模態試驗傳感器優化布置的松弛序列法*

潘 安，彭珍瑞，殷 紅，董海棠

(蘭州交通大學 機電工程學院，甘肅 蘭州730070)

0 引 言

模態分析是結構動力學分析的基礎，其中模態試驗是模態分析的一種常用方法。模態試驗系統中傳感器布置直接影響了試驗效果［1］。如何將傳感器以最少的數目布置在最佳的位置是模態試驗傳感器優化布置問題的目的。

解決傳感器優化布置問題，首先要根據試驗目標的不同確定優化準則，然后選擇適當的優化方法。常用的布置準則有:Kammer D C 提出的有效獨立法［2］;Carne T G 和Dohrmann C R 根據模態保證準則(modal assurance criterion，MAC)提出以MAC 矩陣最大非對角元素為目標函數的優化準則［3］。傳感器配置的優化方法分為傳統方法和隨機類算法。隨機類算法如模擬退火［4］、遺傳算法［5］等;傳統方法中基于MAC 法提出的序列法(逐步積累法［6］、逐步消去法［7］)最為實用，應用廣泛［8］。

松弛思想源于圖論中的最短路徑問題［9］。松弛操作被Dijkstra 算法、有向無環圖最短路徑算法和Bellman－Ford算法使用，成功地在多項式時間復雜度內求出了最短路徑問題的最優解。

在序列法的基礎上，通過融入松弛思想，本文提出松弛序列法。松弛序列法首先執行積累序列法得到不同傳感器數量對應的初始布置方案，然后對每個初始布置方案進行松弛操作。

1 基于松弛序列法的傳感器優化布置

1.1 理論基礎與優化準則

結構動力學中，n 自由度系統的運動方程可以表示為

其中，M，C，K，f(t)和x(t)分別表示質量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣、力向量和響應向量。根據模態疊加性原理，響應向量可以表示為

其中，Φ 為模態振型矩陣，q(t)為模態坐標向量。

實踐上，模態試驗工程師需要觀察模態振型，通過視覺判斷模態的精度。Carne T G 和Dohrmann C R 根據MAC提出的無關性度量公式符合模態試驗工程師需要觀察模態振型的視覺要求［3］。MAC 矩陣i 行j 列的元素計算公式為

其中，Φi和Φj分別為Φ 的第i 列和第j 列，Φ 為布放方案的振型矩陣。

將振型矩陣^Φ 中第k 行(此行還未被Φ 選取)加到現有布放方案中去，MAC 就變為［3］

其中，A=ΦTΦ 為已有布置方案的振型矩陣的乘積，為的第k 行i 列的元素為完整的振型矩陣。

1.2 積累序列法

序列法的基本思想是每次從剩余的候選布放位置中選擇最優的一個加入現有解，直至目標函數達到設定條件。QR 分解用于確定初始布置方案。設n 自由度結構的前m階振型矩陣為，則其中，E ∈Rn×n為 置 換 矩 陣，Q ∈Rm×m，R ∈Rm×n，

|R11|＞|R22|＞…＞|Rmm|。

1.3 松弛思想

松弛思想是在原有估計的基礎上，通過增廣現有解得到新解當增廣解優于現有的解時，原有估計將被更新。傳感器優化布置的松弛序列法采用以最優方式增加和減小布放傳感器的方式，執行松弛操作。同時，采用式(4)評價增廣解，可以降低操作的時間復雜度。

1.4 松弛序列法

松弛序列法將松弛思想引入傳感器優化布置的積累序列法中，算法的流程如圖1 所示。

圖1 算法的流程圖Fig 1 Flow chart of algorithm

傳感器優化布置的松弛序列算法的執行過程分為以下步驟:

1)根據1.2 節描述的積累序列法，得到初始布置方案集合。

2)遍歷當前布置方案集合，執行松弛操作。例如:對于含有t 只傳感器的布置方案，計算其增加一只傳感器和減小一只傳感器后產生的兩個新布置方案(得到含有t－1 只傳感器的新布置方案和含有t+1 只傳感器的新布置方案)，如果新布置方案優于對應傳感器數量的原有布置方案，則用新布置方案替換原有布置方案(松弛成功);否則，保留原有布置方案(松弛失敗)。

3)如果步驟(2)中產生了松弛過程(即其中的某個解被松弛成功)，返回步驟(2)繼續執行;反之，結束計算，輸出結果。

2 算 例

以圖2 所示的懸索橋的加速度傳感器優化配置為例，實施傳感器優化配置問題的松弛序列法。某懸索橋［10］采用鋼筋混凝土加勁桁架懸索橋體系，索塔中心間距為128 m，高54 m。橋面寬度為10.8 m，長度220 m。利用ANSYS 14.0建立懸索橋的有限元模型。對建立的懸索橋有限元模型進行模態分析，提取橋面的兩側214 個節點的y 軸和z 軸方向(共428 個自由度)的前9 階振型，得到振型矩陣Φ∈R428×9。以Matlab R2010a 為平臺，進行數值模擬。

圖2 懸索橋的有限元模型Fig 2 Finite element model of suspension bridge

分別采用積累序列法和松弛序列法(本文方法)進行優化配置，對比結果如圖3 所示。從圖3 中曲線可以看出，松弛序列法的布置效果明顯優于積累序列法的布置效果。當傳感器數量相同時，松弛序列法和積累序列法的布置結果對比如表1 所示，松弛序列法的MAC 矩陣最大非對角元素值較小，表明在模態相似性方面優于松弛序列法。當目標函數取值相同時，松弛序列法和積累序列法的布置結果對比如表2 所示，表明在模態相似性要求相同時，松弛序列法需要的傳感器個數較少，有效減小了實驗成本。

圖3 積累序列法與松弛序列法的結果對比圖Fig 3 Results comparison of two algorithms

表1 傳感器數量相同時，兩種方法的布置結果對比Tab 1 Placement results comparison of two algorithms when numbers of sensors are the same

表2 目標函數取值相同時，兩種方法的布置結果對比Tab 2 Placement results comparison of two algorithms when target functions are the same

從圖3 中松弛序列法的曲線可以看出，當選擇的傳感器只數為25 時，MAC 矩陣最大非對角元素就已經達到很好的優化效果，繼續增加傳感器時曲線下降緩慢。因此，本文最終選擇25 只傳感器，作為懸索橋模態試驗的最終配置，此時MAC 矩陣最大非對角元素0.028 59。圖4 和圖5分別顯示了積累序列法和松弛序列法得到的MAC 矩陣，其中第2 階模態和第7 階模態相似度最高，圖4 和圖5 中分別為0.061 56和0.028 59，可見兩種方法中松弛序列法的優化布置方案較好。

圖4 積累序列法布置25 只傳感器的MAC 柱狀圖Fig 4 MAC histogram of 25 sensors placed by accumulation sequential algorithm

圖5 松弛序列法布置25 只傳感器的MAC 柱狀圖Fig 5 MAC histogram of 25 sensors placed by sequential algorithm with relaxation

3 結束語

本文將松弛思想應用于模態試驗傳感器優化布置問題中，松弛序列法在積累序列法的基礎上，使MAC 矩陣的最大非對角元素進一步降低。當布置的傳感器數量相同時，由于布置的傳感器位置不同，與積累序列法相比松弛序列法得到的振型相似性更低，便于模態試驗者觀察振型;當振型相似性的標準一致時，與積累序列法相比松弛序列法需要的傳感器數量更少，不僅可以節約模態試驗的成本，而且能夠減少數據采集、數據傳輸和數據分析的工作量。

［1］ 海倫·W，拉門茲·S，薩斯·P.模態分析理論與試驗［M］.白化同，郭繼忠，譯.北京:北京理工大學出版社，2001:118－121.

［2］ Kammer D C.Sensor placement for on－orbit modal identification and correlation of large space structures［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，1991，14(2):251－259.

［3］ Carne T G，Dohrmann C R.A modal test design strategy for model correlation［C］∥Proceedings of the 13th International Modal Analysis Conference，1995:927－927.

［4］ 田 莉，陳換過，祝 俊，等.基于自適應模擬退火遺傳算法的傳感器優化配置研究［J］.振動工程學報，2012，25(3):238－243.

［5］ 耿 飛，龍海輝，趙健康，等.基于改進遺傳算法的傳感器優化配置［J］.計算機仿真，2014，31(5):56－59.

［6］ 秦仙蓉，張令彌.一種基QR 分解的逐步累積法傳感器配置［J］.振動、測試與診斷，2001，21(3):168－173.

［7］ 黃民水，朱宏平，宋金強.傳感器優化布置在橋梁結構模態參數測試中的應用［J］.公路交通科技，2008，25(2):85－88.

［8］ 梁 鵬，李 斌，王曉光，等.基于橋梁健康監測的傳感器優化布置研究現狀與發展趨勢［J］.建筑科學與工程學報，2014，31(1):120－129.

［9］ Cormen T H，Leiserson C E，Rivest R L，et al.Introduction to algorithms［M］.3rd ed.Cambridge:MIT Press，2009:648－650.

［10］包 陳，王呼佳，陳洪軍，等.ANSYS 工程分析進階實例［M］.修訂版.北京:中國水利水電出版社，2009:183－206.