整體法巧解定點、定線問題

王朝璇

我們在研究某些解析幾何中的定點、定線的問題時，往往不是著眼于問題的各個組成部分，而是有意識地放大考查問題的“視角”，將需要解決的問題或問題的一部分看作一個整體，進行整體分析、變形或轉換，以達到簡潔明快地解決問題的目的.

設而不求

例1 ?已知拋物線[C]的頂點為原點，其焦點[F0，cc>0]到直線[l]：[x-y-2=0]的距離為[322].設[P]為直線[l]上的點，過點[P]作拋物線[C]的兩條切線[PA，PB]，其中[A，B]為切點.

（1）求拋物線[C]的方程;

（2）當點[Px0，y0]為直線[l]上的定點時，求直線[AB]的方程.

解析 ?對于（1），容易求出拋物線[C]的方程為[x2=4y].

對于（2），已知直線通過定點，要寫出直線的方程，按照常規方法，還需要求出另一點的坐標或者求出直線的斜率[k]，這個計算量是比較大的.我們換個思維方式，尋求[A]，[B]兩點所滿足的關系式.首先設出點[A]，[B]的坐標，不求出它們的坐標，而是通過切線[PA，PB]的方程觀察規律，然后利用兩點定線寫出直線[AB]的方程.

由[x2=4y]，有[y=14x2]，求導得[y=12x].

設[Ax1，y1]，[Bx2，y2]（其中[y1=x124]， [y2=x224]），

則切線[PA，PB]的斜率分別為[12x1]，[12x2]，

所以切線[PA]的方程為[y-y1=x12x-x1]，

即[x1x-2y-2y1=0]，

同理可得，切線[PB]的方程為[x2x-2y-2y2=0].

因為切線[PA，PB]均過點[Px0，y0]，

所以[x1x0-2y0-2y1=0]，[x2x0-2y0-2y2=0].

即點[x1，y1，x2，y2]在直線[x0x-2y0-2y=0]上，

由于兩點決定一條直線，

故直線[AB]的方程為[x0x-2y-2y0=0].

點撥 ?這種“設而不求”的方法在求切點弦的方程時經常用到.

以分求合

例2 ?設橢圓[E：x2a2+y21-a2=1]的焦點在[x]軸上.

（1）若橢圓[E]的焦距為1，求橢圓[E]的方程;

（2）設[F1，F2]分別是橢圓的左、右焦點，[P]為橢圓[E]上的第一象限內的點，直線[F2P]交[y]軸于點[Q]，并且[F1P⊥F1Q]，證明：當[a]變化時，點[P]在某定直線上.

解析 ?對于 （1），容易求出橢圓方程為[8x25+8y23=1].

對于（2），[設F1（-c，0），F2（c，0），P（x，y），Q（0，m），]

[則F2P=（x-c，y），QF2=（c，-m）].

要證明點[P]在某定直線上，就要消去參……