拋物線及其性質

周佳

應用拋物線的性質解決一些與拋物線有關的問題，如已知拋物線的某些性質，求拋物線的方程；以及求拋物線的焦點弦長等是一個難點也是重點，本文旨在歸納相關性質及相關例題.

重點難點

重點：（1）利用定義求拋物線的標準方程，與拋物線有關的焦半徑問題及最值；（2）利用焦點弦的性質處理有關焦點弦的問題；（3）聯立直線與拋物線的方程，設而不求，解決直線與拋物線的綜合問題.

難點：涉及拋物線的定義，直線和拋物線的位置關系，切線問題，軌跡問題，最值問題，參數范圍問題，定點、定值問題，面積與弦長問題，向量的共線、垂直、夾角等問題，考題大都比較難.

方法突破

拋物線的定義有廣泛的應用，“看到準線想到焦點，看到焦點想到準線”，許多拋物線的問題可根據定義獲得簡捷、直觀的求解. “由數想到形，由形想到數”，數形結合是靈活解題的一條捷徑. 解決直線與拋物線的綜合問題，要注意運用韋達定理，通過“設而不求”的方法求解. 拋物線的切線問題，注意與導數的幾何意義聯系，利用導數求解. 有關焦點弦問題要注意焦點弦的性質.

拋物線y2=2px（p>0）的幾何性質：

（1）焦點坐標F，0，離心率e=1，準線方程x=-.

（2）p的幾何意義是焦點到準線的距離.

（3）焦半徑：①MF=x0+，其中M（x0，y0）；②過拋物線y2=2px（p>0）的焦半徑FP的端點P作拋物線的切線，交準線于點Q，則FP⊥FQ.

（4）若過y2=2px的焦點F的直線與其有兩個交點A（x1，y1），B（x2，y2），則

①x1·x2=，y1·y2=-p2；

②焦點弦AB的長AB=x1+x2+p；

③設直線AB的傾斜角為α，則有AB==2p（k為直線AB的斜率，且斜率存在），特別地，當α=90°時，AB為拋物線的通徑，且AB=2p；

④以AB為直徑的圓與拋物線的位置關系為相切；

⑤A在準線上的射影為A1，B在準線上的射影為B1，則∠A1FB1=90°；

⑥+=；

⑦若=λ（λ>1），則cosα=（α為直線AB的傾斜角）.

（5）直線l與拋物線y2=2px（p>0）有兩個交點A（x1，y1），B（x2，y2），若⊥，則直線l過定點（2p，0）.

（6）拋物線y2=2px（p>0）的準線為l，焦點弦所在直線（傾斜角為θ）與準線l相交于點A，與拋物線的另一個交點為B（線段AF外的交點），若=λ，則cosθ=.

（7）弦長公式與點差法：

①若直線l：y=kx+b與拋物線C交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，則AB=.

②若直線l：y=kx+b與拋物線C：y2=2px交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，且M（x0，y0）為A，B的中點，則kAB=.

典例精講

例1 如圖1，拋物線y2=2px（p>0）的焦點為F，準線為l，經過F的直線與拋物線交于A，B兩點，交準線于C點，點A在x軸上方，AK⊥l，垂足為K，若BC=2BF，且AF=4，求拋物線的標準方程.

思索 要求拋物線的標準方程，即要求p，而p的幾何意義是焦點到準線的距離. 本題涉及拋物線上的點到焦點的距離、拋物線上的點到準線的距離，抓住拋物線的定義，將點到焦點的距離轉化為點到準線的距離，點到準線的距離轉化為點到焦點的距離是本題解題的關鍵.

破解 設點A（x1，y1），其中y1>0. 由點B作拋物線的準線的垂線，垂足為B1，則可得BF=BB1. 又由已知CB=2FB，所以CB=2BB1，cos∠CBB1==，∠CBB1=，即直線AB與x軸的夾角為. 又已知AF=AK=4，AC=2AK=8，所以F為AC的中點，所以p==2，所以拋物線的標準方程為y2=4x.

例2 已知過拋物線y2=4x的焦點F的直線交該拋物線于A，B兩點，=3，則弦AB的中點到準線的距離為_____.

思索 利用焦點弦的弦長公式AB=x1+x2+p=，焦點弦的性質+=，問題便可迎刃而解.

破解1 設直線l的方程為y=k（x-1），聯立方程：y=k（x-1），y2=4x？圯k2x2-（2k2+4）x+k2=0. A（x1，y1），B（x2，y2），x1·x2=1，=3？圯1-x1=3（x2-1）？圯x1=4-3x2，（4-3x2）·x2=1？圯3x-4x2+1=0？圯x2=1，x1=1（舍）或x2=，x1=3，AB=x1+x2+p=，AB的中點到準線的距離為.

破解2 +=？圯+=1？圯BF=，AF=，AB=，所以AB的中點到準線的距離為.

例3 （1）已知點P是拋物線y2=2x上的動點，點P在y軸上的射影是M，點A，4，則PA+PM的最小值是_______.

（2）已知點P是拋物線y2=2x上的動點，F為拋物線的焦點，點B（2，1），則PF+PB的最小值是_______，此時點P 的坐標為_______.

（3）已知拋物線的方程為y2=4x，直線l的方程為x-y+4=0，在拋物線上有一動點P到y軸的距離為d1，P到直線l的距離為d2，則d1+d2的最小值為_______.

思索 （1）該題是求拋物線上的點到坐標軸的距離與到定點的距離之和的最小值；（2）該題是求拋物線上的點到焦點的距離與到定點的距離之和的最小值；（3）該題是求拋物線上的點到坐標軸的距離與到定直線的距離之和的最小值. 上面這三種題型是考查拋物線的定義與性質的常見題. 解決問題主要利用拋物線的定義進行轉化，將到焦點的距離轉化到準線，到準線的距離轉化到焦點，到坐標軸的距離先轉化到準線再轉化到焦點，最后結合拋物線的圖象，利用數形結合的方法求出最值及點的坐標.endprint

破解 （1）注意到點A在拋物線外，設P到準線的距離為d，F為拋物線的焦點，則PF=d，PM=d-=PF-，PA+PM=PA+PF-≥AF-=.

（2）注意到B（2，1）在拋物線內，設點P到準線的距離為d，點B到準線的距離為d′，則PF=d，PF+PB≥d+PB≥d′=，此時點P的坐標為，1.

（3）設點P到準線的距離為d，F到l的距離為d′，則d1=d-1，F為拋物線的焦點，PF=d，d1+d2=PF+d2-1≥d′-1=-1.

例4 如圖2，已知直線l：y=kx-2與拋物線C：x2=-2py（p>0）交于A，B兩點，O為坐標原點，+=（-4，-12）.

（1）求直線l和拋物線C的方程；

（2）拋物線上一動點P從A到B運動時，求△ABP面積的最大值.

思索 （1）由已知條件+=（-4，-12）易求得直線l的方程，再由點差法即可求得拋物線C的方程.

（2）因為線段AB的長度為定值，所以只要求點P到直線AB的最大值即可，原問題轉化為求點到直線的距離.

破解 （1）設A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中點M（x0，y0），則x0==-2，y0==-6，代入直線l：y=kx-2，得k=2. 由點差法，得k=-，p=1. 所以直線l的方程為y=2x-2，拋物線C的方程為x2=-2y.

（2）設P（x0，y0），依題意，拋物線過點P的切線與l平行時，△ABP的面積最大. 又y′=-x，所以-x0=2？圯x0= -2，y0=-x20=-2，所以P（-2，-2）.

此時點P到直線l的距離d===.

由y=2x-2，x2=-2y得x2+4x-4=0，AB=·=·=4. 所以△ABP的面積的最大值為×4×=8.

變式練習

1. （2014年高考遼寧卷）已知點A（-2，3）在拋物線C：y2=2px的準線上，過點A的直線與C在第一象限相切于點B，記C的焦點為F，則直線BF的斜率為（ ）

A. B. C. D.

2. （2014年高考新課標卷Ⅰ）已知拋物線C：y2=8x的焦點為F，準線為l，P是l上一點，Q是直線PF與C的一個交點. 若=4，則等于（ ）

A. B. 3 C. D. 2

3. （2014年高考新課標卷Ⅱ）設F為拋物線C：y2=3x的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點，O為坐標原點，則△OAB的面積為（ ）

A. B.

C. D.

4. 設拋物線y2=4x的焦點為F，經過點P（2，1）的直線與拋物線交于A，B兩點，又知點P恰好為AB的中點，則AF+BF的值是_____.

5. （2014年高考湖南卷）如圖3，正方形ABCD和正方形DEFG的邊長分別為a，b（a0）經過C，F兩點，則=________.

圖3

6. （2014年高考全國卷）已知拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點為F，直線y=4與y軸的交點為P，與C的交點為Q，且QF=PQ.

（1）求C的方程；

（2）過F的直線l與C相交于A，B兩點，若AB的垂直平分線l′與C相交于M，N兩點，且A，M，B，N四點在同一圓上，求l的方程.

參考答案

1. D 2. B 3. D

4. 6 5. 1+

6. （1）設Q（x0，4），代入y2=2px，得x0=，所以PQ=，QF=+x0=+. 由題設得+=×，解得p=-2（舍去）或p=2. 所以C的方程為y2=4x.

（2）依題意知l與坐標軸不垂直，故可設l的方程為x=my+1（m≠0）. 代入y2=4x，得y2-4my-4=0. 設A（x1，y1），B（x2，y2），則y1+y2=4m，y1y2=-4. 故線段AB的中點為D（2m2+1，2m），AB=y1-y2=4（m2+1）.

又直線l′的斜率為-m，所以l′的方程為x=-y+2m2+3. 將上式代入y2=4x，并整理得y2+y-4（2m2+3）=0.

設M（x3，y3），N（x4，y4），則y3+y4=-，y3y4=-4（2m2+3），故線段MN的中點為E+2m2+3，-，MN=·y3-y=.

由于線段MN垂直平分線段AB，故A，M，B，N四點在同一圓上等價于AE=BE=MN. 從而AB2+DE2=MN2，即4（m2+1）2+2m+2++22=，化簡得m2-1=0，解得m=1或m=-1. 故所求直線l的方程為x-y-1=0或x+y-1=0.