以形來助數妙求離心率

李紅春

在圓錐曲線問題中，離心率刻畫了曲線的幾何形狀，是重要性質之一;求解離心率的值和范圍問題更一直是高考的重點和熱點.這類問題多半出現在選填靠后的位置，具有較強的區分度，面對這類問題，我們切忌盲目的計算，要多一點細致的思考與大膽的聯想，尤其要善于運用數形結合的思想從形的角度尋求問題的簡單解法，下面略舉四例，希望能對大家有所啟發.

例1 ?已知[F1]，[F2]是橢圓和雙曲線的公共焦點，[P]是它們的一個公共點，且[∠F1PF2=π3]，則橢圓和雙曲線的離心率的倒數之和的最大值為（ ? ）

A.[433] ? ? ? B.[233]

C.3 ? ? ? D.2

常規解法 ?設橢圓和雙曲線的方程分別為[x2a21+y2b21=1]，[x2a22-y2b22=1]，

[|PF1|=m，|PF2|=n.]

則[m+n=2a1]，[|m-n|=2a2].

在[△PF1F2]中，由余弦定理得，

[（2c）2=m2+n2-2mncos60°][=m2+n2-mn.]

∴[4c2=（m+n）2-3mn]=[4a12-3mn]，

且[4c2=（m-n）2+mn=4a22+mn].

消去[m，n]得，

[a21+3a22=4c2]，即[1e21+3e22=4].

由柯西不等式得，

[1e1+1e22≤1e12+1e22?12+132=163].

當[e1=3e2=3]時，等號成立.

故[1e1+1e2max=433].

妙解 ?設橢圓和雙曲線的方程分別為

[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]和[x2m2-y2n2=1（m>0，n>0）]，

則[PF1+PF2=2a]，[PF1-PF2=2m].

∴[PF1=m+a].

由[e1=ca]，[e2=cm]，則[1e1+1e2=m+ac].

在[ΔPF1F2]中，由正弦定理得，

[PF1F1F2=sin∠PF2F1sin∠F1PF2][=sin∠PF2F132]，

所以[m+ac=433sin∠PF2F1].

當[sin∠PF2F1=1]，即[∠PF2F1=90°]時，

[∴（1e1+1e2）max=433].

點撥 ?本題有著較強的區分度，從命題中心提供的常規解法來看，柯西不等式的運用，可謂精彩. 然而它為選修內容，大家對它較為陌生，進而增加了試題的難度. 妙解借助正弦定理，從圖形分析，方法自然.

例2 ?設橢圓[C：x2a2+y2b2=1][（a>0，b>0）]的焦點為[F]，過點[F]的直線[l]與橢圓[C]相交于[A]，[B]兩點，直線[l]傾斜角為[60°]，[AF=2FB]，求橢圓離心率[e].

常規解法 ?設[A（x1，y1）]，[B（x2，y2）]，直線[AB]的方程為[y=3（x+c）]，將直線代入橢圓方程得，

[（b2+3a2）y2-23b2cy+3（b2c2-a2b2）=0]，

[∴y1+y2=23b2cb2+3a2]①，

[y1?y2=3（b2c2-a2b2）b2+3a2]② .

由[AF=2FB]得，[y1=-2y2]③.

由①②③消去[y1，y2]得，

[b2+3a2=8c2]，即[4a2=9c2]，

故[e=23].

妙解 ?設[BF=m]，則[AF=2m].

由[AFAM=e]得，[AM=2me].

同理[BN=me].

作[BH⊥AM]于[H]，

則[AH=AM-BN=me].

在[ΔHAB]中，[cos∠HAB=AHAB=me3m=13e]，

而[cos∠HAB=cos60°=12]，

故[13e=12]，所以[e=23].

點撥 ?常規方法先設出直線方程代入橢圓，再借助韋達定理得出兩交點坐標間的關系，解法中規中矩，體現了直線和圓錐曲線綜合問題的一般解法，只是計算量大，難在消……