石英撓性加速度計數字閉環控制研究

朱海燕，葉凌云，彭皓嵐，馬才偉

(浙江大學 生物醫學工程與儀器科學學院，浙江 杭州310027)

0 引 言

石英撓性加速度計數字閉環控制可以減小模擬閉環控制中因為A/D 轉換導致的精度降低的問題［1］，并且易于控制和集成。關于石英撓性加速度計的數字閉環控制，多采用PWM 波反饋加矩的方式［2］。但是，由于加表表頭的力矩線圈存在電感，因而會影響輸入加速度值的準確測量。

針對該問題，國內外學者提出了基于A/D，D/A 直接轉換驅動的方法［3，4］。該方法的反饋電流是直流信號，因而消除了線圈電感的影響。在數字閉環控制系統中，還需要一個合適的算法。國外Rojo D 等人提出過基于PID 算法的數字閉環加速度計設計專利［5］，國內北京航空航天大學等單位采用的也是PID 或PI 控制算法［3，6］。但是，該算法控制精度和實時性較差［7］。為了提高數字加速度計的性能，要求系統超調不超過5%，控制精度達到0.001%，調節時間在10 拍以內。

基于以上要求，本文提出了最少拍無紋波算法。該算法是一種時間最優的算法，理論上可以解決PID 算法的上述問題。本文針對具體的表頭模型，分別設計出對應的PID 控制算法和最少拍無紋波控制算法，并仿真對比了系統超調、調節時間和穩態誤差等性能指標。

1 數字閉環石英撓性加速度計表頭模型

石英撓性加速度計表頭相當于系統的傳感器，其簡化結構如圖1 所示［8］。

擺片的動力學模型可以近似為典型的二階模型［9］，數學方程式為

圖1 石英撓性加速度計表頭結構Fig 1 Mechanical meter structure of quartz flexible accelerometer

其中，θ 為擺片轉角，(°);M 為外力矩，Nm;J為轉動慣量，Nms2;C 為阻尼系數，Nms;K 為擺組件的剛度，Nm/rad。

這里不去詳細討論如何對表頭進行數學模型的建立，而是以現有的石英撓性加速度計為研究對象來比較兩種控制算法，其表頭連續域傳遞函數［2］為

2 數字閉環加速度計最少拍無紋波控制算法設計

為了設計最少拍算法，首先需要知道最少拍系統的原理框圖，如圖2 所示。其中，R(z)為輸入信號傳遞函數，D(z)為需要設計的數字控制器，G(z)為包含零階保持器在內的廣義受控對象傳遞函數，C(z)為輸出信號傳遞函數，Φ(z)為閉環系統傳遞函數。

圖2 最少拍控制系統原理框圖Fig 2 Principle block diagram of deadbeat control

由圖2 可以得出系統的閉環Z 域傳遞函數為

其中

可見，求解最少拍無紋波控制器的步驟有以下三步:

1)構建被控對象的數學模型，即求解Gc(s);

2)確定系統采樣頻率，即確定H(s)的表達式;

3)根據系統最少拍無紋波的要求，構造Φ(z)。

步驟(1)在上面已有說明，這里不再贅述，下面介紹步驟(2)，(3)。

2.1 采樣頻率的確定

理論上采樣頻率越高，越能復現原始信號。但是，采樣率增加會使系統帶寬增大，引入更多的高頻噪聲［10］。另外，采樣率增加會使系統的極點更趨近單位圓，降低了系統的穩定性。所以，采樣率的確定要綜合各種因素來考慮。根據經驗，一般設定采樣率為系統帶寬的10 ～20 倍，這樣可以確保數字控制器與連續控制器的性能相匹配［11］。由于加速度信號的頻率一般不會超過1 kHz，所以，本文最終選取采樣頻率為10 kHz。

2.2 最少拍無紋波控制器設計

由上面式(1)、式(3)可得

由圖2 可知，控制系統的誤差信號e(k)的Z 域傳遞函數為

誤差傳遞函數Φe(z)會因為不同的典型輸入信號而不同，本系統的輸入信號可以認為是一個個小的階躍信號［12］。單位階躍信號的Z 變換為

根據系統穩定性的要求可得

最終得到數字控制器傳遞函數為

3 仿真驗證

本文對兩種算法的控制效果進行了Simulink 仿真，在相同的采樣頻率和系統帶寬的條件下，對比了系統超調、調節時間和穩態誤差等方面性能。

3.1 最少拍無紋波控制算法的Simulink 仿真

Simulink 環境下的最少拍無紋波控制算法仿真框圖如圖3 所示，輸入是單位階躍信號(Step)，輸出通過示波器(Scope)來觀察，采樣頻率f=10 kHz。

圖3 最少拍無紋波控制算法Simulink 仿真圖Fig 3 Simulation diagram of ripple-free deadbeat control algorithm by simulink

仿真結果如圖4(a)～(d)所示。

由圖4 可以得到系統具體性能指標如表1 所示。

表1 最少拍無紋波控制系統性能指標Tab 1 Performance indexes of ripple-free deadbeat control system

圖4 最少拍無紋波控制算法仿真結果Fig 4 Simulation results of ripple-free deadbeat control algorithm

3.2 PID 控制算法的Simulink 仿真

Simulink 環境下的PID 控制算法仿真框圖如圖5 所示。

圖5 PID 算法的Simulink 仿真圖Fig 5 Simulation diagram of PID algorithm by simulink

通過調節Simulink 工具箱中的Tune 按鈕，動態地調整PID 參數，使得系統的帶寬與最少拍無紋波控制算法一致。仿真結果如圖6(a)～(d)所示。

圖6 PID 控制算法仿真結果Fig 6 Simulation results of PID control algorithm

由圖6 可以得到系統具體性能指標如表2 所示。

表2 PID 控制系統性能指標Tab 2 Performance indexes of PID control system

結合圖4(a)和圖6(a)可知，PID 控制系統超調為6.71%，超過5%，遠大于最少拍算法的超調;調節時間為1.29 ms，超過10 拍，遠大于最少拍算法的0.287 ms。因此，PID 控制系統的實時性和相對穩定性較最少拍算法要差。

結合圖4(b)和圖6(b)可知，PID 控制系統的諧振峰增益相對較大，幅值裕度和相位裕度相對較小，系統的穩定性較最少拍算法要差。

結合圖4(c)和圖6(c)可知，PID 控制系統的極點分布更趨向于單位圓，系統的相對穩定性較最少拍算法要差。

結合圖4(d)和圖6(d)可知，PID 控制系統的穩態誤差為8.56×10－4，大于0.001%，而最少拍系統的穩態誤差只有3.85×10－11，遠小于0.001%。PID 控制系統達到該精度的時間為53.9 ms，遠大于最少拍系統的5.9 ms。因此，PID 系統的控制精度和響應速度較最少拍算法要差。

綜合以上可知，雖然PID 算法可以使系統穩定，但是與最少拍無紋波控制算法相比，PID 算法達到穩態需要更長的調節間，并且系統的超調和穩態誤差也更大。因此，PID控制算法在系統實時性、準確性、穩定性等方面的性能較最少拍無紋波算法相對較差。

4 結 論

在石英撓性加速度計數字閉環控制系統中，最少拍無紋波算法比PID 算法具有更好的控制性能。仿真證明:在相同的帶寬和采樣頻率下，最少拍無紋波算法的超調量遠小于5%，調節時間只需要3 個采樣周期，穩態精度可以達到0.001%以下，綜合性能優于PID 算法。因此，在一些對控制精度和響應速度均有較高要求的場合，最少拍無紋波控制算法有著很大的應用價值。

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