橢圓及其性質

章少川

橢圓及其性質是每年高考考查的重要考點，包含橢圓的定義、標準方程、幾何性質以及直線與橢圓的位置關系等內容. 以選擇題、填空題的形式出現，考查橢圓相關概念的理解及簡單應用，難度不大；以解答題的形式出現，考查直線與橢圓位置關系等綜合問題，對運算求解能力、推理論證能力，以及函數方程思想與數形結合思想的應用要求較高.多數占據解答題壓軸題的位置.

重點難點

重點：（1）掌握橢圓的定義，能利用橢圓的定義求解焦點三角形問題；（2）掌握橢圓的標準方程，能準確判斷橢圓的形狀并求解標準方程；（3）掌握橢圓的簡單幾何性質，會求橢圓的離心率；（4）會判斷直線與橢圓的位置關系，能靈活求解有關弦長問題、最值或定值問題.

難點：（1）如何挖掘幾何關系實現坐標與方程之間的合理轉化；（2）如何在恒等變形中減少復雜的運算過程.

方法突破

1. 橢圓定義的應用

凡是涉及與兩個定點的“距離的和”有關的問題，都可考慮利用橢圓的定義與性質進行探索，特別是有關“焦點三角形”的問題，還經常結合正、余弦定理進行考查.

2. 求橢圓的標準方程

常用定義法和待定系數法.一般可采用“先定形，后定式，再定量”的解題步驟.

定形——指的是二次曲線的焦點位置與對稱軸的位置.

定式——根據“形”設出方程的形式，注意曲線系方程的應用，如當橢圓的焦點不確定在哪個坐標軸上時，可設方程為mx2+ny2=1（m>0，n>0）.

定量——由題設中的條件找到“式”中待定系數的等量關系，通過解方程得到量的大小.

3. 求橢圓的離心率

關鍵是先把橢圓方程轉化成標準形式，明確焦點的位置，長軸、短軸的長，焦距長及不同參數間的相互關系. 其中離心率的相關問題是考查熱點，若題目明確告訴了有關的等量或不等量關系，可直接構造方程或不等式求解，否則，需充分挖掘隱含條件，借助圓錐曲線的幾何性質構造a，b，c的關系式求解.

4. 直線與橢圓的位置關系

（1）直線與橢圓的位置關系可分為相交、相切、相離三種，實際上是研究它們組成的方程組是否有實數解或實數解的個數問題，一般用根的判別式來判斷.

（2）當直線與橢圓相交時，涉及弦長問題，常用“韋達定理法”設而不求計算弦長（即應用弦長公式）；涉及過焦點的焦點弦問題，常用定義求解；涉及弦長的中點問題，常用“點差法”設而不求.更多的問題還應充分挖掘題目中的隱含條件，尋找量與量之間的關系并靈活轉化，以達到事半功倍之效.

5. 橢圓中的定值、最值問題

（1）橢圓中的有關最值（范圍）問題，常用代數法和幾何法解決：①若命題的條件和結論具有明顯的幾何意義，則一般可用圖形的性質來解決；②若命題的條件和結論體現了明確的函數關系式，則可建立目標函數（通常利用二次函數、三角函數、基本不等式）求最值.

（2）有關定點、定值問題，實際上是恒成立的問題，解題時一般是從特定元的限制（如斜率）和特殊圖形的情況（如過原點、垂直、平行）猜出定值，再通過坐標、方程證明一般情況.

典例精講

例1 （2014年高考遼寧卷）已知橢圓C：+=1，點M與C的焦點不重合. 若M關于C的焦點的對稱點分別為A，B，線段MN的中點在C上，則AN+BN=________.

思索 本題是關于焦點對稱問題，所求AN與BN的長很容易轉化為焦半徑來考慮，利用三角形中位線性質并結合橢圓定義可解決.

破解 如圖1，MN的中點為Q， 易得QF2=NB，QF1=AN. 因為點Q在橢圓C上，所以可得QF1+QF2=2a=4，所以AN+BN=8.

例2 （2014年高考大綱卷）已知橢圓C：+=1（a>b>0）的左、右焦點為F1，F2，離心率為，過F2的直線l交C于A，B兩點，若△AF1B的周長為4，則C的方程為（ ）

A. +=1？搖？搖？搖 B. +y2=1？搖？搖？搖

C. +=1？搖？搖？搖 D. +=1

思索 求橢圓的方程常采用待定系數法，即通過列方程組求出a，b的值. 本題由于是過焦點三角形的問題，可結合定義轉換條件進行求解.

破解 由已知可得4a=4，所以a=. 又=，則得c=1，所以b2=a2-c2=，故C的方程為+=1. 選A.

例3 （2014年高考新課標卷Ⅰ）已知點A（0，-2）， 橢圓E：+=1（a>b>0）的離心率為，F是橢圓E的右焦點，直線AF的斜率為，O為坐標原點.

（1）求E的方程；

（2）設過點A的直線l與E相交于P，Q兩點，當△OPQ的面積最大時，求l的方程.

思索 （1）由已知條件直接求得a，c的值即可得橢圓方程. （2）問屬于直線與橢圓關系的常規問題，可建立關于參數的目標函數來求最值，求最值方法多為配方法、均值不等式法、三角函數法或導數法等.

破解 （1）設F（c，0），由條件可知，=，得c=. 又=，所以a=2，b2=a2-c2=1. 故E的方程+y2=1.？搖？搖？搖

（2）當l⊥x軸不合題意，故設直線l：y=kx-2，設P（x1，y1），Q（x2，y2）. 將y=kx-2代入+y2=1，得（1+4k2）x2-16kx+12=0. 當Δ=16（4k2-3）>0，即k2>時，x1，2=. 從而PQ=x1-x2=. 又點O到直線PQ的距離d=，所以△OPQ的面積S△OPQ=dPQ=. 設=t，則t>0，S△OPQ==≤1，當且僅當t=2，k=±時等號成立，且滿足Δ>0. 所以，當△OPQ的面積最大時，l的方程為y=x-2或？搖y=-x-2.

例4 已知F1（-1，0），F2（1，0）為平面內的兩個定點，動點P滿足PF1+PF2=2，記點P的軌跡為曲線Γ.endprint

（1）求曲線Γ的方程；

（2）設點O為坐標原點，點A，B，C是曲線Γ上的不同三點，且++=0.

①試探究：直線AB與OC的斜率之積是否為定值？證明你的結論；

②當直線AB過點F1時，求直線AB，OC與x軸所圍成的三角形的面積.

思索 （1）根據橢圓的定義求解方程. （2）本題考查解幾坐標法綜合運用的能力；考查運算求解能力、推理論證能力；考查函數與方程思想、數形結合思想、化歸與轉化思想.設直線AB的方程時要注意考慮斜率是否存在.

破解 （1）由條件可知，點P到兩定點F1（1，0），F2（-1，0）的距離之和為定值2，所以點P的軌跡是以F1（-1，0），F2（1，0）為焦點的橢圓.又a=，c=1，所以b=1，故所求曲線的方程為+y2=1.

（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）. 由++=0，得x1+x2+x3=0，y1+y2+y3=0.

①可設直線AB的方程為y=kx+n（k≠0），代入x2+2y2=2并整理得（1+2k2）x2+4knx+2n2-2=0.

依題意，Δ>0，則x1+x2=-，y1+y2=k（x1+x2）+2n=，故點C的坐標為，-，kOC=-. 因為kAB·kOC=-，所以直線AB與OC的斜率之積為定值.？搖

②若AB⊥x軸時，A-1，，B-1，-. 由++=0，得點C（2，0），所以點C不在橢圓Γ上，不合題意. 因此直線AB的斜率存在.

由①可知，當直線AB過點F1時， n=k，點C的坐標為，-. 代入x2+2y2=2得+=2，即8k4=2，所以k=±.

當k=時，由①知，k·kOC=-，從而kOC=-. 故AB，OC及x軸所圍成三角形為等腰三角形，其底邊長為1，且底邊上的高h=×=. 故所求等腰三角形的面積S=×1×=. 當k=-時，又由①知，k·kOC=-，從而kOC=，同理可求得直線AB，OC與x軸所圍成的三角形的面積為.

綜上所述，直線AB，OC與x軸所圍成的三角形的面積為.

變式練習

1. 設橢圓+=1（m>0，n>0）的右焦點與拋物線y2=8x的焦點相同，離心率為，則此橢圓的短軸長為________.

2. 橢圓+=1（0

A. B.

C. D.

3. 已知橢圓+=1（a>b>0）的離心率為，過橢圓上一點M作直線MA，MB分別交橢圓于A，B兩點，且斜率為k1，k2. 若點A，B關于原點O對稱，則k1·k2的值為________.

4. 已知橢圓E1：+=1，E2：+=2，過E1上第一象限上一點P作E1的切線，交E2于A，B兩點.

（1）已知圓x2+y2=r2上一點P（x0，y0），則過點P（x0，y0）的切線方程為xx0+yy0=r2，類比此結論，寫出橢圓+=1在其上一點P（x0，y0）的切線方程，并證明.

（2）求證：AP=BP.

5. 已知點P1，-在橢圓C：+=1（a>b>0）上，過橢圓C的右焦點F2（1，0）的直線l與橢圓C交于M，N 兩點.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若AB是橢圓C經過原點O的弦，且MN∥AB，W=. 試判斷W是否為定值. 若W為定值，請求出這個定值；若W不是定值，請說明理由.

參考答案

1. 4 2. C 3. -

4. （1）切線方程+=1. 在第一象限內，由+=1可得y=，y0=. 橢圓在點P處的切線斜率k=y′（x0）=-= -，切線方程為y=-（x-x0）+y0，即+=1.

（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），由已知，+=1，+=2？圯b2+x2-x+-2a2b2=0. =·===x0. 所以P為A，B中點，AP=BP.

5. （1）因為橢圓C的右焦點為（1，0），所以c=1，且橢圓C的左焦點為（-1，0），從而得2a=+=+=4，解得a=2. 所以b2=a2-c2=4-1=3. 所以橢圓C的標準方程為+=1.

（2）①當直線斜率不存在時，AB2=（2b）2=4b2，MN=，所以W===2a=4. ②當直線斜率存在時，設直線l的方程為y=k（x-1）（k≠0），且M（x1，y1），N（x2，y2）. 由+=1，y=k（x-1）得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，x1+x2=，x1x2=. MN=x1-x2===. 由+=1，y=kx消去y，并整理得x2=. 設A（x3，y3），B（x4，y4），則AB=x3-x4=4，所以W===4. 綜上所述，W為定值4.