高等代數(shù)學習中的困惑與解決對策

歐陽倫群，歐陽倫鍵

(1．湖南科技大學 數(shù)學與計算科學學院，湖南 湘潭 411201； 2. 洞口縣文昌中學，湖南 洞口 422300)

高等代數(shù)學習中的困惑與解決對策

歐陽倫群，歐陽倫鍵

(1．湖南科技大學 數(shù)學與計算科學學院，湖南 湘潭 411201； 2. 洞口縣文昌中學，湖南 洞口 422300)

學生在學習高等代數(shù)時普遍存在不知高等代數(shù)為何物、有何用與如何學的困惑。解決這些困惑的對策是教師在綜合分析教材體系的基礎(chǔ)上闡明矩陣是高等代數(shù)的核心內(nèi)容，在適當介紹背景知識和知識演變過程的基礎(chǔ)上展示高等代數(shù)的廣泛應(yīng)用；在多方面注重學生數(shù)學思維訓練的基礎(chǔ)上提高學生學習能力。

困惑；矩陣；高等代數(shù)

高等代數(shù)課程是大學數(shù)學專業(yè)最重要的基礎(chǔ)課程之一。其教學質(zhì)量的好壞，直接關(guān)系到初等數(shù)論、近世代數(shù)、線性規(guī)劃等多門后續(xù)課程的學習，也是考研能否取得成功的關(guān)鍵。面對如此重要的一門基礎(chǔ)課程，有種現(xiàn)象卻不能不引起我們的關(guān)注與思考，這就是：學生也知道高等代數(shù)課程的重要性,也花費了不少時間和精力，學習成績卻提高緩慢；很多任課老師感到費了不少精力，想盡了各種辦法，教學效果總是不盡人意。問題的癥結(jié)在哪里？如何激發(fā)學生學習興趣，提高高等代數(shù)課程的教學質(zhì)量？這是所有教高等代數(shù)課程老師不得不嚴肅思考的問題。我們經(jīng)過多年調(diào)查研究并結(jié)合實踐經(jīng)驗以及對學生學習高等代數(shù)課程過程的仔細觀察，歸納總結(jié)了學生在學習高等代數(shù)中出現(xiàn)的種種困惑，并對出現(xiàn)這些困惑的原因進行了分析，同時提出解決這些困惑的行之有效方法。

1 學生的困惑及原因分析

困惑之一是不知高等代數(shù)為何物。表現(xiàn)為：1)不知高等代數(shù)研究對象,對高等代數(shù)課程缺乏宏觀整體把握和認識；2)不知高等代數(shù)研究方法，在學習過程中遇到問題時，找不到解決問題的切入點；3)不知高等代數(shù)與初等代數(shù)知識的內(nèi)在聯(lián)系，在學習中無法順利完成從已有知識到新知的遷移。出現(xiàn)此種困惑，歸納起來，主要是由以下原因造成的：一是數(shù)學專業(yè)學生一初進大學，缺乏對本課程的整體感知。二是學生比較熟悉的是初等代數(shù)，研究對象和人們的生活實際比較接近，非常具體也非常直觀。而高等代數(shù)研究的是代數(shù)系統(tǒng)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)與運算規(guī)律，已經(jīng)高度脫離了人們的生活實際，具有很高的抽象性。那種高度抽象化的理論體系和嚴密的邏輯推理方法，對剛進入大學的學生來說，往往有點不太適應(yīng)，不能熟練運用和掌握。三是許多老師在高等代數(shù)的教學實踐中，只重視本課程新知的傳授，對所教知識點是如何從初等代數(shù)逐步演變成高等代數(shù)的發(fā)展過程，教學中很少涉及，造成學生找不到高等代數(shù)與初等代數(shù)聯(lián)系的橋梁，無法順利完成從舊知到新知的遷移。

困惑之二是不知高等代數(shù)有何用。具體表現(xiàn)在：1)不知高等代數(shù)對整個數(shù)學理論體系的發(fā)展與完善有何用；2)不知高等代數(shù)對其他相關(guān)學科的發(fā)展與完善有何用；3)不知高等代數(shù)對人類生產(chǎn)生活實踐有何用；4)不知高等代數(shù)將來對促進自己事業(yè)發(fā)展，幫助自己成才有何用。前3個“不知有何用”之所以出現(xiàn)，除學生剛進入大學，知識儲備還不多、視野還不夠開闊、缺乏對整個數(shù)學知識體系的了解等主觀原因外，還有一部分原因是由于在高等代數(shù)的課堂教學中，大多數(shù)老師采用的仍是一支粉筆、一塊黑板、一本教科書的傳統(tǒng)教學模式，偏重書本知識的傳授，忽視對所教知識點的背景和應(yīng)用前景介紹，忽視所教理論知識與實際生活實踐的聯(lián)系，造成很多學生在學習高等代數(shù)過程中，既不知高等代數(shù)理論在整個數(shù)學理論體系中的地位和作用，又看不到高等代數(shù)中相關(guān)知識的應(yīng)用背景。第四個“不知何用”之所以出現(xiàn)，其原因是：數(shù)學專業(yè)的學生，尤其是師范類數(shù)學專業(yè)的學生，畢業(yè)后多數(shù)從事初等數(shù)學教學。他們渴望知道高等代數(shù)與初等代數(shù)的聯(lián)系，學好高等代數(shù)課程在哪些方面對他們今后的教學工作有幫助。然而大學數(shù)學專業(yè)教高等代數(shù)的老師雖然有非常扎實的知識功底，但大多沒有從事初等數(shù)學教學的工作經(jīng)歷，對初等數(shù)學教材體系并不熟悉，課堂上對高等代數(shù)與初等代數(shù)的聯(lián)系講得比較少，使得一部分學生沒有意識到高等代數(shù)知識對于自己將來成為一名優(yōu)秀的中學數(shù)學老師有多么重要。

困惑之三是不知高等代數(shù)如何學。具體表現(xiàn)是：1)不知如何學習高等代數(shù)中的概念、定義與定理等新知。學生常常出現(xiàn)這種情況：老師上課時覺得課堂知識還算容易，好像聽懂了，弄明白了，老師一走，又覺得什么也沒學到。課后花了相當多時間精力來消化吸收，學習效果還不盡人意。2)不知如何解答高等代數(shù)課后習題。課堂上例題，老師講解時覺得不難，一旦單獨面對課后習題便束手無策。3)面對高等代數(shù)，不知如何復習。打開高等代數(shù)課本，看到的是一大堆復雜繁瑣的概念、定義、定理與性質(zhì)，千頭萬緒，不知如何入手，畏難情緒油然而生。造成此種困惑的原因之一是大學數(shù)學有一套有別于中學數(shù)學的學習方法，學生剛進入大學，還沒有找到學習大學數(shù)學的鑰匙和方法，由于思維的慣性，許多同學仍沿襲中學數(shù)學的學習方法，事事依賴老師，缺乏學習的主動性和解決問題的獨立性。正是這種曾經(jīng)熟悉的中學數(shù)學學習方法面臨淘汰，而新的學習方法還沒有建立的尷尬造成了學生不知如何學的困惑。

2 解決困惑的對策

要解決困惑之一，需做好以下幾個方面的工作：1)老師在教學中必須闡明高等代數(shù)的課程體系，并在分析課程體系內(nèi)在聯(lián)系的基礎(chǔ)上讓學生明白高等代數(shù)研究的主要對象。目前國內(nèi)高校大多采用北京大學數(shù)學系編的《高等代數(shù)》教程。此教程體系的編排順序是：多項式行列式線性方程組矩陣二次型線性空間線性變換矩陣歐式空間雙線性函數(shù)代數(shù)基本問題介紹。由于判別線性方程組有解還是無解、在有解的情況下是有唯一解還是有無窮多個解，都是通過比較方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩來實現(xiàn)的；二次型是研究如何利用矩陣的合同變換化二次齊次多項式為標準型；線性空間、線性變換、歐式空間及雙線性函數(shù)都與矩陣密不可分。因此矩陣是高等代數(shù)研究的主要對象也是其核心內(nèi)容，貫穿于高等代數(shù)的始終。高等代數(shù)實際上就是一門研究矩陣相關(guān)知識的科學。2)教師在教學中必須闡明高等代數(shù)的研究方法。高等代數(shù)的研究方法通常是先從許多具體的例子中抽象出某個概念，然后通過代數(shù)的方法對這一概念進行研究，得到一般的結(jié)論，最后再將這些結(jié)論返回到具體的例子中，得到各種運用。因此，“具體-抽象-具體”，這便是高等代數(shù)研究問題的方法。要學好高等代數(shù)，必須正確認識抽象和具體的辯證關(guān)系，在抽象和具體之間找到結(jié)合點。只有讓學生明白高等代數(shù)的研究方法，他們在學習高等代數(shù)的過程中，才會主動地通過大量具體的例子去理解抽象的概念和定理，再將概念與定理的結(jié)論運用到具體的例子中，加深對概念與定理的理解和掌握，并在深入理解概念與定理的同時去發(fā)現(xiàn)和證明一些新的結(jié)果。3)教師在教學中必須闡明高等代數(shù)與初等代數(shù)的聯(lián)系。事實上高等代數(shù)中有許多知識點就是初等代數(shù)知識的深化，與學生熟悉的初等代數(shù)有非常緊密的聯(lián)系。教師上課中講清這些聯(lián)系，有利于克服學生的畏難情緒，激發(fā)學生學習興趣和信心。例如：在講多項式理論時，告訴學生高等代數(shù)中的多項式理論就是初等代數(shù)中因式分解知識的進一步深化。在初等代數(shù)中，因式分解、一元方程求根和不等式求解等，都必須把一個多項式分解成最簡因式乘積，但到底分解到什么時候才是最簡，初等代數(shù)并沒有給出明確的判別法則，通常是憑經(jīng)驗去判斷。高等代數(shù)中的多項式理論就是對這一知識的全面闡述，明確回答了多項式能不能進行分解和分解到何時才最簡的問題。學生明白了高等代數(shù)中多項式理論與初等代數(shù)的關(guān)系，學起多項式理論來就目的明確，輕松許多。在講線性方程組這一章時，可以給學生作如下分析講解：三元、四元線性方程組的求解，我們在初等代數(shù)中已經(jīng)學過，通常是用加減消元法來求解的，很自然地，我們就會想到n元線性方程組怎么求解的問題。在高等代數(shù)中，我們是用高斯消元法來求n元線性方程組的解。從本質(zhì)上來說高等代數(shù)中高斯消元法就是初等代數(shù)中的加減消元法。學生明白了這一點，畏難情緒就會少很多。在講Cramer法則時，告訴學生在方程組有唯一解的情況下，我們可以用高斯消元法去求解，也可以用Cramer法則求解。盡管用Cramer法則求解需要計算n+1個n階行列式的值，用人工計算非常麻煩，但采用計算編程卻比用高斯消元法更為簡便。故Cramer法則也是一種非常重要的求根法則?？傊寣W生弄清了高等代數(shù)與初等代數(shù)的淵源關(guān)系，學生就會發(fā)現(xiàn)高等代數(shù)并不神秘，是完全可以學好的。

要解決困惑之二，我們的對策是：1)教學中結(jié)合所教內(nèi)容，適當補充背景知識介紹，簡要介紹所教知識的發(fā)展演變過程，既能讓學生領(lǐng)略歷史上偉大代數(shù)學家的風采，了解他們對代數(shù)及其它相關(guān)學科的發(fā)展所做的偉大貢獻，又能讓學生體會到代數(shù)對其它學科的發(fā)展所產(chǎn)生的巨大推動作用。例如：在講多項式理論時，適當介紹一元高次方程求根的歷史，特別是重點介紹法國數(shù)學家伽羅瓦在證明五次方程不能用求根公式求解中所采用的全新的理論方法(群論)奠定了現(xiàn)代代數(shù)學基礎(chǔ)的偉大貢獻。在講高斯消元法，柯西-許瓦茨不等式時，介紹一下偉大數(shù)學家高斯、柯西和許瓦茨在數(shù)學上的主要工作和取得偉大成就。2)結(jié)合所教內(nèi)容適當介紹所教知識在數(shù)學理論和其他相關(guān)學科中的廣泛應(yīng)用。例如：在教范德蒙行列式的相關(guān)性質(zhì)時，告訴學生在拓撲學中要證明n維單純復形k可以嵌入R2n+1時，就要用到范德蒙行列式的性質(zhì)；在講矩陣時，可以結(jié)合所講內(nèi)容，介紹一下矩陣相關(guān)知識在線性規(guī)劃、運籌學、化學方程式的平衡、交通流量問題、矩陣密碼與通訊保密等方面的應(yīng)用。只有讓學生知道高等代數(shù)的廣泛應(yīng)用，才能激發(fā)學生學好高等代數(shù)的動力。3)結(jié)合教材闡明高等代數(shù)在中學數(shù)學中的廣泛應(yīng)用。數(shù)學專業(yè)的學生，尤其是師范類數(shù)學專業(yè)的學生，畢業(yè)后大多從事高中數(shù)學教學工作。因此闡明高等代數(shù)在中學數(shù)學中的廣泛應(yīng)用，會增強學生學好高等代數(shù)的使命感和緊迫感。關(guān)于運用高等代數(shù)的知識和方法巧妙解決中學數(shù)學中的問題，很多學者都做過深入研究[1-3]。因此在教學中，有選擇性地向?qū)W生推薦一些這方面的文獻，可以增強學生學習的動力，讓學生體會到學好高等代數(shù)有助于自己成才。

要解決困惑之三，可以從教師和學生兩個方面入手加以解決。在教師方面，教師在上課當中，要注意學生數(shù)學思維訓練和數(shù)學能力的培養(yǎng)。講了大量的特殊問題之后，要引導學生得出一般結(jié)論，培養(yǎng)學生從特殊到一般的歸納能力；給出具體模型實例后，要引導學生如何從具體模型中找出模型的本質(zhì)，概括出抽象的數(shù)學概念，培養(yǎng)學生的抽象思維能力；對于抽象的問題，教會學生如何具體化，培養(yǎng)學生的應(yīng)用能力；解決了一個問題后，引導學生如何提出新的問題，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力。只有學生多方面的能力得到了鍛煉和提高，學習起來才會得心應(yīng)手。在學生方面，要學好高等代數(shù)，首先要從正反兩個方面學好概念。正的方面就是弄清概念是如何敘述的，附帶條件有哪些，這些條件是充分還是必要，概念產(chǎn)生的背景是什么。反的方面就是要弄清所學概念的否定式是怎樣敘述的，如果去掉概念中某些條件或錯誤理解概念中某些條件，會導致什么錯誤結(jié)論。其次要適當做題。在做題中加深對概念、定理的理解。同時在做題時要不斷總結(jié)思路方法，掌握做題規(guī)律，以點帶面，舉一反三，既不搞題海戰(zhàn)術(shù)，又能提高自己分析問題解決問題的能力。三是經(jīng)常梳理所學知識。每學完一章，要做好整理和梳理本章知識的工作，總結(jié)本章有哪些基本概念，核心內(nèi)容是什么，解決了什么問題，是運用哪些定理來解決的，寫出自己的心得體會。四是學會嘗試推廣。對書中的定理，嘗試改變一下已知條件，看看會得到什么結(jié)論，如果把某些條件加強一下，能不能得到更好的結(jié)論。經(jīng)常做一做這方面的推廣工作，創(chuàng)新能力就會得到提高。

[1] 曹福桃.高等代數(shù)在中學數(shù)學中的一些應(yīng)用[J].廣西師范大學學報(哲學社會科學版),2006，27：135-137.

[2] 邵運夫，肖金戈.高等代數(shù)方法在中學數(shù)學中的應(yīng)用[J].銅仁學院學報,2008， 2(1): 81-84.

[3] 夏師.高等代數(shù)在中學教學的一些應(yīng)用[J].廣西右江民族師專學報,2002， 15(3): 11-13.

(責任校對 謝宜辰)

20150111

湖南科技大學教學研究與改革項目(C21316；G31031)

歐陽倫群(1967- )，男，湖南洞口人，副教授，博士，主要從事同調(diào)代數(shù)研究。

10.13582/j.cnki.1674-5884.2015.05.013

O151.2

A

1674-5884(2015)05-0042-03