基于菱形計盒分維估值計算的水深綜合方法

王 沫，李鶴元，張曉楠

（1．信息工程大學 地理空間信息學院，河南 鄭州450000；2．海軍大連艦艇學院 海洋測繪系，遼寧 大連116018；3．地理信息工程國家重點實驗室，陜西 西安710054）

目前，常用于線狀要素和點群要素分形計算與性質研究的主要方法：計盒維數法、信息維數法、半徑計數法和關聯維數法等。維數計算通常分為三類［1－4］：一是邊界維數，采用長度與尺度間的關系計算（Batty M，Longley P A，1988～1989）；二是半徑維數，采用密度與尺度的關系計算（Batty M，1991；wnite R，Engelen G，1993）；三是網格維數，采用非空格網數目與尺度關系計算（Benguigui L，Czamanski D，Marinov M，Port ugali J，2000；De Keers maecker M－L，Frankhauser P，Tho mas I，2003）。計盒維數（即格網維數）是其中應用最廣泛的維數之一，通常又被稱為Kol mogor ov熵、熵維數、容度維數、度量維數、對數密度和信息維數等，通常對點群計盒維數的計算一般采用兩種尺度單元去分解地圖目標：一是以立方體在二維平面上的投影（正方形）為尺度單元進行計算；二是以d維球體在二維平面上的投影（圓形）為尺度單元進行計算［5，6］。針對解決制圖綜合適用性要求，龍毅提出一種元分維模型［7］，雖然上述研究都可以計算點群的分維估值，但無法完全適用于海圖水深綜合的特殊要求。

水深數據作為點群數據的一種，其具有分形的基本特征，即無標度性和自相似性。因此，本文針對水深數據具有分形基本特征和菱形分布的特點，提出了一種基于菱形計盒分維估值計算的水深綜合模型，對尺度單元加以修改，采用菱形體在二維平面上的投影作為尺度單元進行分維計算 得到分維估值，從而確定水深數據的綜合壓縮比（綜合后的水深點數目），并以菱形盒子為菱形選取水深的參考網。

1 水深的菱形分布

在數字水深選取過程中，需要對水深綜合后水深數目進行確定，為菱形選取水深提供參考。現有的數字海圖生產中，大比例尺水深數據的選取所采用的資料大部分是水深黑樣，水深黑樣是單波束或多波束數據，數據結構相對簡單，依靠傳統菱形網選取模型可以進行選取；但對于中小比例尺水深數據的綜合，往往是在經過水深數據綜合后的基礎上，進行水深的再綜合，其數據源通過人工修整后的數據，基本保持了水深的菱形分布特點。

通常等深線與岸線變化趨勢基本相同，基于這一特性布設測線，水深按照規則菱形分布，可以更好地反映水下地形，具體的原則：

1）在垂直海岸或等深線的方向上水深選取較密，在平行海岸或等深線的方向上水深選取較稀。水深密度大，表示海底地形詳細，但影響海圖的易讀性，增加了水深選取的工作量；水深密度小，表示海底地形不夠詳細，容易出現水深盲區，對航行安全造成影響。確定密度大小本身是一對矛盾體，經過生產實踐總結了密度指標［8］，如表1所示。

表1 水深密度指標

2）菱形短對角線垂直岸線或等深線方向，長對角線平行岸線或等深線方向。

3）菱形在理想狀態下是規則的，從岸線向海部延伸。

2 算法思路與流程

2．1 最大非空菱形盒子的確定

2．1．1 點群基于岸線總方向外接矩形的構建

1）設有水深點群A｛（xi，yi）｜i＝1，2，3，…，n｝，首先獲取岸線的總方向線；

2）在點群外接矩形做一條總方向的平行線L，以每個點為起點作L的垂線，并記錄距離集S｛s1，s2，…，sn．｝，獲取max｛S｝，min｛S｝所對應的水深點pmax，pmin；

3）在點群外接矩形做一條總方向的垂線L′，同步驟2，找到距離L′最近和最遠的水深點p′max，p′min；

4）分別過pmin，pmax做L的平行線l1，l2；過p′min，p′max做L′的平行線l3，l4。l1，l2，l3，l4所形成的矩形為點群基于岸線總方向的外接矩形，如圖1所示。

圖1 點群基于岸線總方向的外接矩形（虛線）

2．1．2 最大非空菱形盒子的構建

1）獲取點群，基于岸線總方向的外接矩形的對角線的交點，確定該交點為最大非空菱形盒子的中心，記為Ao（如圖2（a）所示）；

2）以Ao為原點，岸線的總方向線為X軸，與其垂直方向為Y軸，構造直角坐標系；

3）以Ao為菱形中心，構造標準菱形，其各邊長r（預設值，不宜過小）與短對角線皆相等，標準菱形要保證坐標系的四個分區（1區、2區、3區、4區）都有水深點存在；

4）獲取四個分區內，與該區標準菱形邊垂直方向 上 距 離 最 遠 的 點，分 別 為p1，p2，p3，p4，過max｛p1，p2，p3，p4｝作該點所在區標準菱形邊的平行線，得到與X，Y軸的交點px，py，然后過兩交點相鄰區的標準菱形邊的平行線，得到過px與Y軸的交點p′y；過py與X軸的交點p′x，最后連接p′y與p′x；

5）最后得到的菱形盒子pxpyp′xp′y為最大非空菱形盒子（如圖2（b）所示）。

2．2 計算菱形計盒維數估值

2．2．1 菱形量測尺度的確定

本文采用尺度定長法確定量測尺度，其優勢在于自由度較大，首先確定最大非空菱形盒子的邊長為r0，保證每一量測尺度的覆蓋區大于最大非空菱形盒子，滿足上述條件后，尺度定長法主要有兩種方式。

圖2 最大非空菱形盒子的構建

1）級數定長方式，確定測量尺度上限re為r0／2或者更小；確定下限rs為最小菱形盒子邊長，一般為圖上距離1 c m（經驗值），實際距離為m（N海圖比例尺分母），規定一個整數M為幾何級數，保證雙對數坐標上的橫軸具有等間距性，該方法所得量測尺度算法模型為

可改寫為

第一種方式數值不歸整，為了方便計盒分維的計算，本文采用的是第二種定長方式來確定觀測尺度，其優點在于方便取整計算。

2．2．2 菱形計盒維數估值方法

分形特征一般描述為

其中，H（r）為分形維數的測度；r為量測的尺度；C為常數；D為分形維數；f（D）為D的函數。改寫 成［9－12］

其中，log H（r），log r為變量，以－D為斜率的直線方程，針對不同的量測尺度ri（i＝1，2，…，m），求出相應的log H（ri），得到線性回歸模型去擬合點對（log ri，log H（ri）），求斜率K，則得到D＝－K。

判斷擬合程度可用線性回歸系數R2來衡量，R2越接近1，說明擬合度越好，點對趨于一元線性關系，該分形方法越可行。

2．3 確定綜合后菱形單位尺度內的壓縮比

通過計算得到計盒維數估值為D，設定綜合前后的比例尺分母為ma，mf，綜合前后尺度為r0，ri，綜合前點群總數為N，通過點群綜合選取的冪律定律，得到綜合后點群壓縮比Co mpassi

2．4 確定菱形盒水深綜合模型

相應比例尺尺度ri，非空盒子內點數為Ni，得到每個盒子應選取的點數Mi

3 實驗及結果分析

3．1 實驗數據菱形單元尺度選取

以1∶25 000海圖的水深數據為實驗數據，選取尺度范圍為250～3 600 m，菱形單元尺度選取方法：250～500 m區間以50 m為間隔選取250 m，300 m，350 m，400 m，450 m；500～1 000 m區間以100 m為間隔選取500 m，600 m，700 m，800 m，900 m，1 000 m；1 000～2 000 m區間以200 m為間隔 選 取1 000 m，1 200 m，1 400 m，1 600 m，1 800 m；2 000～3 600 m區間以400 m為間隔選取2 000 m，2 400 m，2 800 m，3 200 m，3 600 m，部分菱形分形的情況如圖3所示。

3．2 菱形計盒分維估值參數計算

首先，統計每一尺度非空菱形盒子的數目，計算分形尺度r、非空菱形盒子數H（r）的對數值l og r l og H r 菱形計盒分維估值參數如表2所示；其次，繪制菱形計盒分維估值的分形尺度r與非空菱形盒子數H（r）的雙對數函數關系圖，如圖4所示 求解出線性回歸方程y＝1．373 3x＋5．683相關系數R2＝0．982 7，最后得到菱形計盒分維估值D＝1．337 3。

圖3 實驗數據與部分菱形計盒處理

表2 菱形計盒估值參數

3．3 菱形盒水深綜合模型驗證

本實驗以1∶25 000海圖為原始數據，綜合目標為比例尺1∶5萬、1∶10萬、1∶20萬的常用海圖，菱形盒水深綜合選取模型的選取結果如表3所示。

圖4 菱形計盒分維估值的分形尺度與非空菱形盒子數的雙對數函數關系

表3 菱形盒水深綜合選取結果數據表

實驗表明：利用菱形計盒方法進行分維估值計算，相關系數為0．982 7，擬合度高，菱形計盒分維數描述水深結構的方法可行。因此，利用該分維值進行水深綜合的實用性和可操作性較強。

4 結束語

從數據上看，得到以下幾點：

1）基于菱形計盒分維估值計算方法，考慮到尺度單元與綜合目標數之間的關系，能快速確定目標綜合尺度和菱形盒內的保留點數，確保水深點群綜合的準確性。

2）該方法生成的菱形網可以為盒內綜合選取水深提供菱形分布的參考網。

3）該方法的不足之處是目前的試驗只是在開闊海域，且水深點分布均勻的基礎上進行驗證，針對復雜海域的驗證還沒有進行；本文方法確定了菱形盒內保留的點數，而點對之間距離的閾值尚沒有加以約定，還需要人工進行微調。

未來工作中，將對單元盒內點的距離進行定量約束，并使用該方法對多種海域的水深數據進行實驗。

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