難點攻略：曲線與方程

熊如佐

曲線與方程在教材中著墨雖不多， 卻是高考中的一個熱點和重點，在歷年高考中出現的頻率較高. 試題重在考查同學們的邏輯思維、運算、分析和解決問題的能力. 其衍生出來的一些題型往往需要依賴于其基本原理才能得到解答. 求曲線方程的題目若出現在主觀題中，則綜合性強；若出現在客觀題中，則可以利用圓錐曲線的定義解題，為容易題.

重點難點

重點：（1）正確理解方程的曲線與曲線的方程的對應關系，會用解析幾何的基本思想和坐標法研究幾何問題，用方程的觀點實現幾何問題代數化解決.

（2）掌握求曲線（軌跡）方程的基本步驟，能用直接法、定義法、待定系數法、相關點法和參數法求曲線方程.

難點：（1）求出軌跡方程后要注意檢驗，多余的點要扣除，遺漏的點要補上.

（2）能根據圓錐曲線的性質，擬定具體的解題方法，如參數的選取、相關點變化的規律及限制條件等.

方法突破

1. 一個核心

通過坐標法，由已知條件求軌跡方程，通過對方程的研究，明確曲線的位置、形狀以及性質是解析幾何需要完成的兩大任務，是解析幾何的核心問題，也是高考的熱點之一.

2. 五個方法

求軌跡方程的常用方法：

（1）直接法：直接利用條件建立x，y之間的關系F（x，y）=0.

（2）待定系數法：若已知所求曲線的類型，求其方程，則先設出所求曲線的方程，再由條件確定方程中的待定系數.

（3）定義法：先根據條件得出動點的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程.

（4）相關點法：動點P（x，y）依賴于另一動點Q（x0，y0）的變化而變化，并且Q（x0，y0）又在某已知曲線上，則可先用x，y的代數式表示x0，y0，再將x0，y0代入已知曲線求得動點P（x，y）的軌跡方程.

（5）參數法：當動點P（x，y）坐標之間的關系不易直接找到，也沒有相關動點可用時，可考慮將x，y均用一中間變量（參數）表示，得參數方程，再消去參數得普通方程.

3. 失誤與防范

（1）求軌跡方程時，要注意曲線上的點與方程的解是一一對應關系.檢驗可從以下兩個方面進行：一是方程的化簡是不是同解變形；二是方程是否符合題目的實際意義.

（2）求點的軌跡與軌跡方程是不同的要求，求軌跡時，應先求軌跡方程，然后根據方程說明軌跡的形狀、位置、大小等.

典例精講

例1 已知兩個定圓O1和O2，它們的半徑分別是1和2，且O1O2=4. 動圓M與圓O1內切，又與圓O2外切. 建立適當的坐標系，求動圓圓心M的軌跡方程，并說明軌跡是何種曲線.

思索 利用兩圓內、外切的充要條件找出點M滿足的幾何條件，結合雙曲線的定義求解. 要分清是整個雙曲線還是其中一支.

破解 如圖1，以O1O2的中點O為原點，O1O2所在直線為x軸建立平面直角坐標系. 由O1O2=4，得O1（-2，0），O2（2，0）. 設動圓M的半徑為r，則由動圓M與圓O1內切，有MO1=r-1；由動圓M與圓O2外切，有MO2=r+2. 所以MO2-MO1=3. 所以點M的軌跡是以O1，O2為焦點，實軸長為3的雙曲線的左支. 所以a=，c=2，所以b2=c2-a2=. 所以點M的軌跡方程為-=1 x≤-.

例2 設直線x-y=4a與拋物線y2=4ax（a為定值）交于A，B兩點，C為拋物線上任意一點，求△ABC的重心的軌跡方程.

思索 設△ABC的重心的坐標為G（x，y），利用重心坐標公式建立x，y與△ABC的頂點C的關系，再將點C的坐標（用x，y表示）代入拋物線方程即得所求.

破解 設△ABC的重心為G（x，y），點C的坐標為C（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2）. 由方程組x-y=4a，y2=4ax消去y并整理得x2-12ax+16a2=0. 所以x1+x2=12a，y1+y2=（x1-4a）+（x2-4a）=（x1+x2）-8a=4a. 由于G（x，y）為△ABC的重心，所以x==，y==.所以x0=3x-12a，y0=3y-4a. 又點C（x0，y0）在拋物線y2=4ax上，所以將點C的坐標代入拋物線的方程得（3y-4a）2=4a（3x-12a），即y-2=（x-4a）. 又點C與A，B不重合，所以x≠（6±2）a.所以△ABC的重心的軌跡方程為y-2=（x-4a）（x≠（6±2）a）.

例3 已知動圓過定點A（4， 0），且在y軸上截得弦MN的長為8.

（1）求動圓圓心的軌跡C的方程；

（2）已知點B（-1，0），設不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點P，Q，若x軸是∠PBQ的角平分線，證明：直線l過定點.

思索 （1）利用曲線的求法求解軌跡方程，但要注意結合圖形尋求等量關系；（2）設出直線方程，結合直線與圓錐曲線的位置關系轉化為方程的根與系數的關系求解，要特別注意判別式與位置關系的聯系.

破解 （1）如圖2，設動圓的圓心為O1（x，y），由題意得O1A=O1M.當O1不在y軸上時，過O1作O1H⊥MN交MN于點H，則H是MN的中點，所以O1M=. 又O1A=，所以=，化簡可得y2=8x（x≠0）. 又當O1在y軸上時，O1與O重合，點O1的坐標為（0，0）也滿足方程y2=8x，所以動圓圓心的軌跡C的方程為y2=8x.

（2）如圖3，由題意，設直線l的方程為y=kx+b（k≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2）. 將y=kx+b代入y2=8x中，得k2x2+（2bk-8）x+b2=0. 其中Δ=-32kb+64>0. 由根與系數的關系得：x1+x2= ①，x1x2= ②. 因為x軸是∠PBQ的角平分線，所以=-，即y1（x2+1）+y2（x1+1）=0，即（kx1+b）（x2+1）+（kx2+b）（x1+1）=0，即2kx1x2+（b+k）（x1+x2）+2b=0 ③. 將①②代入③得2kb2+（k+b）（8-2bk）+2k2b=0，所以k=-b. 此時Δ>0，所以直線l的方程為y=k（x-1），即直線l過定點（1，0）.endprint

例4 （2014年高考廣東卷）已知橢圓C：+=1（a>b>0）的一個焦點為（，0），離心率為.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）若動點P（x0，y0）為橢圓C外一點，且點P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點P的軌跡方程.

思索 第（1）問根據條件容易用待定系數法求出橢圓方程；第（2）問設過點P的切線方程時，要分當l1⊥x軸或l1∥x軸時和當l1與x軸不垂直且不平行時兩種情況求解. 當l1⊥x軸或l1∥x軸時，得P（±3，±2）；當l1與x軸不垂直且不平行時，設出直線的斜率為k，寫出其方程與橢圓的方程聯立得關于x的一元二次方程，可知k，-是該一元二次方程的兩個根，消去k得點P的軌跡方程.

破解 （1）可知c=，又=，所以a=3，b2=a2-c2=4. 所以橢圓C的標準方程為+=1.

（2）設兩切線為l1，l2，

①當l1⊥x軸或l1∥x軸時，對應l2∥x軸或l2⊥x軸，可知P（±3，±2）；

②當l與x軸不垂直且不平行時，x0≠±3. 設l1的斜率為k，則k≠0，l2的斜率為-.l1的方程為y-y0=k（x-x0），聯立+=1，得（9k2+4）x2+18（y0-kx0）kx+9（y0-kx0）2-36=0. 因為直線與橢圓相切，所以Δ=0，得9（y0-kx0）2k2-（9k2+4）[（y0-kx0）2-4]=0，所以-36k2+4[（y0-kx0）2-4]=0，所以（x-9）k2-2x0y0k+y-4=0.

所以k是方程（x-9）x2-2x0y0x+y-4=0的一個根，同理-是方程（x-9）x2-2x0y0x+y-4=0的另一個根. 所以k·-=，得x+y=13，其中x0≠±3. 所以點P的軌跡方程為x2+y2=13（x≠±3）.

因為P（±3，±2）滿足上式，所以綜合可知點P的軌跡方程為x2+y2=13.

變式練習

1. 設圓（x+1）2+y2=25的圓心為C，A（1，0）是圓內一定點，Q為圓周上任一點. 線段AQ的垂直平分線與CQ的連線交于點M，則M的軌跡方程為（ ）

A. -=1 B. +=1

C. -=1 D. +=1

2. 設過點P（x，y）的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A，B兩點，點Q與點P關于y軸對稱，O為坐標原點. 若=2，且·=1，則點P的軌跡方程是（ ）

A. x2+3y2=1（x>0，y>0）？搖？搖？搖？搖？搖

B. x2-3y2=1（x>0，y>0）

C. 3x2-y2=1（x>0，y>0）

D. 3x2+y2=1（x>0，y>0）

3. 直線+=1與x，y軸交點的中點的軌跡方程是________.

4. 已知動點P（x，y）與兩定點M（-1，0），N（1，0）連線的斜率之積等于常數λ（λ≠0）.

（1）求動點P的軌跡C的方程；

（2）試根據λ的取值情況討論軌跡C的形狀.

5. 已知點P是圓O：x2+y2=9上的任意一點，過P作PD⊥x軸于D，動點Q滿足=.

（1）求動點Q的軌跡方程；

（2）已知點E（1，1），在動點Q的軌跡上是否存在兩個不重合的點M，N，使=（+）（O是坐標原點）. 若存在，求出直線MN的方程；若不存在，請說明理由.

參考答案

1. D 因為M為AQ垂直平分線上一點，則AM=MQ，所以MC+MA=MC+MQ=CQ=5，故M的軌跡為橢圓. 所以a=，c=1，則b2=a2-c2=，所以橢圓的標準方程為+=1.

2. A 設A（a，0），B（0，b），a>0，b>0. 由=2，得（x，y-b）=2（a-x，-y），即a=x>0，b=3y>0. 點Q（-x，y），故由·=1，得（-x，y）·（-a，b）=1，即ax+by=1. 將a，b代入上式得所求的軌跡方程為x2+3y2=1（x>0，y>0）.

3. x+y=1（x≠0，x≠1）

4. （1）由題知，直線PM與直線PN的斜率存在且均不為零，所以kPM·kPN=·=λ，整理得x2-=1（λ≠0，x≠±1）. 即動點P的軌跡C的方程為x2-=1（λ≠0，x≠±1）.

（2）①當λ>0時，軌跡C為中心在原點、焦點在x軸上的雙曲線（除去頂點）；

②當-1<λ<0時，軌跡C為中心在原點、焦點在x軸上的橢圓（除去長軸兩個端點）；

③當λ=-1時，軌跡C為以原點為圓心、1為半徑的圓（除去點（-1，0），（1，0））；

④當λ<-1時，軌跡C為中心在原點、焦點在y軸上的橢圓（除去短軸的兩個端點）.

5. （1）設P（x0，y0），Q（x，y），依題意，點D的坐標為D（x0，0），所以=（x-x0，y），=（0，y0）. 又=，所以x-x0=0，y=y0， 即x0=x，y0=y. 因為P在圓O上，故x20+y20=9，所以+=1.所以點Q的軌跡方程為+=1.

（2）存在. 假設橢圓+=1上存在兩個不重合的點M（x1，y1），N（x2，y2）滿足=（+），則E（1，1）是線段MN的中點，且=1，=1.即x1+x2=2，y1+y2=2.又M（x1，y1），N（x2，y2）在橢圓+=1上，所以+=1，+=1.兩式相減，得+=0. 所以kMN==-，所以直線MN的方程為4x+9y-13=0. 所以橢圓上存在點M，N滿足=（+），此時直線MN的方程為4x+9y-13=0.endprint