基于MATLAB 的U 型滑道輸送鏈運動學分析

李英杰，洪 林，尹瑞華

(1.天津理工大學機械工程學院，天津 300384;2.天津商業大學機械工程學院，天津 300134)

0 前言

鏈傳動作為機械傳動中的一種重要的運動傳遞方式，因其經濟可靠以及良好的傳動性能而廣泛應用于運輸、采礦、冶金、軍事等各種機械的傳動系統中［1］。對用于低速重載輸送機一類裝備的鏈傳動，因為每個鏈節上都帶有很重的負載，重力會產生很大的拉應力，所以不允許松邊的存在［2］。本文通過對U 型滑道約束的輸送鏈模型進行拆分求解，對各拆分的模型機構進行運動學分析，重點分析輸送鏈過渡區域的傳動性能，得出各個構件的運動曲線。

1 U 型滑道輸送鏈等效物理模型

圖1為U 型滑道輸送鏈的等效物理模型，根據各個構件的運動規律，將U 型滑道輸送鏈的機構模型拆分成三個子機構:主動鏈輪嚙入區域、補償軌跡區域以及從動鏈輪嚙出區域，這三個子機構的自由度均為1，均是組合式串聯物理模型的附加機構。先對運動學分析的機構構件進行一些假設:(1)所有構件均視為剛性體;(2)滑動摩擦力和各個銷軸的鉸接點的非定向摩擦矩均忽略不計;(3)鏈節的質心在其所在鏈節兩端銷軸連線的中心處。

如圖1 所示，主動鏈輪嚙入區域鏈節開始嚙合時，補償段區域開始釋放冗余量，然而當主動鏈輪嚙合鏈節運動到某位置時，補償段區域將產生的冗余量進行儲存。

圖1 U 型滑道輸送鏈的等效物理模型Fig.1 Equivalent model of U-type slide conveyor

2 U 型滑道輸送鏈運動學建模

2.1 主動鏈輪嚙入區域運動學建模

將主動鏈輪嚙入區域子機構可以等效為曲柄搖桿機構，機構的曲柄旋轉角度為π/2(銷軸在主動輪上的運動周期為π/2)，等效后的傳動機構物理模型如圖2。機構中r1～r4分別為機架的長度、曲柄的長度、連桿(鏈節)的長度以及搖桿的長度，且各桿件的長度、初始位置角度、曲柄的角速度ω2已經給出。

圖2 主動鏈輪嚙入區域的等效物理模型Fig.2 Equivalent model of active sprocket meshing area

建立該機構的角位移閉環矢量方程［3］

將該角位移矢量方程分別在x 軸和y 軸上進行分解

將式(2)對時間t 求取一階導數，并整理成矩陣形式，可以得到機構的角速度方程

將式(3)分別對時間t 求取二階導數，并整理成矩陣形式，可以建立機構的角加速度方程

2.2 位置補償區域運動學模型

鏈節在補償段區域內的運動軌跡比較特殊，將其等效成曲柄滑道機構(如圖3)。曲柄滑道機構是典型曲柄搖桿機構的一種變形，將搖桿改變成弧形滑塊，機架做成弧形滑槽，滑塊在弧形滑槽內運動，滑槽的半徑等于搖桿的長度［4］。曲柄滑道機構能形成比較不規則的軌跡，而此機構正適用于補償段區域分析。

圖3 補償段區域的等效物理模型Fig.3 Equivalent model of compensation area

已知曲柄AB 的長度，連桿BC(鏈節)的長度、滑塊C 的運動軌跡離散坐標點(xci，yci)，曲柄AB 及滑塊C 的初始位置角度θ1和θ2。建立該機構角位移閉環矢量方程

將該角位移矢量方程分別在x 軸和y 軸上進行分解

將式(2)對時間t 求取一階導數，并整理成矩陣形式，可以得到機構的角速度方程

將式(3)分別對時間t 求取二階導數，并整理成矩陣形式，可以建立機構的角加速度方程

2.3 從動鏈輪嚙出區域運動學模型

與主動鏈輪嚙入區域的等效模型類似，如圖4 所示，OP為曲柄(長度為R)，PQ為嚙合鏈節(長度為L)，QR為從動鏈輪的半徑(長度為r)。

圖4 從動鏈輪嚙出區域等效模型Fig.4 Equivalent model of passive sprocket existing area

對圖4 所示的等效物理模型建立閉環矢量方程

將式(9)分別在所建立的直角坐標系投影得到兩分量形式

將式(10)對時間t 求取一階導數，并整理成矩陣形式得到該機構各桿件的角速度

在上式中，曲柄的角速度為ω，角速度值可以由各時刻曲柄所處的位置角近似求得。

將式(10)對時間t 求取二階導數，并整理成矩陣形式得到該機構各桿件的角加速度

3 基于MATLAB 的仿真結果

采用牛頓—辛普森方程求解機構位置非線性方程函數文件進行求解的方法，在MATLAB中建立M 文件將非線性方程組編程子程序，在一個運動周期內循環調用牛頓—辛普森方程。主動鏈輪以ω2=ω1勻速轉動，從0°轉到90°后停止，可以依次求解并得到嚙合鏈節BC 的后節點90 個位置點的角位移結果，進而求得所有的運動參數(角速度、角加速度)。求解補償段區域的運動參數需要知道滑塊C 的速度、加速度，由于已知滑塊C 的軌跡離散點坐標，很容易解出滑塊C 的速度計加速度，求解方法即通過對已知滑塊C 的軌跡點進行多項式擬合，得到擬合曲線的數學方程描述，將得到的方程對自變量求取一階導數，可以得到滑塊C 的速度，而對方程求取二階導數時可以得到滑塊C 的加速度。繪制出的隨主動鏈輪運動的各個機構構件仿真結果如圖5～7 所示。

圖5 主動鏈輪嚙入區域仿真結果Fig.5 Simulation results of active sprocket meshing area

圖6 補償段區域仿真結果Fig.6 Simulation results of compensation area

圖7 從動鏈輪嚙出區域仿真結果Fig.7 Simulation results of passive sprocket existing area

從角位移線圖中可以看出，搖桿3(銷軸C)的角位移曲線變化并不是很大，但是事實上并非如此。在角速度線圖中可以看到銷軸C 的角速度具有微弱的周期性波動，卻比傳統型的鏈傳動機構傳動性能穩定很多。

由滑塊C 的運動軌跡推導出的補償段區域內各構件的運動規律可以看出，無論是曲柄AB(前銷軸)還是嚙合鏈節BC 的角位移均變化較為平穩，其角速度及角加速度波動也不是很大，可以認為鏈節可以在補償段區域內能平穩運動。

4 結論

本文利用閉環矢量法建立U 型滑道輸送鏈的兩區域的運動學模型，采用牛頓—辛普森方程求解機構位置非線性方程函數文件進行求解的方法求解出各個構件的運動參數，在一個周期內的仿真結果顯示補償段區域內的構件的角位移變化平穩，速度、加速度波動較小，能實現平穩運動，而在主動鏈輪嚙入區域的構件波動相對較大，與傳統型鏈傳動性能相比則有很大提高。本文運動分析的結果為U 型輸送鏈的動力學分析及速度補償奠定有利的基礎。

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