重點突破：直線與圓、圓與圓的位置關系

車樹勤

直線與圓、圓與圓的位置關系是歷年高考的一個熱點，除考查位置關系之外，還考查軌跡問題及與圓有關的最值問題. 點到直線的距離公式與垂徑定理是解決與圓有關的問題所常用的兩個方法，用好了能起到事半功倍的效果.

重點難點

重點：（1）直線與圓的相交、相切問題，判斷直線與圓、圓與圓的位置關系；（2）計算弦長、面積，考查與圓有關的最值問題；（3）根據已知條件求圓的方程.

難點：（1）圓的幾何性質；（2）通過數形結合法解決圓的切線、直線被圓截得的弦長等直線與圓的綜合問題；（3）用代數法處理幾何問題.

方法突破

1. 直線與圓的位置關系的判定

（1）代數法（判別式法）：聯立圓的方程與直線的方程，由判別式討論方程的實數解的個數.

（2）幾何法：比較圓心到直線的距離與圓半徑的大小.

結合代數法和幾何法，可得直線Ax+By+C=0與圓（x-a）2+（y-b）2=r2的位置關系有三種（d是圓心到直線的距離）：若d>r？圳相離？圳Δ<0；d=r？圳相切？圳Δ=0；d0.

2. 直線和圓相交弦的計算

有兩種方法：一是用弦長公式P=x1-x2，二是用勾股定理P=2.

3. 圓的切線方程

求圓的切線方程一般有如下三種方法，同學們在解題時要根據題目所給的條件進行選擇.

（1）圓x2+y2=r2上點M（x0，y0）處的切線方程：x0x+y0y=r2.

（2）若已知切線過圓外一點P（x0，y0），則設切線方程為y-y0=k（x-x0），再利用圓心到切線的距離等于半徑求出k的值，這時有兩條切線. 同學們要注意不要漏掉平行于y軸的切線.

（3）若已知切線方程的斜率為k，則設切線方程為y=kx+b，再利用相切條件求出b的值，這時必有兩條切線.

4. 圓與圓的位置關系的判定

（1）幾何法：設圓O1的半徑為r1，圓O2的半徑為r2，兩個圓的圓心距d=O1O2，則

①d>R+r？圳兩圓外離？圳兩圓僅有4條公切線；

②d=R+r？圳兩圓外切？圳兩圓僅有3條公切線；

③d=R-r？圳兩圓內切？圳兩圓僅有1條公切線；

④R-r

⑤d

（2）代數法：聯立兩圓的方程，若方程有兩組不同實數解？圳兩圓相交；若方程有一組實數解？圳兩圓相切；若方程沒有實數解？圳兩圓相離或內含.

在討論直線與圓、圓與圓的位置關系時，一般不用代數法，而用圓心到直線的距離與半徑的大小關系、圓心距與半徑的大小關系，分別確定相交、相切、相離的位置關系.

5. 圓與圓的公共弦問題

若圓C1：x2+y2+D1x+E1x+F1=0和圓C2：x2+y2+D2x+E2x+F2=0相交，則它們公共弦所在直線的方程為（D1-D2）x+（E1-E2）y+（F1-F2）=0.

典例精講

1. 直線與圓的位置關系

例1 （2014年高考重慶卷）已知直線ax+y-2=0與圓心為C的圓（x-1）2+（y-a）2=4相交于A，B兩點，且△ABC為等邊三角形，則實數a的值為________.

思索 本題考查直線與圓的位置關系，點到直線的距離公式. 本題已知△ABC為等邊三角形，半徑長就是該三角形的邊長，可求出三角形的高，利用圓心到該直線的距離可求出a的值.

破解 因為圓的半徑為2，又△ABC為等邊三角形，所以△ABC的高為，即圓心C到直線ax+y-2=0的距離為，所以=，解得a=4±.

2. 圓的切線問題

例2 已知圓C：（x-3）2+（y-4）2=4，直線l1過定點A（1，0）.

（1）若l1與圓C相切，求l1的方程；

（2）若l1與圓C相交于P，Q兩點，線段PQ的中點為M，又l1與l2：x+2y+2=0的交點為N，判斷AM·AN是否為定值，若是，求出定值；若不是，請說明理由.

思索 （1）過一點求圓的切線應首先判斷該點是在圓上還是在圓外，當點（x0，y0）在圓上時該點即為切點，圓的切線只有一條；當點（x0，y0）在圓外，則設切線方程為y-y0=k（x-x0），化成一般式kx-y+y0-kx0=0，再利用圓心到直線的距離等于半徑，解出k. 注意：若此方程只有一個實根，則還有一條斜率不存在的直線，切記此點. （2）可先求出M，N兩點的坐標，再用兩點間的距離公式求出AM，AN，然后進行化簡可求得結果，但此方法計算比較復雜；若對AM·AN進行轉化，利用△AMC∽△ABN，可得AM·AN=AC·AB，此方法計算就比較簡便了.

破解 （1）①若直線l1的斜率不存在，即直線是x=1，符合題意.

②若直線l1的斜率存在，設直線l1為y=k（x-1），即kx-y-k=0. 由題意知，圓心（3，4）到直線l1的距離等于半徑2，即=2，解之得k=. 故所求直線的方程是x=1或3x-4y-3=0.

（2）解法1：過程略，同學們可自行嘗試.

解法2：如圖1，連結CA并延長交l2于點B，kAC=2，k=-，所以CB⊥l2. 所以△AMC∽△ABN，則=，可得AM·AN=AC·AB=2·=6，為定值.

3. 弦長問題

例3 已知直線l：y=kx+1，圓C：（x-1）2+（y+1）2=12.

（1）試證明：不論k為何實數，直線l和圓C總有兩個交點；

（2）求直線l被圓C截得的最短弦長.

思索 （1）將直線方程與圓方程聯立，判斷該方程組有兩個解；或通過直線過定點，該定點在圓內證明；或利用圓心到直線的距離小于圓半徑證明. （2）利用弦長公式表示出弦長，轉化為求關于k的函數的最值問題；也可用平面幾何的知識，判斷出過圓內定點的弦與過該定點的半徑垂直時該弦最短.

破解 （1）略.

（2）解法1：設直線與圓交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，則可得直線l被圓C截得的弦長AB=x1-x2=2=2. 令t=，則tk2-4k+（t-3）=0. 當t=0時，k=-；當t≠0時，因為k∈R，所以Δ=16-4t（t-3）≥0，解得-1≤t≤4，且t≠0，故t=的最大值為4，此時AB的最小值為2.

解法2：由平面幾何知識，知AB=2=2，下同解法1.

解法3：由平面幾何知識知過圓內定點P（0，1）的弦，只有和PC（C為圓心）垂直時才最短，而此時點P（0，1）為弦AB的中點. 由勾股定理，知AB=2=2，即直線l被圓C截得的最短弦長為2.

4. 圓與圓的位置關系

例4 （2014年高考湖南卷）若圓C1：x2+y2=1與圓C2：x2+y2-6x-8y+m=0外切，則m等于（ ）

A. 21 B. 19 C. 9 D. -11

思索 根據兩個圓的方程可以知道其圓心與半徑，當兩個圓外切時圓心距等于兩個圓半徑的和，即可解出m的值.

破解 過程略，答案選C.

5. 與圓有關的綜合問題

例5 如圖2，為保護河上古橋OA，規劃建一座新橋BC，同時設立一個圓形保護區，規劃要求：新橋BC與河岸AB垂直，保護區的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓，且古橋兩端O和A到該圓上任意一點的距離均不少于80 m. 經測量，點A位于點O正北方向60 m處，點C位于點O正東方向170 m處（OC為河岸），tan∠BCO=.

（1）求新橋BC的長：

（2）當OM多長時，圓形保護區的面積最大？

思索 本題是應用題，可以用解析法來解決. 以O為原點，分別以向東、向北為x軸、y建立直角坐標系. （1）要求BC的長，就要求得點B的坐標. 已知tan∠BCO=，說明直線BC的斜率為-，這樣直線BC的方程可立即得出；又AB⊥BC，故直線AB的方程也易得出，兩條直線的交點B的坐標隨之而得. （2）本問題的實質就是求圓半徑最大，即求線段OA上某點到直線BC的距離最大. 注意要考慮條件“古橋兩端O和A到該圓上任一點的距離均不少于80 m”.

破解 （1）如圖2，以OC方向為x軸，OA方向為y軸建立直角坐標系，則可得A（0，60），C（170，0）. 由題意，kBC=-，所以直線BC的方程為y= -（x-170）；又kAB=-=，所以直線AB的方程為y=x+60. 聯立兩直線方程y=-（x-170），y=x+60，解得x=80，y=120.即B（80，120）. 所以BC=150（m）.

（2）設點M（0，m）（0≤m≤60），點B（80，120），直線BC的方程為y= -（x-170），即4x+3y-680=0，所以半徑R=. 又因為古橋兩端O和A到該圓上任意一點的距離均不少于80 m，所以R-AM≥80且R-OM≥80，所以有-（60-m）≥80且-m≥80. 所以10≤m≤35. 所以R=≤130，當m=10時圓面積最大. 所以當OM=10時圓形保護區面積最大.

變式練習

1. 如果圓x2+y2-2ax-2ay+2a2-4=0與圓x2+y2=4總相交，則實數a的取值范圍是________.

2. 已知直線l過點（-2，0），當直線l與圓x2+y2=2x有兩個交點時，其斜率k的取值范圍是________.

3. （2014年高考浙江卷）已知圓x2+y2+2x-2y+a=0截直線x+y+2=0所得弦的長度為4，則實數a的值為（ ）

A. -2 B. -4 C. -6 D. -8

4. （2014年高考山東卷）圓心在直線x-2y=0上的圓C與y軸的正半軸相切，圓C截x軸所得弦長為2，則圓C的標準方程為________.

5. 如圖3，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓E：+=1（a>b>0）的離心率e=，A1，A2分別是橢圓E的左、右兩個頂點；圓A2的半徑為a，過點A1作圓A2的切線，切點為P，在x軸的上方交橢圓E于點Q.

（1）求直線OP的方程；

（2）求的值；

（3）設a為常數. 過點O作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓E于點B，C，分別交圓A2于點M，N，記△OBC和△OMN的面積分別為S1，S2，求S1·S2的最大值.

參考答案

1. 0

2. -

3. B

4. （x-2）2+（y-1）2=4

5. （1）y=x.

（2）.

（3）不妨設OM的方程為y=kx（k>0），聯立方程組y=kx，+=1，解得B，，所以OB=a；用-代替上面的k，得OC=a. 同理可得OM=，ON=. 所以S1·S2=·OB·OC·OM·ON=a4·. 因=≤，當且僅當k=1時等號成立. 所以S1·S2的最大值為.

直線與圓、圓與圓的位置關系是歷年高考的一個熱點，除考查位置關系之外，還考查軌跡問題及與圓有關的最值問題. 點到直線的距離公式與垂徑定理是解決與圓有關的問題所常用的兩個方法，用好了能起到事半功倍的效果.

重點難點

重點：（1）直線與圓的相交、相切問題，判斷直線與圓、圓與圓的位置關系；（2）計算弦長、面積，考查與圓有關的最值問題；（3）根據已知條件求圓的方程.

難點：（1）圓的幾何性質；（2）通過數形結合法解決圓的切線、直線被圓截得的弦長等直線與圓的綜合問題；（3）用代數法處理幾何問題.

方法突破

1. 直線與圓的位置關系的判定

（1）代數法（判別式法）：聯立圓的方程與直線的方程，由判別式討論方程的實數解的個數.

（2）幾何法：比較圓心到直線的距離與圓半徑的大小.

結合代數法和幾何法，可得直線Ax+By+C=0與圓（x-a）2+（y-b）2=r2的位置關系有三種（d是圓心到直線的距離）：若d>r？圳相離？圳Δ<0；d=r？圳相切？圳Δ=0；d0.

2. 直線和圓相交弦的計算

有兩種方法：一是用弦長公式P=x1-x2，二是用勾股定理P=2.

3. 圓的切線方程

求圓的切線方程一般有如下三種方法，同學們在解題時要根據題目所給的條件進行選擇.

（1）圓x2+y2=r2上點M（x0，y0）處的切線方程：x0x+y0y=r2.

（2）若已知切線過圓外一點P（x0，y0），則設切線方程為y-y0=k（x-x0），再利用圓心到切線的距離等于半徑求出k的值，這時有兩條切線. 同學們要注意不要漏掉平行于y軸的切線.

（3）若已知切線方程的斜率為k，則設切線方程為y=kx+b，再利用相切條件求出b的值，這時必有兩條切線.

4. 圓與圓的位置關系的判定

（1）幾何法：設圓O1的半徑為r1，圓O2的半徑為r2，兩個圓的圓心距d=O1O2，則

①d>R+r？圳兩圓外離？圳兩圓僅有4條公切線；

②d=R+r？圳兩圓外切？圳兩圓僅有3條公切線；

③d=R-r？圳兩圓內切？圳兩圓僅有1條公切線；

④R-r

⑤d

（2）代數法：聯立兩圓的方程，若方程有兩組不同實數解？圳兩圓相交；若方程有一組實數解？圳兩圓相切；若方程沒有實數解？圳兩圓相離或內含.

在討論直線與圓、圓與圓的位置關系時，一般不用代數法，而用圓心到直線的距離與半徑的大小關系、圓心距與半徑的大小關系，分別確定相交、相切、相離的位置關系.

5. 圓與圓的公共弦問題

若圓C1：x2+y2+D1x+E1x+F1=0和圓C2：x2+y2+D2x+E2x+F2=0相交，則它們公共弦所在直線的方程為（D1-D2）x+（E1-E2）y+（F1-F2）=0.

典例精講

1. 直線與圓的位置關系

例1 （2014年高考重慶卷）已知直線ax+y-2=0與圓心為C的圓（x-1）2+（y-a）2=4相交于A，B兩點，且△ABC為等邊三角形，則實數a的值為________.

思索 本題考查直線與圓的位置關系，點到直線的距離公式. 本題已知△ABC為等邊三角形，半徑長就是該三角形的邊長，可求出三角形的高，利用圓心到該直線的距離可求出a的值.

破解 因為圓的半徑為2，又△ABC為等邊三角形，所以△ABC的高為，即圓心C到直線ax+y-2=0的距離為，所以=，解得a=4±.

2. 圓的切線問題

例2 已知圓C：（x-3）2+（y-4）2=4，直線l1過定點A（1，0）.

（1）若l1與圓C相切，求l1的方程；

（2）若l1與圓C相交于P，Q兩點，線段PQ的中點為M，又l1與l2：x+2y+2=0的交點為N，判斷AM·AN是否為定值，若是，求出定值；若不是，請說明理由.

思索 （1）過一點求圓的切線應首先判斷該點是在圓上還是在圓外，當點（x0，y0）在圓上時該點即為切點，圓的切線只有一條；當點（x0，y0）在圓外，則設切線方程為y-y0=k（x-x0），化成一般式kx-y+y0-kx0=0，再利用圓心到直線的距離等于半徑，解出k. 注意：若此方程只有一個實根，則還有一條斜率不存在的直線，切記此點. （2）可先求出M，N兩點的坐標，再用兩點間的距離公式求出AM，AN，然后進行化簡可求得結果，但此方法計算比較復雜；若對AM·AN進行轉化，利用△AMC∽△ABN，可得AM·AN=AC·AB，此方法計算就比較簡便了.

破解 （1）①若直線l1的斜率不存在，即直線是x=1，符合題意.

②若直線l1的斜率存在，設直線l1為y=k（x-1），即kx-y-k=0. 由題意知，圓心（3，4）到直線l1的距離等于半徑2，即=2，解之得k=. 故所求直線的方程是x=1或3x-4y-3=0.

（2）解法1：過程略，同學們可自行嘗試.

解法2：如圖1，連結CA并延長交l2于點B，kAC=2，k=-，所以CB⊥l2. 所以△AMC∽△ABN，則=，可得AM·AN=AC·AB=2·=6，為定值.

3. 弦長問題

例3 已知直線l：y=kx+1，圓C：（x-1）2+（y+1）2=12.

（1）試證明：不論k為何實數，直線l和圓C總有兩個交點；

（2）求直線l被圓C截得的最短弦長.

思索 （1）將直線方程與圓方程聯立，判斷該方程組有兩個解；或通過直線過定點，該定點在圓內證明；或利用圓心到直線的距離小于圓半徑證明. （2）利用弦長公式表示出弦長，轉化為求關于k的函數的最值問題；也可用平面幾何的知識，判斷出過圓內定點的弦與過該定點的半徑垂直時該弦最短.

破解 （1）略.

（2）解法1：設直線與圓交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，則可得直線l被圓C截得的弦長AB=x1-x2=2=2. 令t=，則tk2-4k+（t-3）=0. 當t=0時，k=-；當t≠0時，因為k∈R，所以Δ=16-4t（t-3）≥0，解得-1≤t≤4，且t≠0，故t=的最大值為4，此時AB的最小值為2.

解法2：由平面幾何知識，知AB=2=2，下同解法1.

解法3：由平面幾何知識知過圓內定點P（0，1）的弦，只有和PC（C為圓心）垂直時才最短，而此時點P（0，1）為弦AB的中點. 由勾股定理，知AB=2=2，即直線l被圓C截得的最短弦長為2.

4. 圓與圓的位置關系

例4 （2014年高考湖南卷）若圓C1：x2+y2=1與圓C2：x2+y2-6x-8y+m=0外切，則m等于（ ）

A. 21 B. 19 C. 9 D. -11

思索 根據兩個圓的方程可以知道其圓心與半徑，當兩個圓外切時圓心距等于兩個圓半徑的和，即可解出m的值.

破解 過程略，答案選C.

5. 與圓有關的綜合問題

例5 如圖2，為保護河上古橋OA，規劃建一座新橋BC，同時設立一個圓形保護區，規劃要求：新橋BC與河岸AB垂直，保護區的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓，且古橋兩端O和A到該圓上任意一點的距離均不少于80 m. 經測量，點A位于點O正北方向60 m處，點C位于點O正東方向170 m處（OC為河岸），tan∠BCO=.

（1）求新橋BC的長：

（2）當OM多長時，圓形保護區的面積最大？

思索 本題是應用題，可以用解析法來解決. 以O為原點，分別以向東、向北為x軸、y建立直角坐標系. （1）要求BC的長，就要求得點B的坐標. 已知tan∠BCO=，說明直線BC的斜率為-，這樣直線BC的方程可立即得出；又AB⊥BC，故直線AB的方程也易得出，兩條直線的交點B的坐標隨之而得. （2）本問題的實質就是求圓半徑最大，即求線段OA上某點到直線BC的距離最大. 注意要考慮條件“古橋兩端O和A到該圓上任一點的距離均不少于80 m”.

破解 （1）如圖2，以OC方向為x軸，OA方向為y軸建立直角坐標系，則可得A（0，60），C（170，0）. 由題意，kBC=-，所以直線BC的方程為y= -（x-170）；又kAB=-=，所以直線AB的方程為y=x+60. 聯立兩直線方程y=-（x-170），y=x+60，解得x=80，y=120.即B（80，120）. 所以BC=150（m）.

（2）設點M（0，m）（0≤m≤60），點B（80，120），直線BC的方程為y= -（x-170），即4x+3y-680=0，所以半徑R=. 又因為古橋兩端O和A到該圓上任意一點的距離均不少于80 m，所以R-AM≥80且R-OM≥80，所以有-（60-m）≥80且-m≥80. 所以10≤m≤35. 所以R=≤130，當m=10時圓面積最大. 所以當OM=10時圓形保護區面積最大.

變式練習

1. 如果圓x2+y2-2ax-2ay+2a2-4=0與圓x2+y2=4總相交，則實數a的取值范圍是________.

2. 已知直線l過點（-2，0），當直線l與圓x2+y2=2x有兩個交點時，其斜率k的取值范圍是________.

3. （2014年高考浙江卷）已知圓x2+y2+2x-2y+a=0截直線x+y+2=0所得弦的長度為4，則實數a的值為（ ）

A. -2 B. -4 C. -6 D. -8

4. （2014年高考山東卷）圓心在直線x-2y=0上的圓C與y軸的正半軸相切，圓C截x軸所得弦長為2，則圓C的標準方程為________.

5. 如圖3，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓E：+=1（a>b>0）的離心率e=，A1，A2分別是橢圓E的左、右兩個頂點；圓A2的半徑為a，過點A1作圓A2的切線，切點為P，在x軸的上方交橢圓E于點Q.

（1）求直線OP的方程；

（2）求的值；

（3）設a為常數. 過點O作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓E于點B，C，分別交圓A2于點M，N，記△OBC和△OMN的面積分別為S1，S2，求S1·S2的最大值.

參考答案

1. 0

2. -

3. B

4. （x-2）2+（y-1）2=4

5. （1）y=x.

（2）.

（3）不妨設OM的方程為y=kx（k>0），聯立方程組y=kx，+=1，解得B，，所以OB=a；用-代替上面的k，得OC=a. 同理可得OM=，ON=. 所以S1·S2=·OB·OC·OM·ON=a4·. 因=≤，當且僅當k=1時等號成立. 所以S1·S2的最大值為.