈活采用不同的方法求數列的通項公式，本文根據近年來的高職高考數列通項的題型，總結出以下幾種常用的解法。

一、用“公式法”求通項公式

（1）已知數列是等差（或等比）數列求數列通項。此時，只需要求出首項和公差（或公比）即可以直接利用等差（或等比）數列的通項公式求解。

（2）已知數列的前n項和求數列通項。此時，利用an與Sn的關系式求通項公式。在用an與Sn的關系式求數列式進行變換，轉化為等差或等比數列問題求解，具體的類型和解法如下：

類型1：已知某項（多為首項）且an+1=an+f（n）的遞推關系式；

只要f（n）能進行求和時，則宜采用“累加法”求數列的通項公式。由累加法可求得：an=a1+f（1）+f（2）+f（3）+…f（n-1）.

例3.已知數列an｛ ｝滿足a1=1，an=an-1+n（n≥2），求數列an｛ ｝的通項公式。

解：∵an-an-1=n（n≥2）

∴a2-a1=2，a3-a2=3，a4-a3=4，…，an-an-1=n.

將以上式子累加得到：an-a1=2+3+4+…+n

∵a1=1

∴an=1+2+3+4+…+n=通項公式時，要注意分n=1 與n≥2 兩種情況討論；即驗證若S1滿足Sn-Sn-1，則用統一形式表達an，若S1滿足Sn-Sn-1則用分段函數的形式表示。

例1.已知數列an｛ ｝的前n項和為Sn，設an是Sn與2 的等差中項，數列bn｛ ｝中b1=1，點P（bn，bn+1）在直線y=x+2 上，求an｛｝，bn｛ ｝的通項公式。

解：當n=1 時∵a1=S1，∴a1=2a1-2 即a1=2

依題意可知Sn+2=2an即Sn=2an-2

當n＞1 時an=Sn-Sn-1=（2an-2）-（2an-1-2）=2an-2an-1

類型2：已知某項（多為首項）且an+1=an·f（n）的遞推關系式；

只要f（n）能進行求積時，則宜采用“累積法”求數列的通項公式。此時由累積法可求得：a1=a1·f（1）·f（2）·f（3）……f（n-1）.

∴an=2an-1，即將以上式子累積得到

所以數列an｛ ｝是以2 為首項，且以2 為公比的等比數列，通項

∵a1=1公式為an=2n；

因為數列bn｛ ｝中b1=1，點P（bn，bn+1）在直線y=x+2 上

所以bn+1=bn+2，即bn+1-bn=2

所以數列bn｛ ｝是以1 為首項，以2 為公差的等差數列，其通項公式為bn=1+2（n-1），即bn=2n-1

二、用“觀察法”求通項公式

類型3：已知某項（多為首項）且an+1=pan+q（p，q為常數）的遞推關系式；

該類型通常用兩種解法：

解法一：用代定系數法轉化為我們熟悉的數列進行求解，基本解題思路是，設an+1+t=p（an+t），與已知式相比較可求出，得

已知數列前幾項求數列通項公式題型，只需要對所給項觀察分析，尋找項與項數之間的規律，寫出數列的通項即可。

例2.數列9，99，999，9999，…的通項公式an=_____

解：通過觀察發現，9=10-1；99=102-1；999=103-1；9999=104-1

所以該數列的通項公式an=10n-1到｝是公比為p的等比數列。

解法二：由an+1=pan+q①an+2=pan+1+q②，再由②-①得an+2-an+1=p（an+1-an），從而得到｛an+1-an｝是公比為p的等比數列。

三、用數列遞推關系式求數列通項公式

對于給定數列遞推關系式求通項公式是高職高考的熱點之一，一般的出題形式為先給定數列的初始值及數列通項的遞推關系式，要求求出數列的通項公式。具體解法是要先對數列遞推關系

例5.若數列an｛ ｝滿足a1=1 且an+1=3an+2，求數列an｛ ｝的通項公式。

解法一：設an+1+t=3（an+t），移項得到an+1=3（an+t）-t=3an+2t，

∴2t=2，即t=1，此時

從而數列｛an+ 1 ｝是以2 為首項，以3 為公比的等比數列，所以an+1=2·3n-1即an=2·3n-1-1.

解法二：由an+1=3an+2①，an+2=3an+1+1②，再由②-①得an+2-an+1=3（an+1-an），從而得到｛an+1-an｝是公比為3 的等比數列。

再由累加法得到：

類型5：已知某項（多為首項）且an+1=pan+f（n）（p為常數）的遞推關系式；

這種類型的解法宜先采用將an+1=pan+f（n）兩邊同時除以pn+1，轉化成類型1，再用累加法可以求出通項公式，特別是當f（n）是以p為底的指數函數形式時，兩邊同時除以pn+1，可直轉化為等差數列。

例7.已知數列an｛｝滿足a1=1，且an+1=2an+2n（n∈N*）（2009 年廣東高考題）

解：（1）將an+1=2an+2n兩邊同時除以2n+1，得到：

所以數列an｛ ｝通項公式為an=2n-1n.

總之，求數列的通項公式是歷年高職高考考查的熱點，其考查的目的在于測試學生靈活運用數列知識的能力，和把陌生問題轉化為熟悉問題的數學思想方法。雖然對于參加高職高考的學生來說難度較大，但是只要學生的等差、等比兩類最基本數列的基礎知識過關，對數列求通項的各種題型訓練到位，認真分析題意，仔細審題，選取適當的解法，規范解題步驟，那么求數列通項公式的考點將會迎刃而解。

［1］李東月.例析高考遞推數列通項公式的常見類型及其求法.數學教學與研究［J］，2011（04）.

［2］梁桂友.遞推數列通項公式的解題技巧與方法［J］.數學學習與研究，2014（01）.

［3］張樹林.關于數列通項公式推導類問題的幾點思考［J］.科技信息，2013（11）.