中學地理教學中數學思想方法的運用

周小橋

（四川省廣安第二中學校）

數學思想方法的種類和分類方式，各家說法不一。本文主要選取了中學數學中常用的五種一般數學思想方法，分別探究了這五種不同數學思想方法在高中地理教學中的應用。符號是描述數學研究對象的語言，集合是數學研究對象的形式表述，數形結合是數學兩種基本研究對象之間的轉換，分類體現了具體研究對象之間的異同與關系，邏輯推理是數學論證的基本方法。

一、符號思想

符號思想的實質是通過建立某種對應，實現從感性到理性的轉換。符號的抽象程度和創造水平的高低差異直觀影響學科的發展方向與速度；表達符號的不同也是對一門學科水平的反映。在地理學科中，我們可以借鑒數學學科的基本語言和符號思想，主要表現在以下幾個方面：

首先，我們可以直接使用這些數學語言和符號，使地理學科的“理”性表達得更為簡潔、科學，例如：正午太陽高度的公式：H=90°。滿足了地理學，從定性的分析到定量的計算，公式的總結性表述，可以揭示地理事物的普遍規律，讓學生可以更精確、概括性地認識地理現象。

其次，也可以借鑒數學語言和符號思想，發揚地理學科語言和符號，從而確立地理學科的獨特地位。地理符號主要運用于地圖教學。地圖符號的建立需要嚴格的定義，要注重符號的科學性和合理性。地圖上的符號大致可分為顏色符號、事物標志符號、文字符號和線柱符號。這些各種不同的符號，就是我們地理學科的形式化語言。在教學中，教師應該廣泛地使用學科語言，給學生以潛移默化的熏陶，增強其對地理學科的歸屬感。

最后，素質教育的教學目標有三個維度，在知識的傳遞過程中，主要是對學生能力的培養和價值觀的建立，這些目標可以通過地理學科符號來實現。地理符號除了教學中的狹義地圖符號外，更包括人類長期以來的活動作用于環境的地理印記。在漫長的歷史進程中，我們的祖先以其頑強的生命力和堅韌的毅力，不斷同周圍的地理環境相適應，并且改造地理環境，留下了人類活動的偉大印記，如天壇、長城、故宮、泰山等。這些改造自然的活動，不僅對地理環境進行了和諧的改造，而且將中華民族的文化精神和文化意識深深地浸染于其作用的地理印記之中，也就創造了具有豐富民族文化精神的地理符號。在地理教學中，對這些地理符號進行講解時，一方面要讓學生明白它們作為一些地理分界線或是特殊城市地理布局的知識含義；另一方面要讓學生明白，地理符號是作為一種民族文化的載體，成為一種文化象征和文化精神。

綜上可見地理符號在地理教學中的重要意義，因而在實際教學中，教師需要滲透地理學科的符號思想，讓學生可以通過一種符號，認識一門學科，學會使用地理學科語言，并在這一過程中培養學生的綜合素質。

二、集合論思想方法

人類關于集合的認識，一直都有一個很樸素的觀念：把某類對象按照一定標準放在一起作為討論范圍。集合論思想方法就是指，運用集合論的語言和符號描述研究對象以及對象之間的關系，然后分析并解決問題的方法。集合論作為數學語言十分簡單，數學概念都可以看做是集合，可以用集合論的語言來表述數學概念。

在地理教學中，集合論思想的應用對地理學科整體性把握更具優勢；集合論的語言也可對地理概念進行簡化；對于地理試題的解題方面，集合論的思想也將起到指導作用。

1.從集合論的高度概括中學地理內容，能更好地從整體上把握中學地理的研究對象

地理學起到的作用主要就是溝通自然科學和社會科學的橋梁作用，高中地理中必修一主要是自然地理學，必修二為人文地理學；自然地理中主要是根據地球的圈層結構，對課本進行編排；人文地理中主要是研究人口、人類的聚居地（城市）、人類生產生活（工業、農業）、對人類活動最重要的影響因素（交通）等。通過集合可以很好地表示高中地理的研究對象，讓學生從整體上把握高中地理知識。

例如：

2.用集合論的語言表述有關概念更為簡潔

地理中的專業概念較為繁多，很多概念在內涵上存在包含與被包含的關系，也有需要按照一定準則進行分類劃分，借助集合的思想來表達地理中的概念，使抽象繁瑣的語言表達顯得更直觀、形象，也更具有科學性。

例如：天體系統層次，用語言表達為地球所處的天體系統，按從低到高的級別，依次為地月系、太陽系、銀河星和總星系。看起來很繁瑣，借助集合知識表述為：

｛地球｝?｛地月系｝?｛太陽系｝?｛銀河系｝?｛總星系｝

3.集合論的思想方法對解題的指導作用

運用集合論的思想對地理試題中的很多數學問題有著指導作用，以集合為工具，可將地理中涉及的幾何、代數、三角等綜合問題用幾何形式表示出來，并提出解題思路。

案例一：地理概念

（1）從屬關系：如，能源、一次能源、常規能源；土地資源、土壤資源、耕地資源。

（2）包含并列關系：如，降水、降雨、降雪；鋒、暖鋒、冷鋒、準靜止鋒；淡水與各種陸地淡水資源。

（3）交叉關系：如，可再生能源、新能源、二次能源；自然資源、礦產資源、能源。

（4）排斥關系的概念：如，可再生資源和不可再生資源；巖漿巖、沉積巖、變質巖。

三、數形結合思想方法

地理學科最初的含義就是地圖學，因此地理學科對圖形的使用是普遍存在的，很多地理事物、地理現象和地理規律都是可以通過“數”與“形”歸納其本質屬性的；其次，地理學科內容具有系統性，知識具有較強的邏輯性。在中學地理教學中應用數形結合的思想方法，可以培養學生的空間思維能力，結合地理學科特色，可以發展地理空間思維能力；數形結合思想方法的應用也可以使學生的形象思維與抽象思維能力得到提高，多種思維的互相促進，對培養學生靈活運用所掌握知識的能力有很大提高，對學生的綜合能力有較大提高，還能為培養學生的創新能力奠定堅實的基礎。

數形結合思想方法在地理學中應用的主要內容有：

（1）通過給出的圖表，建立適當的代數模型；例如高中地理必修一中給出了太陽黑子數隨時間的變化，通過圖可以得出太陽黑子與時間的變化規律，發現太陽黑子活動的周期性。

（2）運用幾何模型解答有關代數問題；例如時區和區時的計算，通過圖形可以直觀地看出世界不同地區所在的時區。

（3）與函數有關的幾何、代數綜合性問題；例如太陽高度角的計算，畫出太陽直射點所在位置，結合幾何與代數知識，可以很便捷地得出結果。

（4）以圖像形式呈現信息的應用性問題；例如自然界的水循環示意圖。

案例二：關于地球自轉的線速度，課本上只是說明了：地球自轉的線速度，因緯度的不同而有差異，那么學生該如何理解這種差異，即地球自轉的線速度隨緯度變化規律。

解：如圖所示，設地球赤道半徑為R，緯度為δ 處自轉軌跡半徑為r。

∵線速度（v）

又∵r=R·cosδ

∴vδ=v赤道·cosδ

δ∈［0°，90］

° ，vδ隨δ 的增大而減小，因而地球自轉的線速度隨緯度的增大而減小；且當δ=60°時，也就是緯度為60°時，其線速度為赤道地區的一半。

四、分類討論思想方法

分類討論是指當問題中所給出的對象不能進行綜合研究時，需要研究問題的對象按某個標準進行分類，然后每一類分別討論，最后根據各類結果進行綜合得到整個問題的答案，這種先進行分類再討論，把復雜問題“分而治之，逐個擊破”的解決問題的思想方法就是分類討論思想。這種思想體現了化整為零、逐個擊破，再積零為整的數學思想，反映了研究對象之間的內在規律，可以幫助學生總結歸納知識，提高學生思維的條理性和概括性。分類討論時需要注意的是：每次分類時必須按照統一標準；分類討論中的每一個部分要相互獨立；分類討論要注意層次，逐級進行分類，做到不重復、不遺漏。

地理作為綜合性學科，地理事物導致的地理現象成因復雜，一個地理現象往往是多方面因素綜合影響形成的結果，在分析地理現象時往往需要考慮多方面的因素，這會給我們的思維增加難度，因而可以通過分類討論的思想，把復雜問題分化成多個簡單的小問題。

引起分類討論的因素較多，但常見的類型主要有以下幾種：

（1）根據概念、公式、定理進行分類討論；

（2）根據計算的要求進行分類討論；

（3）根據地圖的形狀或位置變化進行分類討論；

（4）當條件或結論開放時進行分類討論；

（5）當問題中條件較少，需通過分類來補充條件時進行分類討論。

例如，在講解三圈環流：

第一步：假設下墊面性質均一，地球不自轉、不公轉；地球的大氣環流形式為單圈環流。

第二步：去掉地球不自轉的假設；形成了基本的三圈環流模型。

第三步：去掉地球不公轉的假設；推導出了氣壓帶和風帶的季節移動。

第四步：去掉地球下墊面性質均一的條件；出現了氣壓中心。

案例三：“地球表面有適宜生命過程發生和發展的溫度條件。”

對于這句話的理解我們可以引導學生從兩個方面去考慮：

（1）如果地球表面溫度過高，由于熱擾動太強，原子根本不能結合在一起，也就無法形成分子，更不用說復雜的生命物質。

（2）如果地表溫度太低，分子只能以晶體存在，生命物質也就無法形成。

五、邏輯推理思想方法

邏輯推理是根據已知的條件作出合乎邏輯的推斷，推出未知的判斷的一種思維方式。邏輯推理方式一般有三種：演繹、歸納和溯因。演繹推理主要是由前提得出必然的結論，由“前提”和“規則”推導出“結論”；歸納推理是從特殊到一般，借由大量的“前提”和“結論”所組成的例子來學習“規則”；溯因推理與演繹的過程相反，由“結論”和“規則”來支援“前提”，數學中常用的推理方式是演繹。在研究中，有學者發現中學生常用的證明和推理方法有：間接證明法和直接證明法；分析法和綜合法；對比法和類比法；歸納法和演繹法。

在地理教學中，地理邏輯推理思想就是借助地理知識的相關概念，依照邏輯的規律推斷出新的地理知識的思維活動。簡單來說，是指借助地理概念，通過推理和判斷，反映和揭示地理事物的內在聯系和本質屬性，從而獲得對地理現象的規律性認識。地理學主要研究各種地理事物的空間分布及其成因和變化，而地理事物是相互依賴、相互聯系、相互作用的，因而在中學地理學習過程中，可結合學生已具備的地理知識基礎，運用邏輯推理的數學思想方法來研究諸多地理現象。

例如，高中地理必修一中，在探討黃赤交角的變化對地球上五帶的變化，教師可用邏輯推理的思想方法來講解：

{目前黃赤交角：23°26′；南北回歸線緯度：23°26′；極圈緯度：66°34′}

?{南北回歸線緯度=黃赤交角，極圈的緯度=90°-黃赤交角}

?{黃赤交角變大}

?{回歸線緯度變高，極圈的緯度變低}

?{溫帶將縮小，熱帶和寒帶將擴大}

數學與地理起源相同，隨著兩個學科的發展日益壯大，學科之間可以相互借鑒、相互促進。地理學科橫跨自然與人文兩大領域，具有很強的綜合性。在教學中，教師可以適當借鑒其他學科的思想方法，其中數學作為科學的工具性學科，對所有自然科學學科都有促進意義，因而在地理教學中應用數學思想方法，一方面可以解決僅用地理知識難以處理的問題，對學生學習地理知識、發現地理現象、探究地理規律，都能起到很好的促進作用；另一方面可以培養學生發散性思維和創新性精神，從而培養符合素質教育要求和適應社會發展需要的綜合型人才與創新型人才。

本文舉例主要涉及高中地理的自然地理，有關人文地理中的很多問題也是可以用數學思想方法解決。當然，數學思想方法并非唯一的一種方式，也并非是最有效的方式。在學科教學中，還有其他學科的思想方法，教師也可以在地理教學中適當應用。各個學科的思想方法都是學科的精髓，學科間的相互借鑒、融會貫通，學科的綜合化是一種必然的趨勢，教師在這方面需要有敏銳的判斷力，為學生的終身發展奠定基礎。

［1］吳炯圻，林培榕.數學思想方法：創新及應用的培養［M］.廈門大學出版社，2009.

［2］于曉峰.地理符號與民族認同［J］.社會科學家，2012（06）：150-152.

［3］張丹.關于高等數學與中學數學聯系的探討：集合論思想方法在中學數學中的應用［D］.北京師范大學，1997.