不定積分計算中函數定義域變化的歸類分析

摘要：本文結合不定積分的計算，對變形前后函數定義域的變化進行了分析，并歸結為三種類型，給出了改進的措施，對保證不定積分計算的正確性、提高教學質量，有重要的作用。

關鍵詞：不定積分;變形;定義域;歸類分析

中圖分類號：O172???? 文獻標志碼：A???? 文章編號：1674-9324（2014）41-0117-02

1 引言

不定積分的計算，往往需要對被積表達式進行相應的變形。但是，如果不注意變形的恒等性，則會引起變形前后被積函數定義域的變化，從而使計算出現錯誤。下邊結合具體實例，對不定積分變形中函數定義域的前后變化情況做如下的分析與歸類，給出了教學中的改進措施，以確保不定積分計算的正確性。

2 使用有關微分公式導致函數定義域的變化

例1.求I=■arcsinxdx.

解：I=■xarcsinx-■■

=xarcsinx+■■■=xarcsinx+■+c.

求解分析：被積函數的定義域是x∈[-1，1]，本題是求被積函數在閉區間[-1，1]上的不定積分，但微分公式darcsinx=■卻要求x≠±1，即x∈（-1，1）.但計算結果F（x）=xarcsinx+■卻是在開區間內（-1，1）成立，變形前后函數的定義域發生了改變，結果欠妥。

正解：將函數F（x）=xarcsinx+■的定義域從開區間（-1，1）延拓到x∈[-1，1]即可。

例2.求I=■■dx.

解：I=2■cos■d■=2sin■+c.

求解分析：被積函數的定義域是x∈（0，+∞），但微分公式■dx=d■卻是在x∈[0，+∞]內成立，因而F（x）=2sin■+c的定義域比原被積函數的定義域擴大了，結果欠妥。

正解：在得到結果F（x）=2sin■后，在x∈（0，+∞）上作對F（x）的限制即可。

改進措施：這類錯誤由于忽視了有關公式的成立條件，導致原函數的定義域與被積函數的定義域在個別點處發生了變化，這時，對求得的原函數進行適當延拓或限制即可。

3 使用恒等變形導致函數定義域的變化

例3.求I=■■.

解：I=■■=-■■d■

=-arcsin■+c.

求解分析：被積函數的定義域是x<-1或x>1，但變形中的x■=x2■卻僅在x>1時成立，忽略了x<-1時的情況，結果欠妥。

正解：

I=■■=-arcsin■+c1，x>1arcsin■+c2，x<-1.

例4.求I=■■.

解：I=■■=■■

=2ln■+■+c.

求解分析：被積函數的定義域是x<-2或x>0，但變形中的第一個等號卻是在x>0時成立，忽略了x<-2時的情況，結果欠妥。

正解：I=■■=lnx+1+■+c.

這樣的例子還很多，在此不一一列舉。

改進措施：這類錯誤的產生，是因為在恒等變形中，忽視了變形的恒等性（不是真正的恒等），導致被積函數的定義域在某個區間內發生了變化。這時，除了對函數的定義域進行全面的討論外，還要注意使用的變形是不是真正的恒等變形，使變形前后被積函數的定義域保持一致，亦可采取其他的方法進行求解。

4 使用變量替換導致函數定義域的變化

例5.求I=■■dx.

解：令x=sect，則dx=secttantdt，

I=■■secttantdt=■dt=t+c=arccos■+c.

求解分析：令f（x）=■，則其定義域為x<-1或x>1，變形■=■=tant沒有討論t的取值范圍，忽略了x<-1時的情況，故結果欠妥。

正解：

■=|tant|=tant，t∈（0，■）（x>1）-tant，t∈（-■，0）（x<-1）

正確的結果為：

I=arccos■+c，x>1-arccos■+c，x<-1

例6.求I=■■.

解：令x=■，則dx=-■，代入I得：

I=-■■-arcsin■+c=-arcsin■+c

求解分析：被積函數的定義域為x>1或x<-■.但變形■■=■■中沒有考慮t<0即x<-■的情況，結果欠妥。

改進措施：這類錯誤是由于在對不定積分進行變量替換變形時，忽略了新舊變量間取值范圍的一致性，導致了變形前后函數定義域發生了變化。為此，在使用換元法進行變量替換時，一定要注意對使用的變量替換做分析，使得替換前后的定義域完全相同，出現擴大就需要進行適當的限制，出現縮小要進行相應的延展，保證變量替換及變形中新舊變量取值的前后一致性，進而保證變形前后被積函數的定義域不發生變化。

參考文獻：

[1]吳維峰.高等數學[M].北京：中國輕工業出版社，2013：28-33.

[2]吳維峰.對不定積分的一題多解的分析[J].高等數學研究，2010，13（6）：11-12.

[3]樊映川，等.高等數學講義（上冊）[M].北京：高等教育出版社，1980：372.

[4]盛祥耀.高等數學輔導[M].北京：清華大學出版社，1994：298.

作者簡介：吳維峰（1963-），男（漢族），濰坊工程職業學院副教授，主要從事高等數學的教學與研究。