基于Garch模型的半參數風險度量及Eviews的實現

李會華

(浙江財經大學金融學院，浙江 杭州 310018)

1.前言

風險價值VAR作為一種度量金融風險的工具，由J.PI Morgan公司于1994首先提出，1995年4月巴塞爾銀行監管委員會同意具備條件的銀行以內部VaR模型為基礎計算市場風險的資本金要求。VAR通過引入概率分布而將風險數值化，也可根據不同的風險偏好，不同的部門風險控制要求，設定不同的置信水平來調整VAR值，便于理解比較，因此應用廣泛。傳統的風險價值度量方法主要包括三個:靈敏度分析方法，波動性方法和VaR方法。靈敏度分析方法隱含金融資產的變化和市場因子的影響呈線性關系的前提，脫離實際。波動性方法將風險定義為收益相對平均值的偏離程度，但這種波動性將正偏離與負偏離同等看待，而實際上，負的沖擊往往比正的沖擊對波動性影響更大，我們關注的也只是代表損失的負偏離，在金融時間序列里，收益率的分布常存在著尖峰厚尾及有偏特征，收益率波動還存在有杠桿效應，能否準確刻畫收益率分布及波動性特征，直接關系到VAR計算結果的準確性。很多研究集中于對收益率分布尖峰厚尾的準確刻畫及對收益率波動性的諸如時變性、集聚性、不對稱性及相關性等特征分析，并致力于不斷的模型改進。Allen(1994)首先對VaR模型進行了研究，比較分析了方差一協方差方法和歷史模擬方法;Nelson(1991)［1］提出EGARCH模型，認為其能夠捕獲條件異方差性，還能描述杠桿效應，因此，EGARCH模型能更準確地描述金融資產價格的波動情況;Kupiec(1995)［2］提出了檢驗 VaR計算的方法－返回檢驗法，并給出了不同持有期的置信區間;為克服VaR 的 缺 陷，R.Tyrrell Rockafellar和 Stanislav Uryasev(1999)［3］在對VAR修正基礎上提出CVaR的概念并給出了CVaR的計算方法，彌補了VAR不滿足一致性風險度量條件的問題;林輝、何建敏(2003)［4］首先討論了風險價值VaR在投資組合應用中存在的兩大缺陷，然后介紹了CVaR對VaR模型的改進;張留祿、王楚明［5］(2010)通過建立滿足收益率分布的EGARCH－t模型，分析并計算了我國上證指數的市場風險價值—VaR值，并且度量了該時段不同階段上證指數的市場風險情況，

本文利用garch－N模型及最簡單的歷史模擬法對深圳創業板指數的VAR、CVAR風險進行度量，通過對結果的比較分析，更深入地了解其計算原理、本質區別及各自的不足之處。

2.理論綜述

2.1 VaR的計算原理

VAR度量的是一定置信度下，資產組合在持有期內的最大可能損失，也可以理解為正常波動下，預期價值與一定置信度下的最低價值之差。

數學表達式:Prob(ΔP≤－VaR)=1－c

其中:ΔP=P(t+Δt)－P(t)，表示持有期Δt內的損失

c:置信度

由上述表達式可知，只要知道損益的概率密度函數，就很容易反推出相應VAR，一般用收益率的概率分布來考察損益變化，而收益率的概率分布很難準確確定，而為了計算方便，一般都假定其服從正態分布。此外根據組合價值變化的確定方式，VAR值有絕對和相對之分，

其中，絕對VAR是以初始值為基點考察價值變化，即:

相對VAR是以預期收益為基點進行考察，即:

以絕對var為例，由(1)式反推絕對VAR值，設收益率的分布函數f(r)，可得

如果假設 r－N(u，σ2)，則由(2)式可得:

即 VaR=P0［Φ－1(c)σ － u］

同理，可得相對VAR值

同理，基于garch模型的VAR的預測:

其中Zα:置信水平為1－c下對應誤差分布的分位數

σt+i:GARCH模型預測的條件方差平方根

2.2 VAR的似然比率LR檢驗

假設:α:給定的置信度

T:實際考察天數

N:實際損失超過VaR的天數，即為失敗天數，

則失敗概率P=N/T，給定置信度下，失敗的期望概率P*=1－α，如果假定vaR估計具有時間獨立性，則失敗觀察的二項式結果代表了一系列獨立的貝努里試驗，N次失敗在T個樣本中發生的概率為:(1－P)T－NPN可進行原假設H0∶P=P*的假設檢驗。

Kupiec檢驗統計量:

在零假設下，統計量LR服從χ2(1)。根據給定的置信水平，在卡方檢驗臨界值表上查得臨界值，如果LR＞臨界值，我們拒絕本模型。在置信水平0.1時，模型接受域為LR≤2.706;在置信水平0.05時，模型接受域為:LR≤3.84，在置信水平0.01時，模型接受域為:LR≤6.635

2.3 CVAR

CVaR在理論上是表示超過 VaR的均值，度量了超過VaR的罕見的極端波動所導致的預期損失，尤其是在置信度較高的情況下，能比var更準確地度量風險，即

同理可得:

2.4 CVAR的LE檢驗

其中，LE:損失的期望值與CVaR的期望值之差的絕對值

Xi:超過VaR的實際損失

n:超過VaR的個數

2.5 Garch族相關模型

基于GARCH模型的VAR值計算與普通方法的關鍵區別在于，它考慮的是具有時變性的方差，能很好刻畫收益率尖峰厚尾及波動性的時變、集聚性，本文簡單介紹幾種常用的Garch族相關模型。

(1)GARCH(p，q)模型:

其中，αi，βj:待估參數，αi≥0，βj≥0，i=0，1…，q，j=1，…，p

q:ARCH項的階數

p:GARCH項的階數

一般情況下，股市中會存在的杠桿效應，即市場承受同等程度的正負沖擊對波動的影響并不相同，即波動具有不對稱性，而上述模型對參差符號變化并不敏感，因此不能很好刻畫波動的不對稱性，對此 Nelson等人提出了非對稱GARCH模型，其本質區別，在于對條件方差的模型設定不同，具體有APARCH模型、EGARCH模型、QGARCH模型及GJR模型。

(2)APARCH模型:

其中，γi:描述不對稱的參數，如果γi≠0，則存在不對稱性，－1 ＜γ1＜1，i=1，…，q

δ:評價沖擊對條件方差的影響幅度

(3)EGARCH模型:

如果γi≠0，則存在不對稱性。

(4)TGARCH(p，q，r)模型:

即表示負的沖擊會比正的沖擊引起更大的波動。

(5)二次GARCH模型(即QGARCH模型):

即如果εt－1為負值，則γ取正值比取負值對的影響大。

(6)GJR模型:

2.6 歷史模擬法

歷史模擬法是一種非參方法，不用假定市場因子的統計分布，基本思想:在“歷史會重演”的假設前提下，假定未來的收益率分布依然服從歷史收益率的分布情況，用歷史樣本數據的損益分布“復制”組合未來損益分布，可以較好的處理非對稱和厚尾問題，避免了模型風險，但歷史難以復制，有歷史數據得出的結論可能與實際不符。

分析步驟:

1)根據歷史樣本數據，計算損益;

2)將損益數據從小到大排列;

3)按所給置信度a找到相應分位數，進而得var。

2.7 半參數方法

由上述VAR的計算公式可知，度量VAR值關鍵在于兩點，分位數和波動率。分位數的確定，與收益率的概率分布函數有關，也可以用如歷史模擬法的非參方法進行估計;波動率的估計，則一般采用garch族的相關參數方法，因為它能刻畫波動率的很多特征，綜上所述，半參數方法就是在估計分位數和波動率時，一個采用參數法估計，一個用非參數法估計，以期中和單一使用的弊端。結合上式(3)(4)，利用歷史模擬法計算出給定置信度下的var值，用式(3)反求出分位數Φ－1(c)，替代式(4)中的Zα，即分位數不再由事先設定的分布決定，而是由歷史數據確定，一定程度上減少了模型的設定誤差。

3.實證分析

本文選擇深圳創業板指數2010.6.2—2015共計1218個收盤價作為樣本數據，并采用對數收益率進行分析(rt=lnPt－lnPt－1)，其中前1112個用于模型的參數估計，后106個用于模型的回測檢驗，此外考慮到本文用于回測的樣本量較少，在較高置信度下各分析方法的結果差異較小，不利于比較分析，因此實證部分只在90%、95%的置信度下進行。

3.1 基于GARCH的風險度量

對收益率序列統計特征進行分析，結果如下:

由上圖可知:序列不對稱，偏度為－0.408046＜0，相比正態分布，表現為左偏;峰度為3.901532＞3，相比峰度為3的正態分布，表現為尖峰厚尾特征;此外，JB統計量分析中給出的概率值0明顯小于通常所給的顯著性水平(一般設為0.01，0.05，0.1)，故應拒絕原假設，所以，該序列不服從正態分布，所以傳統基于正態假設的做法并不合理。

收益率在零處上下頻繁波動，并且在較大的波動后面跟隨著較大的波動，

較小的波動后面緊跟著較小的波動，表明收益率序列波動性具有明顯的集聚性特征。

步驟1:運用ADF和PP檢驗序列的平穩性，結果顯示，統計量的值均小于所給的檢驗臨界值，則序列是平穩的

步驟2:通過對序列m階自相關和偏自相關圖的相關分析，如果統計量Q對應的概率均大于顯著性水平0.05，故在95%的水平下認為序列是不相關，結果發現，序列存在二階自相關

步驟3:建立AR(2)回歸模型并對其殘差平方進行相關性分析，發現殘差平方序列具有相關性，即波動率具有arch效應，于是引入garch(1，1)模型對原模型重新估計并再次對新回歸模型的殘差平方進行相關性檢驗，發現Arch效應消失，即可用garch(1，1)模型進行估計。

3.2 以garch(1，1)模型為例，說明Eviews的實現方式

假設隨機變量名為x，則通過quick—Estimate Equation，由前面的相關圖分析可知，均值方程是二階自相關的，即均值方程的形式為 xt=α0+ αxt－1+ βxt－2+ εt，故在窗口輸入 x c ar(1)ar(2)，估計方法選擇ARCH，在新彈出的窗口分別根據需要設置GARCH項、ARCH項的階數并選擇殘差的分布形式，即可得估計參數估計值，在Equation窗口的forcast選項可得向前估計值及其條件方差的平方根，這里得到的結果將用于 var值的計算。由于不對稱分布形式很多，如Tgarch，pgarch，Qgarch，Egarch 等，本文僅選擇 Egarch 作為代表進行分析，分別基于GARCH－N，GARCH－T，GARCHGED，ENGARCH －N，ENGARCH －T，ENGARCH －GED 對模型進行估計，整理估計過程中的極大似然值、AIC值及SC值，如下:

GARCH EGARCH正態分布2880.384－5.179070－5.151978 2880.614－5.179484－5.152392 Stu－t分布2886.428－5.188158－5.156550 2886.884－5.188980－5.157372 GED 2885.901－5.187209－5.155601 2886.129－5.187621－5.156013

由上表不難看出，基于Stu－t分布的估計效果最好，因為它的最大似然值較其他最大，AIC及 SC值較其他最小。但基于正態分布的良好統計特征，本文選擇在GARCH－N模型基礎上進行半參數方法的分析。

3.3 基于歷史模擬法的var度量

按照歷史模擬法的操作步驟可得如下結果:(限于篇幅，僅截取部分數據)

將1112個歷史樣本收益率從小到大排序

1－0.08635 2－0.07857 3－0.06384 4－0.06268 5－0.05884 6－0.05867 7－0.05428 8－0.05411 9－0.05261 10 －0.05208 11 －0.0508 12 －0.04964 13 －0.04926－0.0487 14. . .. . .

在99%的置信度下，其對應分位數為第1112×(1－99%)=11.12個數對應的值，即第11、12個數的平均值，即－0.05022，同理可得95%置信度下對應var值－0.03208;90%置信度下對應var值 －0.0227，在GARCH－半參數法中，只需將歷史模擬法得到的分分位數標準化，替代式(3)中的分位數，即可得基于歷史模擬的半參數法估計的VAR值。

3.4 估計結果分析

由上圖分析可知，在90%、95%的置信度下，兩種方法的估計結果差別不大，90%置信度下回測分析的失敗次數均為8，95%置信度下，失敗次數均為5，說明，在降低置信度下，半參數法并沒有很好地改善單純GARCH－N的結果;但在99%的置信度下，基于正態分布假設的GARCH－N模型的風險低估問題顯現出來，表現為該置信度下的兩次回測失敗，但半參數法在該置信度下有效改善了單純GARCH－N的風險低估問題，在上圖中可以也看出半參數法在99%置信度下，回測沒有失敗，所以在實證分析中，如果風險厭惡程度較高，一般選擇較高置信度，可以考慮使用半參數法估計風險。(VAR代表GARCH－N估計結果，VARC代表GARCH－N的半參數法估計結果)

通過比較基于GARCH－N模型估計的VAR、CVAR的結果可知，相同置信度下，CVAR＞VAR，說明CVAR對尾部風險覆蓋度更高，上圖中，90%置信度下，VAR回測失敗8次，CVAR只失敗5次;95%的置信度下，VAR回測失敗5次，CVAR失敗3次;99%的置信度下，VAR回測失敗2次，CVAR失敗次數為0，說明，在相同置信度下，CVAR對尾部極端值的覆蓋程度更高，風險度量較VAR更穩健。

3.5 回測檢驗

分別用GARCH－N法，歷史模擬法與GARCH－N結合的半參數法，計算不同置信度下的VAR值、CVAR值并進行回測檢驗，整理結果如下:

由上述回測結果可知，GARCH－N、GARCH－N的半參數法的回測失敗次數絕大部分落在由Kupiec檢驗統計量估計的合理范圍之內，通過了似然比檢驗，說明用該方法度量風險是可行的;由上表知，90%置信度下，基于GARCH－N半參數法的回測失敗次數為0，并不在Kupiec檢驗統計量在相應置信度下估計的合理范圍［6，16］之內，說明CVAR一定程度上高估了風險，99%置信度下也是同樣結果，這可能是受歷史數據的左偏特征的影響;

4.結論與不足

通過上述分析可知，不同風險度量的方法主要區別于以下幾點:在對序列進行GARCH模型回歸時，基于殘差序列分布的不同假設，形成了GARCH－N，GARCH－T，GARCHGED;基于序列波動性的集聚性、不對稱性等特征，不斷對條件方差方程進行改進和補充，形成了諸如 EGARCH、PGARCH及QGARCH等模型;根據計算VAR值的公式中分位數的確定方式不同，可以分為參數方法和非參數方法，具體而言，分位數可以通過模擬場景得到，比如歷史模擬法，也可以直接假定序列服從某一分布，然后估計參數，進而得出分位數，前者可統稱為非參數法，后者則為參數法，兩種方法各有利弊，比如，歷史樣本法無法反應比歷史樣本更壞的情形，但能有效處理厚尾和非線性，參數法應用靈活，也要注意減少模型誤設的風險。

本文試圖通過GARCH－N的半參數法估計CVAR值，即利用樣本數據估計分位數并將其標準化，再利用CVAR公式進行運算，但發現本文歷史樣本數據并不支持這種做法，從基于正態分布的CVAR計算公式可知，如果基于歷史數據，與1－c不能同程度變化，則該歷史樣本不適合用基于歷史模擬法的半參數方法計算CVAR，本文歷史數據得到的標準化后的分位數為－1.23187(90%)，－1.72886(95%)。

［1］Nelson D.B.Conditional Heteroscedasticity in Asset Returns:A New Approach.Econometrica，1991，(2):347 －370.

［2］Kupiec，Paul H.Techniques for verifying the accuracy of risk measurement models ［J］.Journal of Derivatives，1995，3(2):73 －84.

［3］RockafellerT，Uryasev S.Optimization of conditional value－ at－ risk［J］.Journal of Risk，2000，2(3):21 －42.

［4］林輝，何建敏.VaR在投資組合應用中存在的缺陷與CVaR 模型［J］.財貿經濟，2003，(12)

［5］ 張留祿，王楚明.上證指數市場風險度量問題研究［N］.華東理工大學學報，2010.6.15.